유니티 모듈론의

이 기사는 위키피디아의 품질 기준을 충족시키기 위해 정리가 필요할 수 있습니다.구체적인 문제는 문맥의 부족, 명시적인 예시의 부족, 통일성의 뿌리 및 유한장과의 주요 차이점에 대한 설명의 부족 ③ 통일성의 뿌리. 가능하다면 이 글을 개선할 수 있도록 도와주세요. (2023년 2월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

수론에서, 양의 정수 k, n ≥ 2에 대한 통일 모듈론의 k번째 루트는 정수 모듈론의 환에 있는 통일성의 루트입니다. 즉, 방정식($또는{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {합동}^{}}$) ${\displaystyle \mathrm{x}}$k ${\displaystyle {}^{}}$ 1 (${\displaystyle mod}$ n${\displaystyle )}${\$displaystyle$ x$^{k}\equiv$ 1${\pmod {n$의 해 x를 통일 모듈론의 ^[1]원시 k번째 루트라고 합니다.표기법과 용어는 모듈러 산술을 참조하십시오.

통일 모듈론의 근은 정확히 n과 공분하는 정수입니다.사실, 이 정수들은 오일러 정리에 의한 통일 모듈론의 근이고, 나머지 정수들은 0의 나눗셈 모듈론이기 때문에 통일 모듈론의 근이 될 수 없습니다.

원시 근모듈론은 정수 모듈론 고리의 단위 그룹의 생성기입니다.λ${\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$ )${\displaystyle }$=$$φ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle n}$ )${\displaystyle }$φ ,$${\$displaystyle$\displaystyle \$display$$(n$) =$\$$varphi (n),$ λ ${\displaystyle$\displaystyle \displaystyle \displaytyle \varphi }, lambda ${\displaystyle \varphi }$가 각각 카마이클 함수와 오일러의 토티언트 함수인 경우에만 원시 근 모듈이 존재합니다.

유니티 모듈론의 루트는 λ${\displaystyle (n),}${\$displaystyle \lambda (n),}$ 의 어떤 나눗셈에 대한 유니티 모듈론의 원시 k번째 루트이며, 반대로 k가${\displaystyle }$λ${\displaystyle (}$n${\displaystyle )}$ 의 나눗셈인 경우에만 유니티 모듈론의 원시 k번째 루트가 있습니다.$${\$displaystyle \lambda (n)}$

통합의 뿌리

특성.

• x가 유니티 모듈론의 k번째 루트라면, x는 x ${\displaystyle k^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ x$^{k-1$의 $역수$인 단위(가역 가능)입니다.즉, x와 n은 공범입니다.
• 만약 x가 단위라면, 그것은 단위 모듈론의 (1차) k번째 루트이고, 여기서 k는 x 모듈론의 곱셈 순서입니다.
• x가 통일성의 k번째 루트이고${\displaystyle }x$ - ${\displaystyle 1}${\$displaystyle x-1}$이${\displaystyle \underset{}{\overset{}{(}}}$가) 영수가 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{아닌}}}}$ 경우,$$∑ j = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$ - ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle x^{}}$ j ≡${\displaystyle 0}$ (${\displaystyle mod}$n )$${\$displaystyle \sum$ _${j$=$0}^{k-1}x^{j}\equiv$ 0${\pmod {n$

${\displaystyle (x-1)\cdot \sum _{j=0}^{k-1}x^{j}\equiv x^{k}-1\equiv 0{\pmod {n}}}$

k번째근수

널리 받아들여지는 기호가 없기 때문에${\displaystyle ,}$ 우리는 ${\displaystyle f}$ (n${\displaystyle ,}$k){\$displaystyle$f ($n,k$로 유니티 모듈의 k번째 루트 수를 나타냅니다. 그것은 다음의 몇 가지 성질을 만족합니다.

