룬게-쿠타-펠베르크 방법

수학에서 룬게-쿠타-펠베르크 방법(또는 펠베르크 방법)은 일반 미분 방정식의 수치 해법에 대한 수치해석 알고리즘이다.독일의 수학자 에르윈 펠베르크에 의해 개발되었으며, 룬게-쿠타 방법의 대계급에 기초하고 있다.

펠베르크 방법의 참신함은 룬게-쿠타 계열의 임베디드 방법이라는^{[definition needed]} 것으로, 순서가 다르고 유사한 오류 상수의 방법을 만들기 위해 동일한 함수 평가를 서로 연계하여 사용한다는 것을 의미한다.펠베르크의 1969년 논문에 제시된 방법은 RKF45 방법으로 불렸으며, 오더 추정기가 O(h⁵)인 오더 O(h⁴)의 오더법이다.^[1]한 번의 추가 계산을 수행함으로써, 적응 단계화를 자동으로 결정할 수 있는 고차 임베디드 방법을 사용하여 솔루션의 오차를 추정하고 제어할 수 있다.

Felberg의 4(5) 방법을 위한 푸에르토 테이블라우

모든 런지-쿠타 방법은 그것의 푸줏대감으로 독특하게 식별된다.펠버그가^[2] 제안한 임베디드 페어

0
1/4	1/4
3/8	3/32	9/32
12/13	1932/2197	−7200/2197	7296/2197
1	439/216	−8	3680/513	−845/4104
1/2	−8/27	2	−3544/2565	1859/4104	−11/40
	16/135	0	6656/12825	28561/56430	−9/50	2/55
	25/216	0	1408/2565	2197/4104	−1/5	0

표 하단의 첫 번째 계수는 다섯 번째 순서 정밀한 방법을, 두 번째 행은 네 번째 순서 정밀한 방법을 제공한다.

이것은 룬게-쿠타-펠베르크 방법으로 진화한 3체 시뮬레이션 동안 사용된 계산 시간을 실시간으로 보여준다.대부분의 컴퓨터 시간은 신체가 가까이 지나갈 때 쓰이며 수적 오류에 취약하다.

RK4(5) 알고리즘 구현

Fehlberg가 포뮬러 1에 대해 발견한 계수(파라미터 α2=1/3)는 대부분의 컴퓨터 언어와 호환되도록 베이스 0 대신 베이스 1의 배열 색인을 사용하여 아래 표에 제시되어 있다.

Felberg의^[2] 공식 1 표 II RK4(5), 계수

K	A(K)	B(K,L)					C(K)	CH(K)	CT(K)
K	A(K)	L=1	L=2	L=3	L=4	L=5	C(K)	CH(K)	CT(K)
1	0						1/9	47/450	-1/150
2	2/9	2/9					0	0	0
3	1/3	1/12	1/4				9/20	12/25	3/100
4	3/4	69/128	-243/128	135/64			16/45	32/225	-16/75
5	1	-17/12	27/4	-27/5	16/15		1/12	1/30	-1/20
6	5/6	65/432	-5/16	13/16	4/27	5/144		6/25	6/25

Felberg는^[2] 다음과 같은 형태의 n개의 미분 방정식 시스템을 해결하기 위한 해결책을 개략적으로 설명한다.

${d} \!y_{i} \over \d} \x}=f_{i}(x,y_{1},y_{2},y_{n}),i=1,2,...,n$

을 위한 반복적인 해결책.

$y_{i}(x+h),i=1,2,...,n$

여기서 h는 알고리즘적으로 결정되는 적응적 단계화다.

해결책은 6개의 증분의 가중 평균이며, 여기서 각 증분은 간격 크기 산물인 ${\textstyle h}$ ${\textstyle h}$ 과 ${\textstyle h}$ 와) 미분 방정식의 우측에 함수 f에 의해 지정된 추정 기울기이다.

