회전 전이

회전 전환은 양자물리학에서 각운동량의 급격한 변화다.양자 입자의 다른 모든 특성들과 마찬가지로 각운동량도 정량화되는데, 이는 서로 다른 회전 에너지 상태에 해당하는 특정 이산값만 같을 수 있다는 것을 의미한다.입자가 각운동량을 상실하면 낮은 회전 에너지 상태로 전환되었다고 한다.마찬가지로 입자가 각운동량을 얻을 때 양의 회전 전환이 발생했다고 한다.

회전 전환은 물리학에서 중요한데, 그 결과 발생하는 고유한 스펙트럼 라인이 있기 때문이다.전환 중 에너지 순이익 또는 손실이 발생하기 때문에 특정 주파수의 전자기 방사선은 흡수되거나 방출되어야 한다.이것은 회전 분광법이나 라만 분광법에서와 같이 분광계로 감지할 수 있는 주파수에서 스펙트럼 라인을 형성한다.

이원자 분자

분자는 질량의 중심에 대한 핵의 회전 운동으로 인해 회전 에너지를 가진다.정량화로 인해 이러한 에너지는 특정한 이산형 값만 취할 수 있다.따라서 회전 전환은 광자의 이득 또는 상실을 통해 한 회전 에너지 수준에서 다른 회전 에너지 수준으로 분자가 이동하는 것과 일치한다.이원자 분자의 경우 분석은 간단하다.

핵파 함수

분자의 양자 이론적 분석은 Born-Openheimer 근사치를 이용하여 단순화된다.일반적으로 분자의 회전 에너지는 m/M ≤ 10⁻³ – 10의⁻⁵ 인수에 의해 전자 전환 에너지보다 작다. 여기서 m은 전자 질량이고 m은 전형적인 핵 질량이다.^[1]불확실성 원리에서 동작 기간은 플랑크의 상수 h를 에너지로 나눈 순서다.따라서 핵 회전 기간은 전자 기간보다 훨씬 더 길다.그래서 전자 운동과 핵 운동은 따로 취급할 수 있다.단순한 이원자 분자의 경우, 전자적 상태 s에서 원자파 함수 F_s(R)에 대한 슈뢰딩거 방정식의 방사형 부분은 (회전 상호작용을 무시)로 기록된다.

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu R^{2}}}{\frac {\partial }{\partial R}}\left(R^{2}{\frac {\partial }{\partial R}}\right)+{\frac {\langle \Phi _{s} N^{2} \Phi _{s}\rangle }{2\mu R^{2}}}+E_{s}(R)-E\right]F_{s}(\mathbf {R} )=0}$

여기서 μ는 두 핵의 질량을 감소시키고, R은 두 핵에 결합하는 벡터, E_s(R)는 전자파 함수 φ의_s 에너지 고유값이며, N은 두 핵의 상대 운동을 위한 궤도 운동 연산자다.

${\displaystyle N^{2}=-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial }{\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \Phi ^{2}}\오른쪽]}}}$

분자의 총파함수는

${\displaystyle \Psi _{s}=F_{s}(\mathbf {R} )\Phi _{s}(\mathbf {R} ,\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{N})}$

여기서 r은_i 분자 질량의 중심에서 i^th 전자에 이르는 위치 벡터다.본 오펜하이머 근사치의 결과로 전자파 함수 functions은_s R에 따라 매우 느리게 변화하는 것으로 간주된다.따라서 전자파 함수에 대한 슈뢰딩거 방정식을 R. E의_s 다른 값에 대한 E_s(R)를 얻기 위해 먼저 해결한 후, 핵파 함수_s F(R)의 분석에서 잠재적 우물 역할을 한다.

회전 에너지 레벨

위의 핵파 함수 방정식의 첫 번째 항은 방사형 운동으로 인한 핵의 운동 에너지에 해당한다.계약 기간 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parse.mw-parser-output.R-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}⟨Φs N2Φs⟩/2μR2, 물질에서 그들의 중심에 대해, 주어진 전자 상태 Φs의 두개의 원자 핵의 회전 운동 에너지를 나타냅니다.동일한 값의 가능한 값은 분자에 대한 서로 다른 회전 에너지 수준이다.

핵의 회전 운동을 위한 궤도 각도 운동량은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {J} -\mathbf {L}}$

여기서 J는 전체 분자의 총 궤도 각도 운동량이고 L은 전자의 궤도 각도 운동량이다.z축을 따라 핵내 벡터 R을 취하면 z축을 따라 N의 성분이_z 0으로 된다.

${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {R} \times \mathbf {P} }$

그러므로

${\displaystyle J_{z}=L_{z}}}$

분자파 함수 ψ은_s J와² J의_z 동시 고유함수인 만큼,

${\displaystyle J^{2}\PSI _{s}=J(J+1)\hbar ^{2}\PSI _{s}}$

여기서 J는 회전 양자수라고 불리며 J는 양의 정수 또는 0일 수 있다.

${\displaystyle J_{z}\PSI _{s}=M_{j}\hbar \PSI _{s}}$

여기서 -J ≤ M_j ≤ J.

