일반 복합 폴리곤

일반 복합 폴리곤 {4}₂의 세 가지 보기

이 복잡한 폴리곤은 a..h로 라벨이 붙은 8개의 가장자리(복잡한 선)와 16개의 꼭지점을 가지고 있다.각 가장자리에는 정점 4개가 있고 각 꼭지점에는 두 개의 가장자리가 교차한다.왼쪽 이미지에서 윤곽선 정사각형은 폴리토프의 요소가 아니라 단지 같은 복잡한 선에 놓여 있는 정점을 식별하는 데 도움을 주기 위해 포함되어 있다.왼쪽 이미지의 팔각형 둘레는 폴리토프의 요소가 아니라 페트리 폴리곤이다.^[1]중간 이미지에서 각 가장자리는 실제 선으로 표현되며 각 선에 있는 네 개의 꼭지점이 더 선명하게 보인다.	16개의 꼭지점을 크고 검은 점으로, 8개의 4-edge를 각 가장자리 내 경계 정사각형으로 나타내는 원근 스케치.녹색 길은 왼손 이미지의 팔각형 둘레를 나타낸다.

p = 2, 3, 4, 5, 6의 정규 폴리곤으로 아르간드 평면에 표현되는 복잡한 1 폴리토프는 검은색 정점을 가지고 있다.p 꼭지점의 중심은 빨간색으로 보인다.다각형의 측면은 대칭 발생기의 한 가지 응용을 나타내며, 각 꼭지점을 다음 반시계방향 복사본에 매핑한다.복합 1폴리토프는 가장자리가 없을 수 있고(복잡한 가장자리인 경우가 많으며) 꼭지 요소만 포함하기 때문에 이러한 다각측면은 폴리토프의 가장자리 요소가 아니다.

기하학에서 일반 복합 폴리곤은 실제 공간의 일반 폴리곤을 복잡한 힐버트 공간의 유사 구조로 일반화한 것으로, 각 실제 차원에는 가상의 폴리곤이 수반된다.일반 폴리곤은 $\mathbb {R} ^{2}$ 의 실제 치수 R 2 ${\$ 복합 폴리곤은 $\mathbb {C} ^{2}$ 2 ${\$ $\mathbb {R} ^{4}$ 으로 실제 표현을 할 수 있는 $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {C} ^{2}$ ${\$ 이 두 개의 복합 폴리곤이 두 개의 복잡한 차원으로 표시되어야 한다.2 또는 3개의 실제 치수를 시각화해야 한다.복합 폴리곤은 $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ 에서 복합 폴리토프로 일반화된다 $\mathbb {C} ^{n}$

복잡한 다각형은 복잡한 점, 선, 평면 등의 집합체로 이해될 수 있는데, 여기서 모든 점은 여러 선의 접합점, 여러 평면의 모든 선 등의 결합점이다.

일반 복합 폴리곤은 완전히 특징지어졌으며, 콕시터가 개발한 상징적 표기법을 사용하여 설명할 수 있다.

일반 복합 폴리곤

1-폴리토프는 p를 무제한으로 가질 수 있지만, 이중 프리즘 폴리곤 {4}₂을(를) 제외한 유한 일반 복합 폴리곤은 5-에지(펜타곤 가장자리) 원소로 제한되며, 무한정 일반 아페리오곤도 6-에지(헥사형 가장자리) 원소를 포함한다.

공증

셰퍼드 변형 슐레플리 표기법

셰퍼드(Shephard)는 원래 슐래플리의 일반 폴리토페스에 대한 표기법을 변형한 형태를 고안했다.p-edge로₁ 경계된 폴리곤에 대해, p-set를₂ 정점 그림으로 하고, p-set를 순서 g의 전체 대칭 그룹으로 하고, 폴리곤을₁ p(g)p로₂ 나타낸다.

이때 정점 V의 수는 g/p이고₂ 가장자리 E의 수는₁ g/p이다.

위에서 설명한 복합 폴리곤은 8개의 사각 모서리(p₁=4)와 16개의 꼭지점(p₂=2)이 있다.여기서 우리는 수정된 Schléfli 기호 4(32)2를 제공하는 g = 32를 알아낼 수 있다.

콕세터의 개정 슐레플리 표기법

보다 현대적인 표기법 {q}_p₂은 콕시터(Coxeter)에 기인하며,^[2] 집단 이론에 근거한다.대칭군으로서, 그것의 상징은 [q]_p₂이다.