• ${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{f}}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle 1}$) $=$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \ge }$ 2$${\$displaystyle$ n$\geq$ 2$}$에 $대해$ 1$${\$displaystyle$ f$($)=$1}$
• $λ$$=\varphi (n)}$ 여기서 $λ$는 카마이클 함수를 나타내고 $φ$$${\$displaystyle$ \$varphi$}는 오일러의 토티엔트 함수를 나타냅니다.
• ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mapsto f}$ ( ${\displaystyle n,k}$ )$${\$displaystyle$ n$\mapstof(n,k)}$은(는) 곱셈 함수입니다.
• ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle ⟹}$ $ℓ$∣ f (${\displaystyle }$n, ${\displaystyle \mathrm{k\; )\; imp}\mathrm{lies}}$ f (${\displaystyle }$n${\displaystyle ,}$ℓ ) {\$displaystyle k\mid$ \$ell$ \$mid$f $(n, k$)\mid f ($n,\ell$ )} 여기서 막대는 나눗셈을 나타냅니다.
• $displaystyle$$=\operator name$ {lcm$}(f(n,a),f(n$,b$))$ ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서$$lcm ${\displaystyle$ \$operator name${lcm$}$은(는) 최소공배수를 나타냅니다.
• $prime$ p ${\displaystyle$ p$\}$의 경우 ∀ ${\displaystyle i}$ ∈ ${\displaystyle N}$ ∃ ${\displaystyle j}$∈ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle {pi}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ =$pj${\$displaystyle \forall$ i$\in \mathbb {N} \f(n,p^{i$})= p$^{j$입니다.i$${\$displaystyle$ i$}$에서 j ${\displaystyle$ j$}$로의 정확한 매핑을 알 수 없습니다.알려진 경우 이전 법칙과 함께 f ${\displaystyle$ f$}$을(를) 신속하게 $평가$할 수 있습니다.

예

n = ${\displaystyle 7}${\$displaystyle$ n=$7},$ $k$ = ${\displaystyle 3}${\$displaystyle$ k=$3$이라고 $하자$. 이 경우, 3개의 합집합(1, 2, 4)이 존재합니다.그러나 n = ${\displaystyle 11}${\$displaystyle$ n =$11$}인 경우 단위 1 자체인 유니트의 큐브 루트가 하나뿐입니다.이 동작은 0이 아닌 모든 수가 k번째 근을 가지는 복소수의 장과는 매우 다릅니다.

통합의 원시적 뿌리

특성.

• ${\displaystyle$ n$}$ $프리미티브$ 루트 모듈에 대해 가능한 최대 래딕스 지수는${\displaystyle }$λ$)$ ${\displaystyle$ \lambda$(n$이며, 여기서 λ는 Carmichael 함수를 나타냅니다.
• 원시적 통일근에 대한 기수 지수는${\displaystyle }\pi {\displaystyle }$ (${\displaystyle n)}$ ${\displaystyle \lambda(n$의 약수입니다.
• λ${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle$ $k$$}$ {\displaystyle \$lambda(n)}$의 모든 $분원$ ${\displaystyle$ k}은(는$)$ 통합의 기본 k {\displaystyle k.x ${\displaystyle$x}($으$)로 명명된 통합의 λ${\displaystyle (n)}${\$displaystyle \lambda(n)}$번째 원시 루트(λ의 정의에 따라 존재해야 함)를 선택하여 이러한 루트를 얻을 수 있으며${\displaystyle {\mathrm{검정력}x}^{}}$λ(n) / k${\displaystyle$ x$^{\lambda$(n$)/k$를 계산할 수 있습니다.
• 만약 x가 (꼭 원시적일 필요는 없는) 단위의 원시 k번째 근이고 또한 (원시적일 필요는 없는) 단위의 k번째 근이라면, k는 π의 약수입니다.이것은 Bézout의 ID가 ${\displaystyle gcd(k,}$ℓ) ${\displaystyle \gcd(k,\ell$와 동일한 k와 ℓ의 정수 선형 조합을 산출하기 때문에 사실입니다. k는 최소이므로 k${\displaystyle }$=${\displaystyle \gcd (}$k,${\displaystyle }$ℓ$)$ {\$displaystyle$$$k=$\gcd(k,\$ell )}이어야 하며${\displaystyle }$gcd${\displaystyle (k}$,${\displaystyle }$ℓ$)$ {\$displaystyle$ \$gcd(k,\$ell )}는 ℓ의 약수입니다.

