잔여 격자
Residuated lattice추상 대수학에서 잔류 격자는 격자 x ≤ y와 단면 x•y를 동시에 인정하는 대수적 구조로, x•y를 각각 곱셈이나 접속사로 볼 때 분할이나 함축과 느슨하게 유사하다. 각각 오른쪽과 왼쪽 잔차라고 불리는 이러한 연산은 단면체가 역순일 때 일치한다. 일반개념은 모건 워드와 로버트 P가 도입했다. 1939년 딜워스. 일반적인 개념 이전에 존재했던 예로는 부울 알헤브라스, 헤이팅 알헤브라스, 잔류 부울 알헤브라스, 관계 알헤브라스, MV 알제브라가 있다. 잔류 반밀도표에서는 미팅 작업 ∧을 생략한다(예: Kleene Algebras 및 action Algebras).
정의
수학에서 잔류 격자는 대수 구조 L = (L, ≤, • ), •, • ))이다.
(iii)에서 z와 x의 함수로서 "가장 큰 y"는 x\z로 표시되며 z의 오른쪽 잔차를 x로 부른다. 왼쪽에 z를 x로 "분할"한 후 오른쪽에 z가 남아 있는 것으로 생각하십시오. Dally, "가장 위대한 x"는 z/y로 표시되고 y로 z의 왼쪽 잔차를 부른다. (iiii)의 등가, 보다 형식적인 진술로서, 이러한 가장 큰 가치의 명칭을 붙이는 것은 다음과 같다.
(iii) 모든 x, y, z in L, y y x\z ⇔ x•y z z/y에 대해 '
표기법에서 제시한 바와 같이 잔차는 인수의 한 형태다. 보다 정확히 말하면, L에서 주어진 x의 경우, 단항 연산 x•와 x\는 각각 L에서 갈루아 연결부의 하한 및 상부 조정자이며, •y와 /y 두 기능에서 dallally이다. 갈루아 연결에 적용되는 동일한 추론에 의해, 우리는 아직 잔차에 대한 또 다른 정의, 즉,
- x•(x\y) ≤ y \ x\(x•y) 및
- (y/x)•x ≤ y ≤ (y•x)/x,
x•y는 x와 y의 단조여야 한다는 요건과 함께. (iii 또는 (iii)를 사용하여 공리화했을 때 단조화가 정리가 되어 공리화에는 필요하지 않다.) 이는 함수 x•와 x\가 서로의 유사점 또는 조정자임을 의미하며, 마찬가지로 •x와 /x도 마찬가지다.
이 마지막 정의는 순수하게 불평등의 측면에서 단조로운 것이 x•y ≤ (x∨z)•y로 공리화될 수 있으며 다른 작업과 그들의 주장에 대해서도 유사하게 공리화될 수 있다는 점에 주목한다. 더욱이 어떤 불평등 x ≤ y는 방정식으로 동등하게 표현될 수 있는데, x xy = x 또는 x∨y = y이다. 이는 격자 및 모노이드 공리화 방정식과 함께 필수 연산이 서명(L, ≤, • I)에 결합되어 (L, ∧, ∨, • I, /, \)으로 확장되는 한, 잔류 격자의 순전히 동일한 정의를 산출한다. 이렇게 구성되었을 때, 잔여 격자는 동등한 등급이나 품종을 형성하며, 격자 및 단형 연산은 물론 잔차를 존중한다. 분포도 x•(y ∨ z) = (x•y) ∨ (x•z) 및 x•0 = 0은 이러한 공리의 결과이므로 정의의 일부를 만들 필요가 없다는 점에 유의하십시오. • ∨에 대한 이러한 필요한 분배율은 일반적으로 over에 대한 distrib의 분배율을 수반하지 않는다. 즉, 잔여 격자는 분배 격자가 될 필요가 없다. 그러나 •에 대한 ∧의 분포성은 • ∧과 ∧이 동일한 연산일 때 수반된다. 이는 헤잉 대수라고 불리는 잔류 래티스의 특별한 경우다.