또한 전자파함수 is은_z L의 고유함수이기 때문에,

$L_{z}\ 표시Phi _{s}=\pm \Lambda \hbar \Phi _{s}}$

따라서 분자파 함수 ψ도_s 고유값 ± ±λ을 갖는 L의_z 고유함수다.L과_z J가_z 같기 때문에 ψ은_s 동일한 고유값 ±λħ을 가지는 J의_z 고유함수다.J ≥ J로서_z J ≥ ≥ have 을 가지고 있다. 그래서 가능한 회전 양자수의 값은

$[\displaystyle J=\lambda ,\lambda +1,\lambda +2,......}$

따라서 분자파 함수 ψ은_s J², J_z, L의_z 동시 고유함수다.분자가 L의_z 고유 상태에 있기 때문에 z축(내부핵선)의 방향에 수직인 성분의 기대값은 0이다.그러므로

${\displaystyle \langle \Psi \{s} L_{x} \Psi _{s}\rangele =\langle L_{x}\rangele =0}$

그리고

${\displaystyle \langle \Psi \{s} L_{y} \Psi _{s}\rangele =\langle L_{y}\rangele =0}$

그러므로,

${\displaystyle \mathbf {J} .\mathbf {L} \angle =\langle J_{z}\langle =\langle {L_{z}}}^{2}\angle}}}}$

이 모든 결과를 종합해 보면

${\displaystyle \langle \Phi _{s} N^{2} \Phi _{s}\rangle F_{s}(\mathbf {R} )=\langle \Phi _{s} J^{2}+L^{2}-2\mathbf {J} .\mathbf {L} \Phi _{s}\rangle F_{s}(\mathbf {R} )=\hbar ^{2}[J(J+1)-\Lambda ^{2}]F_{s}(\mathbf {R} )+\langle \Phi _{s}{L_{x}^{2}+{{n2}}L_{y}}^{2} \Phi _{s}\rangele F_{s}(\mathbf {R} )}$

원자파 함수에 대한 슈뢰딩거 방정식은 이제 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle -{\frac {\hbar^{2}}:{2\mu R^{2}}: 왼쪽[{\frac {\partial R}}{\partial R}}\왼쪽(R^{2}){\frac {\partial R}\right)-J(J+1)\right]F_{s}(\mathbf {R} )+[{E'}_{s}(R)-E]F_{s}(\mathbf {R} )=0}$

, where

${\displaystyle {E'}_{s}(R)=E_{s}(R)-{\frac ^{2}\hbar ^{2}}:{{2\mu R^{2}}+{2\frac {1}{2\mu R^{2}}}}\langle \Phi _{L_{x}}{x}}^{2}+{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}L_{y}}^{2} \Phi _{s}\rangele }$

이제 E'_s는 방사형 핵파 함수 방정식에서 유효 전위 역할을 한다.

시그마 주

전자의 총 궤도 운동량이 0인 분자 상태를 시그마 상태라고 한다.시그마 주에서는 λ=0이다.따라서 E'(_sR) = E_s(R)이다.안정 분자에 대한 핵 운동은 일반적으로 R 주변의₀ 작은 간격에 국한되며, 여기서 R은₀ 잠재적 E_s(R₀)의 최소 값에 대한 내부 비핵 거리에 해당하므로, 회전 에너지는 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle E_{r}={\frac {\hbar ^{2}}:{R_{0}^{2}}:J(J+1)={\frac {\hbar ^{2}}:{2}{2}}:00}J(J+1)={\frac {\hbar ^{2}}:{2}{2}I_{0}}J(J+1)=BJ(J+1)}$

와 함께

$[\displaystyle J=\lambda ,\lambda +1,\lambda +2,......}$

나는₀ 평형 거리 R에₀ 해당하는 분자의 관성 모멘트인데, B는 주어진 전자 상태 φ에_s 대한 회전 상수라고 불린다.감소된 질량 μ는 전자 질량보다 훨씬 크기 때문에 E'(_sR)의 표현에서 마지막 두 항은 E에_s 비해 작다.따라서 시그마 상태가 아닌 상태에서도 회전 에너지는 위 식에 의해 대략 주어진다.

회전 스펙트럼

회전 전환이 발생할 때 회전 양자수 J의 값 변화가 있다. 회전 전환에 대한 선택 규칙은 = = 0, ΔJ = ±1 및 흡수되거나 방출된 광자로 λ ≠ = 0, ΔJ = 0, ±1이 va를 변경하지 않고 총 핵 각도 모멘텀과 총 전자 각도 모멘텀에서 동일하고 반대되는 변화를 만들 수 있는 경우다.J의 lue

이원자 분자의 순수 회전 스펙트럼은 원적외선 또는 마이크로파 영역에 있는 선으로 구성된다.이 라인의 주파수는 다음과 같다.

${\displaystyle \hbar \omega =E_{r}(J+1)-E_{r}(J)=2B(J+1)}$

따라서 물질의 B, I₀ 및 R₀ 값은 관측된 회전 스펙트럼에서 결정할 수 있다.

참고 항목

• 진동 전이

메모들

참조

• B.H.Bransden C.J.Jochain. Physics of Atoms and Molecules. Pearson Education.
• L.D.Landau E.M.Lifshitz. Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory). Reed Elsvier.