원시 k번째 근의 수

널리 받아들여지는 기호가 없기 때문에, 우리는 유니티 모듈론의 원시 k번째 루트의 수를 g$){\displaystyle$ g$(n,k$로 나타내고, 그것은 다음 성질들을 만족합니다:

• ${\displaystyle g(n,k)={\text{case}>0&{\text{if}}}k\mid \text(n),\0&{\text{text}}.\end{case}}$
• $결과적$으로 함수${\displaystyle k}$↦ ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle n,}$k ) {\$displaystyle k\mapsto$g ($n$${\displaystyle ,}$ $k)}$에${\displaystyle }$0과 ${\displaystyle \mathrm{다른}}$ d ($$λ ( n ) {\$displaystyle$d (\$lambda (n))}$ 값이 $있습니다$. $여기$서 d ${\displaystyle$ d$}$는 분할 수를 계산합니다.
• ${\displaystyle g(n,1)=1}$
• ${\displaystyle g(4,2)=1}$
• ${\displaystyle }$g (${\displaystyle 2}$n, ${\displaystyle 2}$ ) $=$은 항상 1의 제곱근이므로 n ≥ 3 {\displaystyle${\displaystyle }$n${\displaystyle {}^{}}$$geq$ 3$\}$에 $대한$ 3$${\$displaystyle$ g$(2^{n$입니다.
• ${\displaystyle g}$(${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\displaystyle 2k^{}}$ $=$ ${\displaystyle {2k}^{}}$ ${\displaystyle$ g$(2^{n},2^$})=$2$$^{k}$ for k${\displaystyle }$∈ [${\displaystyle 2,n}$- ${\displaystyle 1]}${\$displaystyle$ k$\in [2,n-1]}$
• ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle 2}$) $=$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \ge }$ {\$displaystyle$ n$\geq$ 3$}$ $및$ n ${\displaystyle$ n$}$에 $대해$ 1$${\$displaystyle$ g$($)= $1}($OEIS의 시퀀스 A033948)
• $=$$φ$$${\$displaystyle$ \$varphi}$가 오일러의 토티엔트 함수인 $=\varphi(n)$
• f ${\displaystyle$ f$}$와 g ${\displaystyle$ g$}$의 연결은 디리클레 컨볼루션을 사용하여 우아한 방식으로 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm{\mu g}}${\$displaystyl$ f =\$mathbf {1}$ *$g$ 즉${\displaystyle }f$ (${\displaystyle n}$${\displaystyle ,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle \underset{}{d}}$ ∣ ${\displaystyle \underset{}{k}\underset{}{}}$ (${\displaystyle n,d)}${\$displaystyle$ f$($${\displaystyle n}$$,k$)=\$sum$ _${d\mid$ k$}g(n,d)}$

뫼비우스 반전 공식과 동일한 이 공식을 사용하여 f ${\displaystyle$ f$}$에서 g {\$displaystyle$ g$}$의 $값$을 재귀적으로 계산할 수 있습니다.

x가 유니티 모듈론의 원시 k번째 루트인지 여부 검정

빠른 지수화를 통해 x ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1}$( ${\displaystyle mod}$n )$${\$displaystyle$ x$^{k}\equiv$ 1${\pmod {n$를 확인할 수 있습니다. 이것이 사실이라면 x는 유니티 모듈론의 k번째 루트이지만 반드시 원시적일 필요는 없습니다.원시근이 아니라면, x ℓ ≡ ℓ 1${\displaystyle }$( ${\displaystyle mod}$n )$${\$displaystyle$ x$^{\ell }\equiv$ 1${\pmod {n$인 k의 약수 ℓ가 있을 것입니다. 이러한 가능성을 배제하기 위해서는 몇 개의 '의 동등한 k를 소수로 나눈 값을 확인하기만 하면 됩니다.즉, 확인해야 할 사항은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \forall p{\text{prime division}}\k,\not \equiv 1{\pmod {n}}.$