대칭군[q]_p₂은 2개의 발전기 R₁, R으로₂ 표시되며 여기서₁^p₁: R = R₂^p₂ = I. q가 짝수이면 (RR₂₁)^q/2 = (RR₁₂). ^q/2q가 홀수이면 (RR₂₁)^(q−1)/2R₂ = (RR₁₂)^(q−1)/2R₁.q가 홀수일 때는₁ p=p₂.

[4]₂의 경우 R₁⁴ = R₂² = I, (RR₂₁)² = (RR₁₂)²가 있다.

[5]₃의 경우 R₁³ = R₂³ = I, (RR₂₁)²R₂ = (RR₁₂)²R이₁ 있다.

콕시터-딘킨 도표

Coxeter는 또한 복잡한 폴리토페스에 Coxeter-Dynkin 다이어그램의 사용을 일반화했다. 예를 들어 복합 폴리곤 {q}_r이(가) 표현되고 등가 대칭 그룹인 [q]_r은 링이 없는 다이어그램이다.노드 p와 r은 평면에서 p와 r 이미지를 생성하는 미러를 나타낸다.다이어그램에 라벨이 부착되지 않은 노드에는 2개의 라벨이 내재되어 있다.예를 들어 실제 일반 폴리곤은 {q},₂ {q} 또는 .

한 가지 제한 사항, 홀수 분기 주문에 의해 연결된 노드는 동일한 노드 주문을 가져야 한다.그렇지 않으면, 이 그룹은 요소들이 겹치는 "별" 다각형을 만들 것이다.그래서 평범하고, 반면에 별빛은 좋다.

12개 어레듀커블 셰퍼드 그룹

부분군 지수 관계를 가진 12개의 수정 불가능한 Shephard 그룹.^[3]	<5,3,2>,₃₀ <4,3,2>,₁₂ <3,3,2>₆부터의 부분군.
부분군은 하나의 반사를 제거함으로써 관련된다. _p[2q]₂ --> [q],_p 색인 2와 [4]_q --> [q],_p 색인 q.

_p[4]₂ 부분군: p=2,3,4...
_p[4]₂ --> [p], 색인 p
_p[4]₂ --> []×[],_p 색인 2

Coxeter는 이 $\mathbb {C} ^{2}$ 복합 $\mathbb {C} ^{2}$ 폴리곤 $목록$ 을 C 2 ${\displaystyle \$ mathb {C} $^{2$ 일반 복합 폴리곤, {q}_r 또는 에는 p-edge와 r-곤 정점 수치가 있다._p{q}_r은(p + r)q > pr(q - 2)일 경우 유한 폴리토프다.

그것의 대칭은 콕시터 그룹과 유사하게 셰퍼드 그룹이라고 불리는 [q]_r로 쓰이면서 동시에 단일 반사도 허용된다.

비별 그룹의 경우, $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ [q]_r의 순서는 g $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ = 8 $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ / $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ ( $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ / $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ + 2 $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ / $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ + 1 / $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ / $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ - $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ ) $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ - $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ ${\$ 스타일 $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-22$ ^[4]

The Coxeter number for _p[q]_r is $h=2/(1/p+2/q+1/r-1)$ , so the group order can also be computed as $g=2h^{2}/q$ . A regular complex polygon can be drawn in orthogonal projection with h-gonal symmetry.

복잡한 다각형을 생성하는 2위 솔루션은 다음과 같다.

그룹	G₃ = G(q,1,1)	G₂ = G(p,1,2)	G₄	G₆	G₅	G₈	G₁₄	G₉	G₁₀	G₂₀	G₁₆	G₂₁	G₁₇	G₁₈
	₂[q]₂, q = 3,4...	_p[4]₂, p = 2,3...	₃[3]₃	₃[6]₂	₃[4]₃	₄[3]₄	₃[8]₂	₄[6]₂	₄[4]₃	₃[5]₃	₅[3]₅	₃[10]₂	₅[6]₂	₅[4]₃

주문	2q	2p²	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800
h	q	2p	6	12			24			30		60

홀수 q,₂ [3], [3],₃ [3],₃ [3], [3], [3],₃₂ [3],₂₂ [5],₂ [5], ₂[₂5], [7], [9],₂ [11]₂이 있다.

p와 r이 동일하지 않은 다른 전체 q는 , , , , , , 및 .와 같은 기본 도메인이 중첩된 별을 가진 그룹을 생성한다.

