레벨 세트

수학에서 n개의 실제 변수의 실제 값 함수 f의 수준 집합은 함수가 주어진 상수 값 c를 차지하는 집합이다. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle L_{c}=\left\{(x_{1},\ldots,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots,x_{n}=c\right\},},}$

독립 변수의 수가 두 개일 때 수준 집합은 등고선 또는 아이솔린이라고도 하며, 따라서 수준 곡선은 두 변수 x와₁ x에₂ 있는 방정식의 모든 실제 값 해법의 집합이다. n = 3일 때 레벨 세트를 레벨 표면(또는 이소서페이스)이라고 한다. 따라서 레벨 표면은 세 변수 x₁, x 및₂ x에₃ 있는 방정식의 모든 실제 값 루트의 집합이다. n이 더 높은 값의 경우, 수준 집합은 n > 3 변수에 있는 방정식의 모든 실제 값 루트의 집합인 레벨 초저면이다.

레벨 세트는 섬유질의 특별한 경우다.

대체 이름

레벨 세트는 종종 다른 이름으로 많은 응용 프로그램에 나타난다. 예를 들어, 암묵적 곡선은 수평 곡선으로, 그러한 곡선은 암묵적 방정식에 의해 정의된다는 것을 강조하면서 그 이웃 곡선과 독립적으로 고려된다. 이와 유사하게, 평평한 표면을 암묵적인 표면 또는 이소수면이라고 부르기도 한다.

이소콘투르라는 이름도 사용되는데, 이 등고선은 높이가 같다는 뜻이다. 다양한 응용 영역에서 이소콘투어는 특정 명칭을 받았으며, 이소콘, 이소콘, 이소크론, 이소퀀트 및 무관심 곡선 등 고려된 기능의 값의 성격을 나타내는 경우가 많다.

예

2차원 유클리드 거리를 고려하십시오.

이 함수의 레벨$$ 세트 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$( ${\displaystyle d}$) ${\displaystyle L_{r}(d)}$은 $원점$에서 r$$ ${\displaystyle r}$의 거리에 놓여 원을 만드는 점으로 구성된다. 예를 들어${\displaystyle }$(${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 4}$)${\displaystyle \in }$ L ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$( d${\displaystyle }$) ${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d$ $d{\displaystyle }$(${\displaystyle 3}$, 4${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 5 ${\$$displaystyle$$d$$(3,4$$)=5$ 기하학적으로$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{점}}$(3,${\displaystyle 4}$)은$$원점을 중심으로 한 반경 5의 원에 놓여$$ 있음을 의미한다$.$ 보다 일반적으로, ${\displaystyle \mathrm{반경}}$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$이$($가) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\$${\displaystyle \mathrm{in}}$ $M}$ 중앙에$$ 있는$$ 메트릭 공간$(M$, m${\displaystyle }$)의 구체는 수준 집합 ${\displaystyle L_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$( y ${\displaystyle \mapsto }$ m${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle L_{r}(y)$로 정의할 수 있다$$$.$

두 번째 예는 오른쪽 그림에서 보이는 힘멜블라우의 함수 플롯이다. 표시된 각 곡선은 함수의 레벨 곡선이며, 로그 간격: 곡선이 ${\displaystyle L_{}}$ x ${\$을 나타내는 경우$,$ 곡선이 $직접{\displaystyle {}_{}}$ "내"는 L x ${\displaystyle {/}_{}}$ ${\displaystyle {10}_{}}$ ${\$을 나타내고$,$ 곡선은 직접 "외부"는 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{10}}_{}}$ x ${\$을 나타낸다$.$

레벨 세트 대 그라데이션

정리: 함수 f가 다를 수 있는 경우, 한 지점에서 f의 구배는 0이거나 해당 지점에서 f의 수준 집합에 수직이다.

이것이 무엇을 의미하는지 이해하기 위해서, 두 명의 등산객이 산에서 같은 위치에 있다고 상상해보라. 그 중 하나는 대담하고, 그는 비탈이 가장 가파른 방향으로 가기로 결심한다. 다른 한 명은 더 조심스럽다; 그는 오르거나 내리기를 원하지 않고, 자신을 같은 높이로 유지할 수 있는 길을 선택한다. 위와 같은 정리에서는 두 등산객이 서로 수직으로 향하는 방향으로 출발할 것이라고 말하고 있다.

이 정리(및 그 증거)의 결과는 f가 서로 다르면 레벨 세트는 초저면이며 f의 임계점 밖에 있는 다지관이다. 임계 지점에서 수준 집합은 점(예를 들어 f의 국부적 극단)으로 축소되거나 자기 절개점 또는 정지와 같은 특이점을 가질 수 있다.

하위 수준 및 상위 수준 세트

양식 세트

${\displaystyle L_{c}^{-}^{-}(f)=\왼쪽\{(x_{1},\dots,x_{n})\mid f(x_{1},\dots,x_{n}\leq c\right\}}}}}}}}$

subbel set of f(또는, 또는, 하위 레벨 세트 또는 f의 참호)라고 한다. 엄격한 subbel set of f는

${\displaystyle \left\{(x_{1},\reason,x_{n})\mid f(x_{1},\reason,x_{n}}<c\right\}}}}$

유사하게

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{{1},\dots,x_{n}}\mid f(x_{1},\dots,x_{n}\geq c\right\}}}}}$

super level set of f(또는 upper level set of f)라고 한다. 그리고 엄격한 superlevel f의 집합은

${\displaystyle \left\{(x_{1},\reason,x_{n})\mid f(x_{1},\reason,x_{n}})\c\right\}}}}$

초능력 집합은 최소화 이론에서 중요하다. 위어스트라스의 정리에 의해, 일부 비어 있지 않은 전위 집합과 함수의 하위-세미콘티뉴의 한계성은 함수가 최소치를 달성한다는 것을 암시한다. 모든 전위 세트의 볼록성은 퀘이콘벡스 기능을 특징으로 한다.^[2]

참고 항목

• 비문
• 레벨세트법
• 레벨 세트(데이터 구조)

참조