렙 그래프

토러스 높이 함수를 나타내는 렙 그래프.

렙 그래프^[1](René Thom의 조르주 렙의 이름을 따서 명명)는 다지관의 실제 값 함수 수준 집합의 진화를 반영하는 수학적 객체다.^[2]비슷한 개념에 따르면 G.M. 아델슨-벨스키와 A.S. 크론로드에 의해 도입되어 힐버트의 13번째 문제 분석에 적용되었다.^[4]G가 제안했다.Reeb 모스 도구 theory,[5]Reeb 그래프는 자연적인 도구 2D스칼라장의multivalued 기능적 관계가 공부를 하고{\displaystyle \psi},λ{\lambda\displaystyle}, 그리고 ϕ{\displaystyle \phi} 조건 ψ)λ∇ ϕ{\displaystyle \nabla=\lambda \nabla \psi \phi}∇에서 발생하는 그리고 ψ. λ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda \neq$ 0$\},$ 이러한 관계는 Reeb 그래프의 개별 가장자리와 관련된 영역으로 제한될 때 단일 값으로 지정되기 때문이다.이 일반적인 원칙은 해양학에서 중립적인 표면을 연구하기 위해 처음 사용되었다.^[6]

Reeb 그래프도 계산기 하학과 컴퓨터 graphics,[1][7]에 컴퓨터 등 다양한 응용 프로그램 기하학적 지원 설계,topology-based 모양을 발견했다 matching,[8][9][10]위상 데이터 analysis,[11]위상적인 간소화와 청소, 표면 세그먼테이션[12]과 parametrization, 효율적인 계산의 수준 의심.이익, 및 기하학적으로 부팅모디나믹스^[3]평탄한 공간(기술적으로 단순하게 연결된 도메인)에 있는 함수의 특별한 경우, 렙 그래프는 폴리 트리를 형성하며 등고선 트리라고도 불린다.^[13]

수준 집합 그래프는 확률밀도함수 및 회귀함수의 추정에 관련된 통계적 추론에 도움이 되며, 무엇보다도 군집 분석과 함수 최적화에 사용할 수 있다.^[14]

형식 정의

위상학적 공간 X와 연속함수 f: X → R이 주어진 경우 X에 동등성 관계를 정의한다. 여기서 p~q는 실제 c에 대해 단일 수준 집합 f(c⁻¹)의 동일한 연결 구성요소에 속한다.렙 그래프는 X/~가 지분의 위상에 부여된 지분의 공간이다.

Morse 함수에 대한 설명

f가 뚜렷한 임계값을 갖는 모르스 함수라면 렙 그래프를 더 명시적으로 설명할 수 있다.그것의 노드 또는 정점은 임계 수준 집합 f⁻¹(c)에 해당한다.호 또는 에지가 노드/수직에서 만나는 패턴은 t가 임계값 c를 통과할 때 수준 집합 f(t⁻¹)의 위상 변화를 반영한다.예를 들어, c가 최소 또는 최대 f인 경우 구성요소가 생성되거나 파괴되며, 따라서 호는 도 1이 있는 해당 노드에서 발생하거나 종료된다.c가 지수 1의 안장점이고 t = t가 증가함에 따라 f⁻¹(t) 병합의 두 구성 요소인 경우, 렙 그래프의 해당 꼭지점은 도 3을 가지며 문자 "Y"처럼 보인다. c의 지수가 딤 X-1이고 f⁻¹(c)의 성분이 두 개로 분할된 경우에도 동일한 추론이 적용된다.

참조