{q}_r의 이중 폴리곤은 {q}_p이다.{q}_p 형식의 다각형은 자체 이중이다.[2q]₂ 형식의 그룹은 대칭[q]_p이 절반이므로 일반 다각형은 quasiregular와 동일하다. 또한, 노드 순서가 같은 일반 다각형은 교대형 구조를 가지며, 인접 모서리가 두 가지 다른 색상이 되도록 한다.^[5]

그룹 순서 g는 정점과 에지의 총 수를 계산하는 데 사용된다.그것은 꼭지점과 가장자리가 g/p 될 것이다.p=r일 때는 정점과 가장자리 수가 같다.이 조건은 q가 홀수일 때 필요하다.

행렬 생성기

그룹 p[q]r, 는 두 개의 행렬로 나타낼 수 있다.^[6]


이름	R₁	R₂
주문	p	r
매트릭스	$\left[{\pi{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\(e^{2\pi i/p}-1)k&1\\\end{smallmatrix}\right]}$	$\left[{\pi{smallmatrix}1&(e^{2\pi i/r}-1)k\0&e^{2\pi i/r}\end{smallmatrix}\right]}}$

와 함께

k={\sqrt}{\frac {\cospi\frac {}{r}}}{p}}}{p}}{2\pi}}}{2\pin{pi}}}}{p}}}}}{p}}}}}}}}}}}}}}}{{\pin {\frac {\frac {\frac {\frac {\frac {\p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

예


이름	R₁	R₂
주문	p	q
매트릭스	$\left[{\pi{smallmatrix}e^{2\pi i/p}\0&1\\\end{smallmatrix}}\오른쪽]$	$\left[{\put{smallmatrix}1&0\0&e^{2\pi i/q}\\end{smallmatrix}\오른쪽]}$


이름	R₁	R₂
주문	p	2
매트릭스	$\left[{\pi{smallmatrix}e^{2\pi i/p}\0&1\\\end{smallmatrix}}\오른쪽]$	$\left[{\\\smallmatrix}0&1\1&0\\\end{smallmatrix}\오른쪽]$


이름	R₁	R₂
주문	3	3
매트릭스	$\left[{\preason{smallmatrix}{\frac{-1+{\sqrt{3}}{3}}{3+{3}}}{2}}&1\nd{smallmatrix}\right]}}$	$\left[{\\smallmatrix}1&}{-3+{\sqrt{3}}{{}}}{{{1+{\sqrt{3}i}}{2}}\\nd{smallmatrix}\right]}}$


이름	R₁	R₂
주문	4	4
매트릭스	$\left[{\\\smallmatrix}i&0\0\1\\\end{smallmatrix}\오른쪽]$	$\left[{\\\smallmatrix}1&0\0&i\\\end{smallmatrix}\오른쪽]$


이름	R₁	R₂
주문	4	2
매트릭스	$\left[{\\\smallmatrix}i&0\0\1\\\end{smallmatrix}\오른쪽]$	$\left[{\\\smallmatrix}0&1\1&0\\\end{smallmatrix}\오른쪽]$


이름	R₁	R₂
주문	3	2
매트릭스	$\left[{\preason{smallmatrix}{\frac{-1+{\sqrt{3}}{3}}{3+{3}}}{2}}&1\nd{smallmatrix}\right]}}$	$\left[{\\\smallmatrix}1&-2\0&-1\\\end{smallmatrix}\오른쪽]$

일반 복합 폴리곤의 열거

Coxeter는 일반 복합 폴리토페스의 표 III에 복합 폴리곤을 열거했다.^[7]

그룹	주문	콕시터 번호를 붙이다	폴리곤		정점	가장자리		메모들
G(q,q,2) ₂[q]₂ = [q] q = 2,3,4,...	2q	q	₂{q}₂		q	q	{}	리얼 레귤러 폴리곤 와 같다 q 짝수인 것과 같다.