x•y에 대한 대체 표기법으로는 x◦y, x;y(관계 대수학), x⊗y(선형 논리학)가 있다. 나는 e와 1'을 대체한다. 잔차에 대한 대체 표기법은 x → y(x\y) 및 y/x(y/x)로, 잔류와 논리 함의 유사성으로 제시되며, 단노이드의 곱셈은 교호할 필요가 없는 접속사의 형태로 이해된다. 모노이드의 경우 두 잔차가 일치한다. 역순적이지 않을 때, 접속사로서의 모노이드와 함축으로서의 잔차의 직관적인 의미는 시간적 품질을 갖는 것으로 이해할 수 있다: x•y는 x와 y를 의미하고 x → y는 (과거에) y를 가졌으며, y ← x는 if-ver(미래에) x를 가졌고, y는 (당시)를 의미한다. 본문의 끝
예
잔류 격자 연구의 원래 동기 중 하나는 반지의 (양면) 이상 격자였다. 링 R이 주어지면, R의 이상은 Id(R)로 표시되며, 설정된 교차로들이 미팅 작업으로 작용하고, 결합 작업으로 작용하는 "이상적인 추가"가 있는 완전한 격자를 형성한다. 모노이드 연산 • "이상적 곱셈"에 의해 주어지며, ID(R)의 요소 R이 이 연산의 ID로서 작용한다. Id(R)에서 A와 B의 두 가지 이상을 부여하면 잔차는 다음과 같이 주어진다.
{0}/B와 B\{0}은(는) 각각 B의 좌우 전멸자임을 주목할 필요가 있다. 이 잔류물은 (A:B)=A/B로 표기된 정류 대수에서 도체(또는 트랜스포터)와 관련이 있다. 사용의 한 가지 차이점은 B가 R의 이상일 필요는 없다는 것이다: 그것은 단지 부분 집합일 수도 있다.
부울 알헤브라와 헤이팅 알헤브라는 x•y = x∧y(단위 I가 대수의 상위 원소 1일 때)의 교합적 잔류 래티스로, 잔차 x\y와 y/x는 모두 동일한 연산, 즉 함축 x → y이다. 헤잉 알헤브라는 완전한 격자를 형성하는 모든 체인이나 총 주문뿐만 아니라 모든 유한 분배 격자를 포함하기 때문에 두 번째 예는 상당히 일반적이다 예를 들어 실제 라인의 단위 간격 [0,1] 또는 정수 및 ± ±
구조(Z, min, max, +, 0, -, -) (두 잔차 모두 뺄셈이 있는 정수)는 모노이드의 단위가 가장 큰 원소(사실 최소 또는 최대 정수가 없으며, 모노이드의 곱셈은 격자의 충족작용이 아니다. 이 예에서 불평등은 동등하다. 왜냐하면 - (굴절)은 단순히 +의 부조화 또는 유사성이 아니라 진정한 역행이기 때문이다. 합리적 또는 현실과 같이 추가적으로 완전히 주문된 그룹은 이 예에서 정수를 대체할 수 있다. 이러한 예 중 어떤 예에서든 음이 아닌 부분은 최소값과 최대값이 상호 교환되고 -가 monus로 대체되어(이 경우) x-y = 0이고 그 이외의 것이 일반적인 뺄셈이 되도록 하는 예다.
더 일반적인 예시 등급은 X의 모든 이진 관계에 대한 부울 대수학(Boolean2 대수학), 즉 X의 파워 세트는 관계의 구성으로 모노이드 곱셈 • X의 모든 쌍(x,x)으로 구성된 X의 모노이드 단위를 X의 ID 관계 I로 취함으로써 잔류 격자를 만들었다. X에 대한 R과 S의 두 가지 관계를 고려할 때, R에 의한 S의 오른쪽 잔존 R\S는 X에 있는 모든 z에 대해 zRx가 zSy를 암시하는 (의미와의 연결에 대해 통지)와 같은 이진 관계다. 왼쪽 잔차는 이것의 거울상이다: y(S/R)x는 X의 모든 z에 대해, xRz는 ySz를 의미한다.