$k_{1}=h\cdot f(x+A(1)\cdot h,y)$

$k_{2}=h\cdot f(x+A(2)\cdot h,y+B(2,1)\cdot k_{1}}$

$k_{3}=h\cdot f(x+A(3)\cdot h,y+B(3,1)\cdot k_{1}+B(3,2)\cdot k_{2}$

$k_{4}=h\cdot f(x+A(4)\cdot h,y+B(4,1)\cdot k_{1}+B(4,2)\cdot k_{2}+B(4,3)\cdot k_{3}}}}$

${\displaystyle k_{5}=h\cdot f(x+A(5)\cdot h,y+B(5,1)\cdot k_{1}+B(5,2)\cdot k_{2}+B(5,3)\cdot k_{3}+B(5,4)\cdot k_{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

$k_{6}=h\cdot f(x+A(6)\cdot h,y+B(6,1)\cdot k_{1}+B(6,2)\cdot k_{2}+B(6,3)\cdot k_{3}+B(6,4)\cdot k_{4}+B(6,5)\cdot k_{5})$

가중 평균은 다음과 같다.

${\displaystyle y(x+h)=y(x)+CH(1)\cdot k_{1}+CH(2)\cdot k_{2}+CH_{3}+CDot k_{3}+CH(4)\cdot k_{5}+CH(6)\cdot k_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{cdodot k.$

잘라내기 오류의 추정치는 다음과 같다.

${\displaystyle TE= CT(1)\cdot k_{1}+CT(2)\cdot k_{2}+CT(3)\cdot k_{3}+CT(4)\cdot k_{4}+CT(5)\cdot k_{5}+CT(6)\cdot k_{6}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"cdodot k.$

단계가 완료되면 새로운 단계별 크기가 계산된다.^[3]

$h_{\mathrm {new} }=0.9\cdot h\cdot \lefts\frac {\epsilon }{TE}}\오른쪽)^{1/5$

${\textstyle TE>\epsilon }$ ${\textstyle TE>\epsilon }$ > ${\textstyle TE>\epsilon }$ ${\textstyle TE}\epsilon$ ${\textstyle TE>\epsilon }$ 인 경우 ${\textstyle h}$ ${\textstyle h}$ 을 ${\textstyle h}$ (를) ${\textstyle h_{\mathrm {new} }}$ ${\textstyle h_{\mathrm {new} }}$ ${\textstyle h_{\mathrm {new} }}$ ${\$ 로 교체하고 단계를 ${\textstyle h_{\mathrm {new} }}$ 반복하십시오. ${\textstyle TE\leqslant \epsilon }$ ${\textstyle TE\leqslant \epsilon }$ ${\textstyle TE\leqslant \epsilon }$ ${\textstyle TE\leqslant \epsilon }$ $\$ {\ $textstyle$ TE\ $leqslant \엡실론$ 이 경우 단계가 완료된다.다음 단계를 위해 ${\textstyle h_{\mathrm {new} }}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle h}$ 을(를) ${\textstyle h_{\mathrm {new} }}$ n ${\textstyle h_{\mathrm {new} }}$ w ${\$ 으)로 ${\textstyle h}$ 교체하십시오.

Fehlberg가 포뮬러 2에 대해 발견한 계수(파라미터 α2=3/8)는 대부분의 컴퓨터 언어와 호환되도록 베이스 0 대신 베이스 1의 배열 색인을 사용하여 아래 표에 제시되어 있다.

Felberg에서^[2] RK4(5), 공식 2 표 III에 대한 계수

K	A(K)	B(K,L)					C(K)	CH(K)	CT(K)
K	A(K)	L=1	L=2	L=3	L=4	L=5	C(K)	CH(K)	CT(K)
1	0						25/216	16/135	1/360
2	1/4	1/4					0	0	0
3	3/8	3/32	9/32				1408/2565	6656/12825	-128/4275
4	12/13	1932/2197	-7200/2197	7296/2197			2197/4104	28561/56430	-2197/75240
5	1	439/216	-8	3680/513	-845/4104		-1/5	-9/50	1/50
6	1/2	-8/27	2	-3544/2565	1859/4104	-11/40		2/55	2/55

Fehlberg의 다른 표에서 D에 의해 도출된 RKF4(5)에 대한 계수.^[2]사라피안은 다음과 같은 혜택을 받는다.