그룹	주문	콕시터 번호를 붙이다	폴리곤		정점	가장자리		메모들
G(p,1,2) _p[4]₂ p=2,3,4,...	2p²	2p	p(2p²)2	_p{4}₂	p²	2p	_p{}	{}×{}_p와 동일하거나 $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ p-pduoprism으로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G(p,1,2) _p[4]₂ p=2,3,4,...	2p²	2p	2펜스²	₂{4}_p	2p	p²	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ p-p 듀오피라미드로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G(2,1,2) ₂[4]₂ = [4]	8	4		₂{4}₂ = {4}	4	4	{}	{}×{}와 동일하거나 리얼 스퀘어
G(3,1,2) ₃[4]₂	18	6	6(18)2	₃{4}₂	9	6	₃{}	{}×{}₃와 동일하거나 $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 3-3 duoprism으로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G(3,1,2) ₃[4]₂	18	6	2(18)3	₂{4}₃	6	9	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 3-3 듀오피라미드로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G(4,1,2) ₄[4]₂	32	8	8(32)2	₄{4}₂	16	8	₄{}	{}×{}₄와 동일하거나 $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 4-4 듀오프리즘 또는 {4,3,3}으로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G(4,1,2) ₄[4]₂	32	8	2(32)4	₂{4}₄	8	16	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 4-4 듀오피라미드 또는 {3,4}으로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G(5,1,2) ₅[4]₂	50	25	5(50)2	₅{4}₂	25	10	₅{}	{}×{}₅와 동일하거나 $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 5-5 듀오프리즘으로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G(5,1,2) ₅[4]₂	50	25	2(50)5	₂{4}₅	10	25	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 5-5 듀오피라미드로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G(6,1,2) ₆[4]₂	72	36	6(72)2	₆{4}₂	36	12	₆{}	{}×{}₆와 동일하거나 $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 6-6 duoprism으로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G(6,1,2) ₆[4]₂	72	36	2(72)6	₂{4}₆	12	36	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 6-6 듀오피라미드로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G₄=G(1,1,2) ₃[3]₃ <2,3,3>	24	6	3(24)3	₃{3}₃	8	8	₃{}	뫼비우스-칸토르 구성 와 같은 자기 만족. $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ {3,3,4}으로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G₆ ₃[6]₂	48	12	3(48)2	₃{6}₂	24	16	₃{}	와 같은
				₃{3}₂	24	16	₃{}	별이 총총한 다각형
			2(48)3	₂{6}₃	16	24	{}
				₂{3}₃	16	24	{}	별이 총총한 다각형
G₅ ₃[4]₃	72	12	3(72)3	₃{4}₃	24	24	₃{}	와 같은 자기 만족. $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ {3,4,3}으로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G₈ ₄[3]₄	96	12	4(96)4	₄{3}₄	24	24	₄{}	와 같은 자기 만족. $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ {3,4,3}으로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G₁₄ ₃[8]₂	144	24	3(144)2	₃{8}₂	72	48	₃{}	와 같은
				₃{8/3}₂	72	48	₃{}	와 같은 별 모양의 다각형
			2(144)3	₂{8}₃	48	72	{}
				₂{8/3}₃	48	72	{}	별이 총총한 다각형
G₉ ₄[6]₂	192	24	4(192)2	₄{6}₂	96	48	₄{}	와 같은
			2(192)4	₂{6}₄	48	96	{}
				₄{3}₂	96	48	{}	별이 총총한 다각형
				₂{3}₄	48	96	{}	별이 총총한 다각형
G₁₀ ₄[4]₃	288	24	4(288)3	₄{4}₃	96	72	₄{}
		12		₄{8/3}₃	96	72	₄{}	별이 총총한 다각형
		24	3(288)4	₃{4}₄	72	96	₃{}
		12		₃{8/3}₄	72	96	₃{}	별이 총총한 다각형
G₂₀ ₃[5]₃	360	30	3(360)3	₃{5}₃	120	120	₃{}	와 같은 자기 만족. $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ {3,3,5}으로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G₂₀ ₃[5]₃	360	30		₃{5/2}₃	120	120	₃{}	자화자찬, 별이 총총한 다각형
G₁₆ ₅[3]₅	600	30	5(600)5	₅{3}₅	120	120	₅{}	와 같은 자기 만족. $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ ${\$ {3,3,5}으로 표현 $\mathbb {R} ^{4}$
G₁₆ ₅[3]₅	600	10		₅{5/2}₅	120	120	₅{}	자화자찬, 별이 총총한 다각형
G₂₁ ₃[10]₂	720	60	3(720)2	₃{10}₂	360	240	₃{}	와 같은
				₃{5}₂				별이 총총한 다각형
				₃{10/3}₂				와 같은 별 모양의 다각형
				₃{5/2}₂				별이 총총한 다각형
			2(720)3	₂{10}₃	240	360	{}
				₂{5}₃				별이 총총한 다각형
				₂{10/3}₃				별이 총총한 다각형
				₂{5/2}₃				별이 총총한 다각형
G₁₇ ₅[6]₂	1200	60	5(1200)2	₅{6}₂	600	240	₅{}	와 같은
		20		₅{5}₂				별이 총총한 다각형
		20		₅{10/3}₂				별이 총총한 다각형
		60		₅{3}₂				별이 총총한 다각형
		60	2(1200)5	₂{6}₅	240	600	{}
		20		₂{5}₅				별이 총총한 다각형
		20		₂{10/3}₅				별이 총총한 다각형
		60		₂{3}₅				별이 총총한 다각형
G₁₈ ₅[4]₃	1800	60	5(1800)3	₅{4}₃	600	360	₅{}
		15		₅{10/3}₃				별이 총총한 다각형
		30		₅{3}₃				별이 총총한 다각형
		30		₅{5/2}₃				별이 총총한 다각형
		60	3(1800)5	₃{4}₅	360	600	₃{}
		15		₃{10/3}₅				별이 총총한 다각형
		30		₃{3}₅				별이 총총한 다각형
		30		₃{5/2}₅				별이 총총한 다각형

