SAMV(알고리즘)

SAMV(반복적 희소성 희소성 최소^[1]^[2] 분산)는 신호 처리, 의료 영상 및 원격 감지에 응용한 스펙트럼 추정, 도착 방향(DOA) 추정 및 단층 재구성에서 선형 역 문제에 대한 매개변수 없는 초해상도 알고리즘이다.이^[1] 명칭은 2013년에 점증적으로 최소 분산(AMV) 기준에 근거하여 그 기초를 강조하기 위해 만들어졌다.까다로운 환경(예: 제한된 스냅샷 수 및 낮은 신호 대 잡음 비율)에서 상관성이 높은 여러 소스의 진폭 및 주파수 특성을 모두 복구하는 강력한 툴이다.응용 프로그램으로는 합성어퍼처 레이더,^[2]^[3] 컴퓨터단층촬영, 자기공명영상(MRI) 등이 있다.null

정의

SAMV 알고리즘의 공식은 DOA 추정의 맥락에서 역문제로 주어진다. $M$ $M$ -element $M$ 균일 선형 배열(ULA)이 $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$ = $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$ { $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$ $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$ , $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$ … $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$ , $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$ $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$ $\mathbf {\theta } =\{\theta _{a},\ldots ,\theta _{K}\}$ {\ $displaystyle \mathbf {\\ta$ } $=\\\ta _{a}\ldots \ta _{K$ 에 위치한 소스에서 방출된 $대역$ 신호를 수신한다고 가정합시다.ULA의 센서는 특정 시간에 $걸쳐$ N $N$ 스냅샷을 $N$ 축적한다. $M\times 1$ $M\times 1$ $M\times 1$ $M\times 1$ 차원 $M\times 1$ 스냅샷 벡터는

\mathbf {y}(n)=\mathbf {A} \mathbf {x}(n)+\mathbf {e}(n),n=1,\ldots,N

where $\mathbf {A} =[\mathbf {a} (\theta _{1}),\ldots ,\mathbf {a} (\theta _{K})]$ is the steering matrix, ${\displaystyle {\bf {x}}(n)=[{\bf {x}}_{1}(n),\ldots ,{\bf {x}}_{K}(n)]^{$ $T}}$ 에는 소스 파형이 포함되며 ${\bf {x}}(n)=[{\bf {x}}_{1}(n),\ldots ,{\bf {x}}_{K}(n)]^{T}$ , ${\bf {e}}(n)$ ( ${\bf {e}}(n)$ ) ${\bf{e}(n)$ 은 ${\bf {e}}(n)$ 노이즈 용어다.Assume that $\mathbf {E} \left({\bf {e}}(n){\bf {e}}^{H}({\bar {n}})\right)=\sigma {\bf {I}}_{M}\delta _{n,{\bar {n}}}$ , where $\delta _{n,{\bar {n}}}$ is the Dirac delta and it equals to 1 only if $n={\bar {n}}$ $n={\bar {n}}$ = $n={\bar {n}}$ $"{\$ 및 $n={\bar {n}}$ 그 밖의 경우 0.Also assume that ${\bf {e}}(n)$ and ${\bf {x}}(n)$ are independent, and that $\mathbf {E} \left({\bf {x}}(n){\bf {x}}^{H}({\bar {n}})\right)={\bf {P}}\delta _{n,{\bar {n}}}$ , where ${\bf {P}}=\operatorname {Diag} ({p_{1},\ldots ,p_{K}})$ . Let ${\bf {p}}$ be a vector containing the unknown signal powers and noise variance, ${\displaystyle {\bf {p}}=[p_{1},\ldots ,p_{K},\sigma ]^$ $T}.$

${\boldsymbol {\bf {p}}}$ ${\$ ${\bf{y$ }}( $n)$ 의 공분산 행렬은 p {\displaystyle ${\boldsymbol {\bf {p}}$ 에 ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ 대한 모든 정보를 포함한다.

{\bf {{R}={\bf {A}{\bf{P}}{\bf{A}^{\bf}}}H}+\sigma {\bf {I}.

This covariance matrix can be traditionally estimated by the sample covariance matrix ${\bf {R}}_{N}={\bf {Y}}{\bf {Y}}^{H}/N$ where ${\bf {Y}}=[{\bf {y}}(1),\ldots ,{\bf {y}}(N)]$ . After applying the vectorization operator tothe matrix ${\bf {R}}$ , the obtained vector ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})$ is linearly related to the unknown parameter ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ as

${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ ( ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ ) ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ = ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ ( ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ ) ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ = ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ ${\bf {r}}({\boldsymbol {\bf {p}}})=\operatorname {vec} ({\bf {R}})={\bf {S}}{\boldsymbol {\bf {p}}}$ ${\$

where ${\bf {S}}=[{\bf {S}}_{1},{\bar {\bf {a}}}_{K+1}]$ , ${\bf {S}}_{1}=[{\bar {\bf {a}}}_{1},\ldots ,{\bar {\bf {a}}}_{K}]$ , ${\displaystyle$ ${\bar {\bf {a}}}_{k}={\bf {a}}_{k}^{*}\otimes {\bf {a}}_{k}}$ , $k=1,\ldots ,K$ , and let ${\bar {\bf {a}}}_{K+1}=\operatorname {vec} ({\bf {I}})$ where $\otimes$ is the Kronecker product.null

