레메즈 알고리즘

1934년 에브게니 야코블레비치 레메즈가 발표한 레메즈 알고리즘 또는 레메즈 교환 알고리즘은 기능에 대한 간단한 근사, 구체적으로는 균일한 표준_∞ L 감각에서 최고인 체비셰프 공간에서 기능에 의한 근사치를 찾기 위해 사용되는 반복 알고리즘이다.^[1]

체비셰프 공간의 대표적인 예로 C[a, b]의 실제 연속함수의 공간에서 순서 n의 체비셰프 다항식의 하위공간이 있다.주어진 하위 공간 내에서 최량 근사치의 다항식은 다항식과 함수 사이의 최대 절대 차이를 최소화하는 것으로 정의된다.이 경우 용액의 형태는 동일화 정리에 의해 예단된다.

절차

The Remez algorithm starts with the function ${\displaystyle f}$ to be approximated and a set ${\displaystyle X}$ of ${\displaystyle n+2}$ sample points ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n+2}}$ in the approximation interval, usually the extrema of Chebyshev polynomial linearly는 그 간격에 맞추어져 있다.단계는 다음과 같다.

• 방정식의 선형 시스템 해결

${\displaystyle b_{0}+b_{1$$}x_{i}+...$$+b_{n}x_{i}^{n$}^{n$}+(-1)^{i}E=f(x_{i})}($$$여기서 $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle .n}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle i=$1,$2,...n+2}),$

알 수 없는 b ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$.${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$1$}...$b_{n}}$ 및 E.

• $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 계수로 사용하여$$ 다항식 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$를 형성하십시오$.$
• 로컬 최대 오류 ${\displaystyle P{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) $displaystyle P_{n}(x)-f(x) }$ 지점의$$ $설정$된 M ${\displaystyle M}$을(를) 찾으십시오$.$
• 매 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m\in M}$의 오차가 크기가$$ 같고 부호가 번갈아 나타나는 경우 P ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 최소값$$ 근사 다항식이다.그렇지 않으면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$을(를) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}($으)로$$ 교체하고$$ 위의 단계를 반복하십시오.

그 결과를 최량 근사치의 다항식 또는 미니맥스 근사 알고리즘이라고 한다.

Remez 알고리즘 구현에 대한 기술적 검토는 W. Fraser에 의해 주어진다.^[2]

초기화 선택 시

체비셰프 노드는 다항 보간 이론에서의 역할 때문에 초기 근사치에 대한 일반적인 선택이다.라그랑주 인터폴런트 L_n(f)에 의한 f 기능에 대한 최적화 문제의 초기화에 대해, 이 초기 근사치는 다음과 같이 제한되어 있음을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \lVert f-L_{n}(f)\rVert _{n}\req(1+\lVert L_{n}\rBert _{\inP_}\lVert _{p\in}\lVert f-p\rVert }}}$

노드의 라그랑주 보간 연산자_n L(t₁, ..., t_{n + 1})의 노르말 또는 Lebesgue 상수를 사용하여

${\displaystyle \lVert L_{n}\rVert _{\infit }={\overline {\lambda }}}{n(T)=\max _{1\leq x\leq 1}\lambda _{n(T;x),}$

T는 체비셰프 다항식의 0이고, 르베그 함수는

${\displaystyle \lambda _{n}(T;x)=\sum _{j=1}^{n+1}\left l_{j}(x)\right ,\quad l_{j}(x)=\prod _{\stackrel {i=1}{i\neq j}}^{n+1}{\frac {(x-t_{i})}{(t_{j}-t_{i})}}.}$

테오도르 A.킬고어,^[3] 칼 드 보어, 알란 핑커스는^[4] (일반적인) 다항식으로는 명시적으로 알려져 있지 않지만, 각 L에_n 대해 고유한 t가_i 존재한다는 것을 증명했다.Similarly, ${\displaystyle {\underline {\Lambda }}_{n}(T)=\min _{-1\leq x\leq 1}\lambda _{n}(T;x)}$, and the optimality of a choice of nodes can be expressed as ${\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}-{\underline {\Lambda }}_{n}\geq 0.}$

부최적적이지만 분석적으로 명시적인 선택을 제공하는 체비셰프 노드의 경우, 점증적 행동은 다음과^[5] 같이 알려져 있다.