일반 복합 폴리곤의 시각화

2D 그래프

{2r}_q 형식의 다각형은 p-edge의 q 컬러 세트로 시각화할 수 있다.각각의 p-edge는 얼굴이 없는 반면, 일반 다각형으로 보인다.

복합 다각형 {r}_q

{4}_q 형태의 다각형을 일반화된 직교라고 한다.그들은 정점을 4D q-q 듀오피라미드와 공유하며, 정점은 2-edge로 연결된다.

₂{4},₂ 정점 4개 및 가장자리 4개
₂{4},₃ 정점 6개 및 가장자리 9개 포함^[8]
₂{4},₄ 정점 8개 및 가장자리 16개 포함
₂{4},₅ 정점 10개 및 가장자리 25개 포함
₂{4},₆ 정점 12개 및 가장자리 36개
₂{4},₇ 14개의 꼭지점 및 49개의 가장자리
₂{4},₈ 16개의 꼭지점 및 64개의 가장자리
₂{4},₉ 정점 18개 및 가장자리 81개
₂{4},₁₀ 정점 20개 및 가장자리 100개 포함

복합 다각형 {4}₂

{4}₂ 형식의 다각형을 일반화된 하이퍼큐브(다각형용 사각형)라고 한다.그들은 4D p-p 듀오프리스ms, p-edge로 연결된 정점과 정점을 공유한다.정점은 녹색으로 그리고 p-edge는 빨강과 파랑으로 번갈아 그려진다.홀수 치수가 겹치는 정점을 중심에서 이동하기 위해 원근법이 약간 왜곡된다.

₂{4},₂ 또는 , 꼭지점 4개 및 2-점 4개
₃{4},₂ 또는 , 9개의 꼭지점 및 6개(정점) 3-점수^[9]
₄{4},₂ 또는 , 16개의 꼭지점 및 8개(정사각형) 4-제곱
₅{4},₂ 또는 , 25개의 꼭지점 및 10개(정점) 5개점
₆{4},₂ 또는 , 36개의 꼭지점 및 12개의 (사각형) 6개점
₇{4},₂ 또는 , 49개의 꼭지점 및 14개의 (헵대형)7-118
₈{4},₂ 또는 , 64개의 꼭지점 및 16개의 (8개) 8개점
₉{4},₂ 또는 , 정점 81개 및 (각각) 18개 9개
정점이 100인 {4₁₀},₂ 또는 , 20개(각각형) 10개인 경우

복합 다각형 {r}₂

₃{6},₂ 또는 , 검은색 24개의 꼭지점, 빨간색과 파란색^[10] 3개 세트의 2개 세트에 16개의 3개 색상이 있음
₃{8},₂ 또는 , 검정색에 72개의 꼭지점, 빨간색과 파란색에^[11] 3개 세트의 3개 세트에 48개의 3개 색상이 있음

복합 폴리곤, {r}_p

{r}_p 형식의 다각형은 정점과 가장자리 수가 같다.그들은 또한 자기 이중적이다.

₃{3}₃ 또는 , 검정색에 8개의 꼭지점, 빨간색과 파란색에^[12] 3개의 3개의 색상이 2세트 들어 있음
24개의 꼭지점과 24개의 3개의 3개 세트가 3개의 색상 세트로 표시된 ₃{4},₃ 또는 , 한 세트가^[13] 채워짐
4가지 색상^[14] 세트로 표시된 24개의 꼭지점 및 24개의 4개의 4-세로 구성된 ₄{3},₄ 또는 ,
₃{₃5}, 또는 , 정점 120개 및 3-점^[15] 120개
정점이 120개이고 5개의^[16] 정점이 120개₅ 있는 {3}₅ 또는 ,

3D 관점

복잡한 다각형 {4}₂의 3D 투영 투영은 복잡한 다각형의 포인트 에지 구조를 보여줄 수 있지만 스케일은 보존되지 않는다.