이는 0 < 1 > 0이 유일한 관계인 {0,1}의 이진 관계 < 및 >로 설명할 수 있다. 그런 다음 x(>\<)y는 x = 1일 때, x(</>)y는 y = 0일 때 그대로 유지하며, 이는 < by>의 잔류 여부는 우리가 오른쪽이나 왼쪽으로 잔류하느냐에 따라 다르다는 것을 보여준다. 이 차이는 <•>와 <•>의 차이에 따른 결과로, 여기서 보유하는 유일한 관계는 0(<1>0 이후)과 1(<<•>1)1(<1>1 이후)이다. 만일 우리가 <<과 > 대신에 ≤과 ≥을 선택했다면 ≤\≤과 ≤/≥은 모두 항상 (x11yy와 x00sincey 이후) x와 y 사이를 유지하고 있기 때문에 ≤\≤과 ≤/≥은 같았을 것이다.
알파벳(세트)을 통한 모든 공식 언어의 부울 대수 2는Σ* ε의 모노이드 곱셈이 언어 연결 LM이고, 그 모노이드 단위 I가 단지 빈 문자열 ε으로 구성된 언어 {}}인 잔여 격자를 형성한다. 오른쪽 잔차 M\L은 Mw ⊆ L과 같은 σ 이상의 모든 단어로 구성된다. 왼쪽 잔존 L/M은 mw 대신 wM과 동일하다.
X에 대한 모든 이항 관계의 잔류 격자는 X가 유한할 때에만 유한하며, X가 최소한 하나의 원소를 가질 때에만 상응한다. X가 비어 있을 때 대수는 0 = 1 = I인 퇴행 부울 대수다. σ에 있는 모든 언어의 잔여 격자는 letter이 적어도 하나의 문자를 가지고 있을 때 상응한다. 2개 언어 0(빈 언어 {})과 모노이드 단위 I = {ε} = 1로 구성된 σ이 비어 있을 때만 유한하다.
부울 대수를 구성하는 예들은 잔여 부울 알헤브라에 관한 기사에서 다루어진 특별한 성질을 가지고 있다.
자연 언어에서 잔여 격자는 "그리고"라는 비확실적인 의미와 함께 사용될 때 "그리고"의 논리를 공식화한다. x = 내기, y = 승리, z = 부자, x•y ≤ z를 "bet and then win"으로 읽을 수 있다. 공리에 따르면, 이것은 y win x→z와 동등하며, "win incents had better then lich"를 의미하며, 또한 "win includ then lich"를 의미하는 x ≤ z←y와 같다. 인간은 이런 비순서적인 사람들을 쉽게 발견한다. "이기는 승리할 때 부유할 때" 그리고 "이기는 승리할 때 부자가 될 때"라는 희망적 사고와 같은 "이기는 승리할 때 내기"이다.[citation needed] 인간은 피르체의 법칙(P→Q)→P→P가 고전적인 태토론이라는 것을 그렇게 쉽게 감지하지 못하는데, 이는 인간이 고전보다 비전통적인 추리에 더 능숙함을 보이는 흥미로운 상황(예를 들어 관련 논리에서 피르체의 법칙은 태토론이 아니다)[relevant?]이다.
잔류 반매트리스
잔류 반밀라티스는 잔류 격자에 대해 거의 동일하게 정의되며, 만족 작업 ∧만 생략한다. 따라서 기호 ∧의 발생을 포함하는 것을 제외하고 위에서 명시한 모든 잔류 격자 방정식을 만족하는 대수 구조 L = (L, •, • 1, / \)이다. x ≤ y를 x∧y = x로 정의하는 옵션은 사용할 수 없으며, 다른 옵션 x∨y = y(또는 그에 상응하는 옵션)만 남는다.
모든 잔여 격자는 단순히 om을 생략하여 잔여 반일률로 만들 수 있다. 잔류 반밀착은 작용 알헤브라와 관련하여 발생하며, 이 알헤스들은 또한 클레인 알헤브라스인 잔류 반밀착형이며, 일반적으로는 ∧이 필요하지 않다.