${\displaystyle {\lambda }}_{n}(T)={\frac {2}{\pi(n+1)}+{\frac {2}{\pi }}}}{\pi }}}}{\pi }}+\alpha _{n+1}{n+1}}}}}}}$

(Iler-Mascheroni 상수) 와 함께

${\displaystyle \mathrm{0<img\; alt="0<\backslash alpha\; \_\{n\}<\{\backslash frac\; \{\backslash pi\; \}\{72n^\{2\}\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9cdf74899bfce5fa20b68e8847a0528ec4271294"\; style="vertical-align:\; -2.171ex;\; width:15.675ex;\; height:5.009ex;"\; papago-attr-id="75">}}$< < ${\$2}}: n${\displaystyle \ge }$$1$, ${\displaystyle n\geq 1,}$

상한^[6] 및 상한

${\displaystyle {\lambda }}_{n}(T)\leq {2}{\pi }}\log(n+1)+1}$

Lev Brutman은^[7] $n{\displaystyle }$ $≥$ ${\displaystyle 3}$ {\$displaystyle n\geq$ 3$}$에 대한 바운드를 얻었으며$,$ $T{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) 확장된 체비셰프 다항식의 0이다.

${\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})-{\underline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})<{\overline {\Lambda }}_{3}-{\frac {1}{6}}\cot {\frac {\pi }{8}}+{\frac {\pi }{64}}{\frac {1}{\sin ^{2}(3\pi /16)}}-{\frac {2}{\pi }}(\gamma -\log \pi )\approx 0.201.}$

뤼디거 귄트너^[8](Rüdiger Güntner)는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ $[\displaystyle n\geq 40}$에 대한 더 날카로운 추정치를 통해 얻은 것이다.

${\displaystyle {\lambda }}}{\lambda }}{\lambda }}}-{n}({\hat {T})<0.0196.}$

상세토론

이 절에서는 위에서 설명한 단계에 대한 자세한 정보를 제공한다.이 섹션에서는 지수 i가 0에서 n+1까지 실행된다.

1단계: 주어진 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . x ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$+ 1 ${\$x_${n+1$n+1}, n+2 방정식의 선형 시스템 해결

${\displaystyle b_{0}+b_{1$$}x_{i}+...$$+b_{n}x_{i}^{n$}^{n$}+(-1)^{i}E=f(x_{i})}($$여기$서 i${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1 ${\displaystyle i=0,1$, $...n+1}),$

알 수 없는 b ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ b ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$b_{n}}$ 및 E.

이 방정식의${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle(-1)^{i}E}$는 노드 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$.${\displaystyle }$. . ${\displaystyle {}_n}$ + ${\displaystyle 1_{}}${\$displaystyle x_{0},$ ...,$x_{n+1$}이 엄격히 증가하거나 감소하는 경우에만 의미가 있다는 것을 분명히 해야 한다.그러면 이 선형 시스템은 독특한 해결책을 가지고 있다.(잘 알려진 바와 같이 모든 선형 시스템에 해결책이 있는 것은 아니다.)또한 라이브러리의 표준 해결자는 $O{\displaystyle ({}^{}}$ $){\displaystyle O(n^{2}){$3}{\displaystyle O(n^{3}) 연산을$$ 수행하는 동안 $O{\displaystyle (}$n $){\displaysty O(n^{3})$ 연산만$$ 사용하여 솔루션을 얻을 수 있다.간단한 증거는 다음과 같다.

첫 번째 n+1 노드에서 $표준$ n-th 도 보간 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}x}$) ${\displaystyle p_{1}(x)}$ ~ f$$( ${\displaystyle x}$) {\$displaystyle f(x)}$까지 계산하고, 또한 표준 n-th 도 보간 p ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}x}$) ${\$을 계산한다.