유니티 모듈의 원시 k번째 루트 찾기

통합의 원시 k번째 근 중에서 원시 $)$ {\$displaystyle \lambda(n)}$번째$$ 근이 가장 빈번합니다.따라서 원시 λ${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle \lambda(n)}$ 번째 루트가 될 경우 몇 가지 정수를 사용하는 것이 좋습니다. 빨리 성공할 수 있는 것은 무엇입니까?원시${\displaystyle }$λ (${\displaystyle n}$ )$${\$displaystyle \lambda ($${\displaystyle n^{}}$$)}$ 번째 루트 x에 대해 $숫자$ x${\displaystyle {}^{}}$λ (${\displaystyle {}^{}}$n${\displaystyle {}^{}}$) / ${\displaystyle k^{}}${\$displaystyle$ x$^{\lambda (n)/k}$는 통합의 $원시$ k$${\$displaystyle$ k$}$ 번째 루트입니다.k가${\displaystyle }$λ (${\displaystyle n}$ ) ${\displaystyle \lambda (n$을(를) 나누지 않으면, 통합의 k번째 근은 전혀 존재하지 않습니다.

여러 개의 원시 k번째 루트 모듈 찾기

일단 통일성 x의 원시 k번째 루트가 얻어지면, 모든 $거듭제곱{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ $∈$ {\$displaystyle$ x$^{\ell}}$는 $통일성$의 k${\displaystyle$ k$}$번째$$ 루트이지만, 반드시 원시적일 필요는 없습니다.k$${\$displaystyle$ k$}$와 ℓ ${\displaystyle \ell$}이(가) 동일한 $경우$에만 $power$ x$$ℓ {\$displaystyle$ k}는 기본 k$${\$displaystyle$ k$}$번째 통합 루트입니다.그 증명은 다음과 같습니다.$x$ ℓ ${\displaystyle$ x$^{\ell}}$이(가) 원시가 아닌 경우${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle x^{}}$ ≡ ) m$$ℓ 1${\displaystyle }$($n$) {\$displaystyle$ k$}$의$약수$ {\$displaystyle$ m$}$이$가)$ $존재$하며, k ${\$$displaystyle$ k$}$와 ℓ ${\$displaystyle \$ell}$이$($$)$ 공칭이므로,ℓ ${\displaystyle \ell }$ 모듈록 ${\displaystyle$ k$}$의$$역 ℓ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle \ell ^{-1}}$이(가) 존재합니다.이렇게 $하면$ 1 ≡ (${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ℓ )${\displaystyle {}^{}}$m )${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ℓ - ℓ ≡ x ${\displaystyle m}$ (${\displaystyle mod}$n ) {\$displaystyle 1\equiv ((x$^{\ell$})^{m$}}\$equiv x^{m}{\pmod${n$\}\}$이(는$)$ $더$ 작은 $지수$ m$${\$displaystyle$ m$\}$이 있으므로 기본 k {\$displaystyle$$$k$}$번째 $일치$ 루트가 아님을 $의미$합니다.

즉, x를 지수화함으로써${\displaystyle }\sigma {\displaystyle }$ (${\displaystyle k)}$ ${\displaystyle \varphi (k)}$개의$$ 서로 다른 원시 k번째 통일 루트를 얻을 수 있지만, 이 모든 루트는 그러한 루트가 아닐 수 있습니다.하지만, 이 모든 것들을 찾는 것은 그리 쉽지 않습니다.

유니티 모듈론의 원시 k번째 루트가 있는 n 찾기

어떤 정수 잔차 클래스 링에 통일성의 원시 k번째 루트가 존재합니까?k ${\displaystyle$ k$}$ 정수 벡터의 이산 푸리에 변환(더 정확하게는 수론적 변환)을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.역변환을 수행하려면 k ${\displaystyle$ k$\}$로 나누십시오. 즉 k는 단위 $모듈$입니다$.$ {\$displaystyle$ n$.}$