듀얼 {4}:_p 에지 내부에 정점을 추가하고, 정점 대신 에지를 추가하면 나타난다.

정점 6개, 에지 9개 3세트인₂ {4}₃
₃{4},₂ 9개의 꼭지점, 2개 세트의 색상에 6개의 3개 세트로 구성됨
₄{4},₂ 정점 16개, 색상 세트 2개로 구성된 4개, 정사각형 4개씩 채워짐
₅{4},₂ 정점 25개, 색상 2 세트에 5개 10개 포함

퀘이레겔 폴리곤

4각형 다각형은 일반 다각형을 잘라낸 것이다.Quasiregular 폴리곤에는 일반 폴리곤과 의 대체 가장자리가 포함되어 있다.Quasiregular polygon은 정규 형태의 p-edge에 p 정점을 가지고 있다.

4차 다각형 예제
_p[q]_r	₂[4]₂	₃[4]₂	₄[4]₂	₅[4]₂	₆[4]₂	₇[4]₂	₈[4]₂	₃[3]₃	₃[4]₃
정규	4 2시 30분	3시 15분	4시 16분	5시 25분	366로6길36번길	7시 49분	8로64번길
퀘이레굴라속	= 4+4 2-11	6 2시 30분 3시 15분	8 2시 30분 4시 16분	2시 10분 5시 25분	2시 12분 366로6길36번길	2시 14분 7시 49분	2시 15분 8로64번길	=	=
정규	4 2시 30분	6 2시 30분	8 2시 30분	2시 10분	2시 12분	2시 14분	2시 15분

메모들

^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 11.3 Petrie Polygon, 11.3 Petrie Polygon, 어떤 비별의 일반 복합 폴리곤의 반사를 발생시키는 두 제품의 곱에 대해 국기(O₀,OO₀₁)의 궤도에 의해 형성된 단순한 h-곤, p₁{q}p₂.
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, p. xiv
^ Coxeter, 복합 일반 폴리토페스, 페이지 177, 표 III
^ 레러 & 테일러 2009, 페이지 87
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 표 IV.정규 다각형 178-179페이지
^ 복합 폴리토페스, 8.9 2차원 케이스, 페이지 88
^ 일반 복합 폴리토페스, 콕시터, 페이지 177–179
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 108
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 108
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 109
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 111
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 30 다이어그램 및 페이지 47 지수 8개 3개 에지
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 110
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 110
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 48
^ Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 49

참조

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Coxeter, H.S.M. (1991), Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
Coxeter, H. S. M. and Shephard, G.C.; 복잡한 폴리토페스 계열의 초상화, 레오나르도 Vol 25, No 3/4, (1992), 페이지 239–244,
셰퍼드, G.C.; 규칙적인 복합 폴리토페스, 프로크. 런던 수학. Soc. 시리즈 3, 2, (1952), 페이지 82–97.
G. C. 셰퍼드, J. A.Todd, 유한한 단일 반사 그룹, 캐나다 수학 저널. 6(1954년), 274–304 [1]^{[permanent dead link]}
구스타프 1세레러와 도널드 E.테일러, 케임브리지 대학 출판부, 2009년 유니티 리플렉션 그룹

[1] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 11.3 Petrie Polygon, 11.3 Petrie Polygon, 어떤 비별의 일반 복합 폴리곤의 반사를 발생시키는 두 제품의 곱에 대해 국기(O₀,OO₀₁)의 궤도에 의해 형성된 단순한 h-곤, p₁{q}p₂.

[2] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, p. xiv

[3] Coxeter, 복합 일반 폴리토페스, 페이지 177, 표 III

[4] 레러 & 테일러 2009, 페이지 87

[5] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 표 IV.정규 다각형 178-179페이지

[6] 복합 폴리토페스, 8.9 2차원 케이스, 페이지 88

[7] 일반 복합 폴리토페스, 콕시터, 페이지 177–179

[8] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 108

[9] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 108

[10] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 109

[11] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 111

[12] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 30 다이어그램 및 페이지 47 지수 8개 3개 에지

[13] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 110

[14] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 110

[15] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 48

[16] Coxeter, 일반 복합 폴리토페스, 페이지 49

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