${\displaystyle p_{1}(x_{i})=f(x_{i}),p_{2}(x_{i})=(-1)^{i},i=0, ...,n.}$

이를 위해 $뉴턴$의${\displaystyle }$보간 공식을 순서 0${\displaystyle ,}$. . , ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle$ 0$,...,n$$},$ $O{\displaystyle }$ (${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle O(n^{2})$의 산술$$ 연산의 분할된 차이와 함께 매번 사용한다.

The polynomial ${\displaystyle p_{2}(x)}$ has its i-th zero between ${\displaystyle x_{i-1}}$ and ${\displaystyle x_{i},\ i=1,...,n}$, and thus no further zeroes between ${\displaystyle x_{n}}$ and ${\displaystyle x_{n+1}}$: ${\displaystyle p_2(x_n}$${\displaystyle {}_{})}$ ${\displaystyle p_{2}(x_{$${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$$})$ 및$$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{xn}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle p_{2}(x_{n+1})$의 부호$({\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$) n$${\$displaystyle(-1)^{n$

${\displaystyle \mathrm{선형}}$ 조합 $p{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p(x):=p_{1}(x)-p_{2}(x)\\cdot \!$$E}$도 n의 다항식이고

${\displaystyle p(x_{i}=p_{1}(x_{i}-p_{2}(x_{i})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{i}-(1)^{i}E,\ \ i=0,\ldots,n.}$

${\displaystyle 이}$는 i${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$.${\displaystyle }$. .${\displaystyle }$n ${\displaystyle i=0$, $...,n}$ 및$$ E의 모든 선택에 대해 위의 방정식과 동일하다.i = n+1에 대한 동일한 방정식은

$p$$\cdot \!$$E\ =\ f(x_{n+1}-(1)^{n+1$}E$}$ 및 특별한$$ 추론이 필요함: 변수 E에 대해 해결됨, E:의 정의:

${\displaystyle E\ :=\ {\frac {p_{1}(x_{n+1})-f(x_{n+1})-{p_{2}(x_{n+1})+(-1)^{n}}}}}.}$

위에서 언급한 바와 같이 분모의 두 용어는 E와 ${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ b ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$+${\displaystyle }$…${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$의 부호가 같다.$}}x+\ldots +b_{n}x^{n}}}}}$은(는) 항상 잘 정의되어$$ 있다.

순서가 지정된 n+2 노드의 오류는 양수 및 음수이므로

${\displaystyle p(x_{i}-f(x_{i})-f(x_-1)^{i}E,\ \ i=0,...,n\!+\!1!}$

De La Vallée Pousin의 정리는 이 조건 하에서는 E 이하의 오차를 가진 n등급의 다항식은 존재하지 않는다고 기술하고 있다.Indeed, if such a polynomial existed, call it ${\displaystyle {\tilde {p}}(x)}$, then the difference ${\displaystyle p(x)-{\tilde {p}}(x)=(p(x)-f(x))-({\tilde {p}}(x)-f(x))}$ would still be positive/negative at the n+2 nodes ${\displaystyle x_i}$${\displaystyle x_{i}.$ 따라서$$ 도 n의 다항식에서는 불가능한 최소 n+1의 0을 갖는다.따라서 이 E는 도 n의 다항식으로 달성할 수 있는 최소 오차에 대한 하한이다.

2단계에서는 b ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle }$+${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ n ${\$에서 표기법을 변경한다.$+b_{n}x^{n}}$ ~ $p$ ( $){\displaystyle$ p$(x)}$.

3단계는 다음과 같이 $입력{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {노드\mathrm{}}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$0${\displaystyle ,}$ . . . . ${\displaystyle x_{}}$n + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ ...,$x_{n+1$}과$$(와)${\displaystyle }$± ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pm$ E$}$에서 개선된다$$.