그러한 n을 찾는 간단한 방법은 산술 $진행{\displaystyle }$k + ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2}$k + ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 3k}$ + ${\displaystyle 1,}$ … ${\displaystyle$k +$1$, 2$k$ +$1$, $3$k + $1,\dots }$ 이$$ 모든 모듈은 k에 공모이므로 k는 단위입니다.산술 진행에 관한 디리클레의 정리에 따르면, 진행 중인 소수는 무한히 많고$,$ $소수$ p {\$displaystyle$ p$\}$에 대해서는${\displaystyle }\pi$ (${\displaystyle p)}$ =${\displaystyle p}$ - ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \p(p$) =$p-1$를 갖습니다. 따라서 ${\displaystyle \mathrm{만약}\mathrm{mk}}$ +$$1 {\$displaystyle mk+$1}이 소수라면,${\displaystyle }\pi$ (${\displaystyle \mathrm{mk}}$+ ${\displaystyle 1)}$ = ${\displaystyle \mathrm{mk}}${\$displaystyle \p(p)$=$π$그래서 통합의 원시 k번째 뿌리가 있습니다.그러나 소수에 대한 검정은 너무 강하며 다른 적절한 모듈리가 있을 수 있습니다.

유니티 모듈론의 여러 원시 근을 갖는 n 찾기

유니티 $모듈론{\displaystyle }${\$displaystyle$ n$\}$의 $원시{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \text{k1th},}$ ${\displaystyle \text{k2th},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle \text{kmth}}${\$displaystyle k_{1}{\text{th}}, k_{2}{\text{th}},\ldots, k_{m}{\text{th}}}$개의 루트가 있는 $모듈러스{\displaystyle }$n을$$ 찾으려면 다음 정리를 통해 문제를 단순화합니다.

${\displaystyle \mathrm{주어진}}$ n개의 ${\displaystyle$ n${\displaystyle \}}$에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle k_{1}{\text{th}},\ldots,k_{m}{\text{th}}}$개의$$ 유니티 $모듈론{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$$n$}$개의$$ 루트가 있습니다. (${\displaystyle {k1\mathrm{}}_{},\dots ,{km}_{}}$ ${\displaystyle$ \$operatorname$ {$lcm}(k_{1},\ldots,k_{$m}}개의$$ 유니티 모듈론 루트가 있는 경우에만 해당됩니다.

증명

뒤쪽 방향:${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ x$\}$라고 $하는$ $유니티$ 모듈 ${\displaystyle$ n$}$의 루트 {\displaystyle $n}(k_{1},\ldots,k_{m})${\displaystyle n}이(가) 있는 경우 $x$ ${\displaystyle {\mathrm{lcm}}^{}}$⁡${\displaystyle (}$${\displaystyle {{k1}_{},\dots ,{km}_{})}^{}}$ / ${\displaystyle {{kl}_{}}^{}}$ ${\displaystyle$ x$^{\operatorname {lcm}(k_{1},\ldots,k_{m}/k_{l}}$은 ${\displaystyle {유니티}_{}}$ $모듈$ {\$displaystyle$ $k_{l}$의 루트입니다$.$$aystyle$n$\}.$

앞으로 방향:$원시$ ${\displaystyle k_{}\text{1번째},}$ …, ${\displaystyle \text{kmth}}$$${\$displaystyle$$k_{1}{\text{$th}},\$ldots,k_{m}{\text{$th$\}\}\}$개의 유니티 $모듈$이 있는 경우, $모든$ ${\displaystyle {지수}_{}}$ k 1${\displaystyle ,}$…, ${\displaystyle {km}_{}}${\$displaystyle k_{1},\dots,k_{m}$는 λ${\displaystyle (n)}${\$displaystyle \lambda$의 약수입니다.이것은 ${\displaystyle \mathrm{lcm}}$ ⁡ ( k ${\displaystyle 1_{},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {km}_{}}$)${\displaystyle }$λ (${\displaystyle n}$ )$${\$displaystyle \operatorname {lcm}$ ($k_{1$${\displaystyle \},\backslash }$$dots$${\displaystyle ,{k\_}_{}}$${m$${\displaystyle {}_{}}$$mid \lambda($${\displaystyle {}_{}}$를 의미하며, 이것은 ${\displaystyle \mathrm{다시}}$ 유니티 $모듈론${\$displaystyle$ n$\}$의 ${\displaystyle \operatorname {lcm}$ ($k_{1},\ldots,k_{m}}$번째 루트가 있음을 의미합니다.

참고문헌