루트 기준점

수학적 집단 이론에서, 한 분야에 걸쳐 연결된 분할 환원 대수 집단의 루트 기준치는 이형성까지의 집단을 결정하는 뿌리 시스템의 일반화다.그것들은 1970년에 출판된 SGA III에서 Michel Demazure에 의해 소개되었다.

정의

루트 기준점은 4중으로 구성된다.

${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}\mathrm{\phi }}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}^{}{\vee }^{}}$ ) ${\displaystyle (X^{\ast }},\Phi ,X_{\ast },\Phi ^{\ve$ $\}\}\}\},$ ,

어디에,

• $∗{\$$ast$ $}$과(와$)$ $X{\displaystyle {}_{}}$ $displaystyle$ X_${\state }$은(는) $우리$가 가리키는 Z {\$displaystyle \mathb{Z}}}$의 값과 함께 완전히 짝을 이루며 유한한 자유 아벨 그룹이다$$.
• ${\displaystyle \Phi }$ is a finite subset of ${\displaystyle X^{\ast }}$ and ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ is a finite subset of ${\displaystyle X_{\ast }}$ and there is a bijection from ${\displaystyle \Phi }$ onto ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$, denoted by ${\displaystyle \alpha \mapsto {\alpha }^{\vee }}$$\displaystyle \mapsto \mapsto ^{\vee$ $\}\}\}.$
• 각 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\vee }^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{\ve }}=2$}$$.
• For each ${\displaystyle \alpha }$, the map ${\displaystyle x\mapsto x-(x,\alpha ^{\vee })\alpha }$ induces an automorphism of the root datum (in other words it maps ${\displaystyle \Phi }$ to ${\displaystyle \Phi }$ and the induced action on ${\displaystyle X_{\ast }}$ maps ${\displaystyle }$${\$ $^{\ve }$ ~ ${\displaystyle {\vee }^{}}$ ${\$

${\displaystyle \Phi}$의 원소를 루트$$ 기준의 루트라고 하고, ${\$의 원소를 코루트라고 한다.

$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$이($가{\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$ ${\displaystyle \in }$ ∈ ∈ ${$ {\$displaystyle$$$\alpha $\in \Phi$ $\}$에 $대해{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle$ $\alpha$$$}}을(를) 포함하지 않으면$$ 루트 기준점이 감소됨으로 불린다.

대수 그룹의 루트 기준

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 분할 최대 토러스 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$}$을(를$$) 가진 대수적으로 닫힌 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대한 환원 대수 그룹이라면, 그$$ 루트 기준점은 4배이다.

${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}\mathrm{\phi }}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}^{}{\vee }^{}}$ ) ${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\ve$ $\}\}\},$

어디에,

• $∗{\$ X$^{*}}$는 최대 토러스 문자의 격자,
• $∗{\$은(는) 이중 격자(1-모수 부분군에서 제공됨),
• ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle \Phi }$은(는) 루트 집합이며,
• ${\$는 해당 코루트의 집합이다.

$K$ ${\displaystyle K}$ 위에 연결된 분할 환원 대수 그룹은 항상 감소되는 그 루트 기준점에 의해 고유하게 결정된다(이소모르프까지).반대로 어떤 루트 기준점에도 환원 대수집단이 있다.루트 기준점은 그룹의 중심을 결정하기도 하기 때문에 Dynkin 다이어그램보다 약간 더 많은 정보를 포함하고 있다.

For any root datum ${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$, we can define a dual root datum ${\displaystyle (X_{*},\Phi ^{\vee },X^{*},\Phi )}$ by switching the characters with the 1-parameter subgroups, and switching the roots with the coroots.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 대수적으로 닫힌 $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$에 대한 연결된 환원 대수 그룹이라면$,$ 해당 Langlands 이중 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{L}G}$은 루트 기준이 $G{\displaystyle }$ ${\displaysty$ G$}$에 이중인 복잡한 연결 환원 그룹이다$.$

참조

• Michel Demazure, XXI in SGA 3 vol 3
• T. A. 스프링거, 환원 그룹, 자동 형태, 표현 및 L-기능 제1권 ISBN0-8218-3347-2