In each P-region, the current node ${\displaystyle x_{i}}$ is replaced with the local maximizer ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$ and in each N-region ${\displaystyle x_{i}}$ is replaced with the local minimizer. (Expect ${\displaystyle {\bar {x}}_{0}}$ at A, the ${\displaystyle {\overline{x}}_{}}$${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 근처, b.에서는 x ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $그리고{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ x "${\displaystyle n_{"}}$ + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$여기에는 높은 정밀도가 필요하지 않으며, 이차 적합치가 두어 개 있는 표준 라인 검색이면 충분하다.( 참조)

${\displaystyle \mathrm{let}}$ z ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle p}$( x${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$"${\displaystyle i_{}}$- f (${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ "${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle z_{i}:=p({\bar {{x}_{i})-f({\bar$ {$x}_{i$ 각 ${\displaystyle 진폭{}_{}}$ z ${\displaystyle i_{}{}_{}}${\$displaystystyle z_{i}}$는 E보다 크거나 같다$$.The Theorem of de La Vallée Poussin and its proof also apply to ${\displaystyle z_{0},...,z_{n+1}}$ with ${\displaystyle \min\{ z_{i} \}\geq E}$ as the new lower bound for the best error possible with polynomials of degree n.

또한, ${\displaystyle 최대}${ ${\displaystyle z_{}}$ i${\displaystyle \}{}_{}}${\$displaystyle \max\{ z_{i}$\}}}}은(는) 가능한 가장 좋은 오류에 대한 분명한 상한으로 유용하게 사용된다$$.

4단계: ${\displaystyle 최소}${ ${\displaystyle z{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}\}{}_{}}$ ${\displaystyle \min \,\{z_{i} \}}}$ 및 ${\displaystyle 최대<img\; alt="\backslash min\; \backslash ,\backslash \{|z\_\{i\}|\backslash \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/2121ff7a4a96ebd41f886e7fffbce91872aca1fa"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.762ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="172">}$ {${\displaystyle }$z ${\displaystyle i{}_{}\}{}_{}}$ ${\displaystyle \max \,\z_{i}$\}}}}}을(를) 최상의 근사 오차에 대한 하한 및 상한으로$$ 지정하면 신뢰할 수 있는 정지 기준이 있다. ${\displaystyle 최대}${${\displaystyle {max}_{}}$ {${\displaystyle z}$ ${\displaystyle i{}_{}\}{}_{}}$ - ${\displaystyle \{}$min - ${\st$.$yle \max\{z_{i} \}-\min\{z_{i} \}}}}}$은(는) 충분히 작거나 더 이상 감소하지 않는다.이 한계들은 진행 상황을 나타낸다.

변형

때때로 둘 이상의 샘플 지점이 근처의 최대 절대 차이의 위치와 동시에 교체된다.

때때로 모든 샘플 포인트는 모든, 교대 부호, 최대 차이의 위치와 함께 단일 반복으로 교체된다.^[10]

때때로 상대적 오류는 근사치와 함수 사이의 차이를 측정하는데 사용되는데, 특히 근사치가 부동 소수점 산수를 사용하는 컴퓨터에서 함수를 계산하는 데 사용될 경우 더욱 그러하다.

때때로 제로 오류 지점 제약조건이 수정된 레메즈 교환 알고리즘에 포함된다.^[10]

알고리즘 유니캠

2019년 6월 19일, 나다니엘라 에이지디, 로렐라 파톤, 루치아노 미시치(Dipartimento di Matematica, Universita delli Studi di Camerino, 이탈리아)는 심층 연구 A New Remez-Type Negimal 근사치를 대표하였다.^[11]

참고 항목

• 근사 이론

참조

외부 링크

• Minimax 근사 및 Remez 알고리즘, Boost Math Tools 설명서의 배경 장, C++의 구현에 대한 링크 포함
• DSP 소개
• Aarts, Ronald M.; Bond, Charles; Mendelsohn, Phil & Weisstein, Eric W. "Remez Algorithm". MathWorld.