Felberg의^[2] Sarafyan RK4(5), 표 IV에 대한 계수

K	A(K)	B(K,L)					C(K)	CH(K)	CT(K)
K	A(K)	L=1	L=2	L=3	L=4	L=5	C(K)	CH(K)	CT(K)
1	0	0					1/6	1/24	-1/8
2	1/2	1/2					0	0	0
3	1/2	1/4	1/4				2/3	0	-2/3
4	1	0	-1	2			1/6	5/48	-1/16
5	2/3	7/27	10/27	0	1/27			27/56	27/56
6	1/5	28/625	-1/5	546/625	54/625	-378/625		125/336	125/336

참고 항목

메모들

^ Hairer 외 연구진(1993, §II.4)에 따르면, 이 방법은 원래 Felberg(1969)에서 제안되었다.펠베르크(1970년)는 후기 간행물의 발췌본이다.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Hairer, Nørsett & Wanner(1993, 페이지 177) (도움말) fehlberg(1969) harvtxt 오류: no target: CATREFFehlberg69 (도움말)
^ Gurevich, Svetlana (2017). "Appendix A Runge-Kutta Methods" (PDF). Munster Institute for Theoretical Physics. pp. 8–11. Retrieved 4 March 2022.

참조

Erwin Felberg(1968) 단계적 제어 기능이 있는 고전적 5차, 6차, 7차, 8차 Runge-Kutta 공식NASA 기술 보고서 287.https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19680027281/downloads/19680027281.pdf
Erwin Felberg (1969) 단계적 제어와 일부 열 전달 문제에 대한 적용이 포함된 저차 고전적 Runge-Kutta 공식.제315권미국 항공우주국.
Erwin Felberg (1970) Runge-Kutta 유형 통합 공식의 오류 전파에 관한 일부 실험 결과.NASA 기술 보고서 R-352. https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19700031412/downloads/19700031412.pdf
에르윈 펠버그(1970).컴퓨팅(Architecture Runge-Kutta-Formeln vierter und niedriger Mit Schrittweiten-Kontrolle und ihre Anwendung auf Waermeleitungsprobleme)" 컴퓨팅(아치) 일렉트론. Rechen), 6, 페이지 61–71. doi:10.1007/BF02241732
에른스트 하이레르, 시베르트 노에르셋, 게르하르트 워너(1993) 등이 있다.평범한 미분 방정식 해결 I: 베를린 스프링거-베를라크, 제2판 논스티프 문제.ISBN 3-540-56670-8.
Diran Sarafyan(1966) 의사 반복 공식을 통한 런게-쿠타 방법에 대한 오차 추정.기술 보고서 제14호, 뉴올리언스의 루이지애나 주립 대학교, 1966년 5월.

추가 읽기

시모스, T. E. (1993)진동 용액에 대한 초기 값 문제에 대해 무한의 위상-래그가 있는 Runge-Kutta Fehlberg 방법.응용 프로그램이 있는 컴퓨터 & 수학, 25(6), 95-101.
Handapangoda, C. C., Premaratne, M., Yeo, L., & Friend, J. (2008).생물조직에서 레이저 펄스 전파 시뮬레이션을 위한 Laguerre Runge-Kutta-Fehlberg 방법.IEEE Journal of Selected Topic in Quantum Electronics, 14(1), 105-112.
Paul, S, Mondal, S. P, & Bhattacharya, P. (2016)Runge-Kutta-Fehlberg 방법과 Laplace Adomian 분해 방법을 사용한 Lotka Volterra 먹이 포식자 모델의 수치해석.알렉산드리아 엔지니어링 저널, 55(1), 613-617.
필리즈, A. (2014년)Runge-Kutta-Fehlberg 방법을 사용한 선형 볼테라 정수-차분 방정식의 수치해석법응용 및 계산 수학, 3(1), 9-14.
시모스, T. E. (1995)정기적인 초기 가치 문제에 대한 수정된 Runge-Kutta-Felberg 방법.일본 공업 및 응용 수학 저널, 12(1), 109.
사라피아, D. (1994) 이산형 및 연속 내장형 런지-쿠타 포뮬레와 그 질서의 업그레이드를 통한 일반 미분방정식과 그 시스템의 대략적인 해결책, 컴퓨터 수학.신청하다.제28권, 제10-12권, 페이지 353–384, 1994 https://core.ac.uk/download/pdf/82540775.pdf

[1] Hairer 외 연구진(1993, §II.4)에 따르면, 이 방법은 원래 Felberg(1969)에서 제안되었다.펠베르크(1970년)는 후기 간행물의 발췌본이다.

[:0-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Hairer, Nørsett & Wanner(1993, 페이지 177) (도움말) fehlberg(1969) harvtxt 오류: no target: CATREFFehlberg69 (도움말)

[3] Gurevich, Svetlana (2017). "Appendix A Runge-Kutta Methods" (PDF). Munster Institute for Theoretical Physics. pp. 8–11. Retrieved 4 March 2022.

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