SAMV 알고리즘

통계 ${\bf {r}}_{N}$ ${\bf {r}}_{N}$ ${\$ 에서 ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ p ${\$ bf{ $p}}}$ 매개변수 ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ {\ $boldsymbol {\bf{$ p}}}}을 추정하기 위해 점증적으로 최소 분산 기준을 바탕으로 일련의 반복적인 SAMV 접근법을 개발한다 ${\bf {r}}_{N}$ p{\displaystyle{\boldsymbol{p}는 임의의 일치추 정량}}은 2차 통계 rN{\displaystyle{\bf{r}}_{N}}은 실제 대칭 긍정적인. 그렇지만 경계로 할 지에 따라의 From,[1]는 공분산 행열 Cov p Alg{\displaystyle \operatorname{Cov}_{\boldsymbol{p}}^{\operatorname{Alg}}}.에서Ite 매트릭스

\operatorname {Cov} _{\boldsymbol {p}^{p}^{\operatorname {Alg}}\gq [{\bf {S}_{d}^{\d}^{\bf}}}^{}H}{\bf{C}_{r}^{-1}{\bf {S}_{d}}^{-1}

where ${\bf {S}}_{d}={\rm {d}}{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})/{\rm {d}}{\boldsymbol {p}}$ . In addition, this lower bound is attained by the covariance matrix of the asymptotic distribution of ${\hat {\bf {p}}}$ obtained by minimizing,

{\hatsymbol{p}}=\arg \min _{\bodsymbol {p}f({\bmbol {p}),

$f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ 서 $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ ( p $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ ) $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ = $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ [ $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ N $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ - $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ ( $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ ) $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ r $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ - 1 $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ [ $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ - $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ ( p $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ ) $f({\boldsymbol {p}})=[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})]^{H}{\bf {C}}_{r}^{-1}[{\bf {r}}_{N}-{\bf {r}}({\boldsymbol {p}})].$ . ${\displaystyle f({\boldsymbol{p}}}}=[{\bf{n}_{\bf$ }-{\ $bf{p}}}}}}]^$ ${H}{\bf{C}_{r}^{-1}[{\bf {{r}_{N}-{\bf{{\bf}}}({\boldsymbol{p}})]]$ $}$

따라서 ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ ${\$ 의 추정치를 반복적으로 얻을 수 있다 ${\boldsymbol {\bf {p}}}$ .null

$){\displaystyle f({\boldsymbol{p$ $k}_{k}\{k=1}^{K}}}$ 및 $\{{\hat {p}}_{k}\}_{k=1}^{K}$ $^{\$ $}}}}}}$ 는 $\{{\hat {p}}_{k}\}_{k=1}^{K}$ 과 같이 계산할 수 있다 $f({\boldsymbol {p}})$ .Assume ${\hat {p}}_{k}^{(i)}$ and ${\hat {\sigma }}^{(i)}$ have been approximated to a certain degree in the $i$ th iteration, they can be refined at the $(i+1)$ th iteration by,

{\hat{p}_{k}^{(i+1)={\frac {{\bf{a}}^{k}^{H}{\bf {{R}}^{-1}{{{R}}}{\bf {R}_{N}}{\bf{{a}}}}{\bf{a}}}}}{{\bf{a}}}}}}{\bf {a}}}}^{{{\bf{}}}}}}}}}}}}}}}}^{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}H}{\bf {{R}}^{-1(i)}}{\bf{a}_{k}^{2}}+{\hat{p}_{k}^{{k}-{\frac {1}{1}{\bf{a}_{k}^}^{{}}}^{{\bf}}}}^{{{}}}}}}}}}}}}}}}^}}}}}^{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}^{H}{\bf{R}^{-1(i)}{\bf{a}_{K}},\quad k=1,\ldots,K

{\hat {\sigma }}^{(i+1)}=\left(\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}}{\bf {R}}_{N})+{\hat {\sigma }}^{(i)}\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-2^{(i)}})-\operatorname {Tr} ({\bf {R}}^{-1^{(i)}})\right)/{\operatorname {Tr} {({\bf {R}}^{-2^{(i)}})}},

where the estimate of ${\bf {R}}$ at the $i$ th iteration is given by ${\displaystyle {\bf {R}}^{(i)}={\bf {A}}{\bf {P}}^{(i)}{\bf {A}}^{$ $H}+{\hat {\sigma }}^{(i)}{\bf {I}}}$ with ${\bf {P}}^{(i)}=\operatorname {Diag} ({\hat {p}}_{1}^{(i)},\ldots ,{\hat {p}}_{K}^{(i)})$ .

스캔 그리드 정확도를 넘어

대부분의 압축 센싱 기반 소스 위치 측정 기법의 분해능은 위치 파라미터 공간을 커버하는 방향 그리드의 정밀도에 의해 제한된다.^[4]희소 신호 복구 모델에서 진리 $\mathbf {x} (n)$ x ( $\mathbf {x} (n)$ ) $\mathbf {x} (n)$ {\ $displaystyle \mathbf {x}(n)}$ 의 첨사성은 과완성 ${\bf {A}}$ A ${\bf {A}}$ {\ $displaystyle$ {\ $bf{A}}$ 의 인접 요소 사이의 거리에 따라 달라지기 $\mathbf {x} (n)$ 때문에 최적의 과완성 사전을 선택하는 어려움이 발생한다 ${\bf {A}}$ 계산 복잡성은 방향 그리드의 정밀도에 정비례하며, 고밀도 그리드는 계산이 실용적이지 않다.To overcome this resolution limitation imposed by the grid, the grid-free SAMV-SML (iterative Sparse Asymptotic Minimum Variance - Stochastic Maximum Likelihood) is proposed,^[1] which refine the location estimates ${\displaystyle {\boldsymbol {\bf {\theta }}}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})^{$ $T}}$ 단일 스칼라 파라미터에 대해 확률론적 최대우도 비용 함수를 반복적으로 최소화하여 ${\boldsymbol {\bf {\theta }}}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})^{T}$ $\theta _{k}$ k ${\$ k $\theta _{k}$

응용 프로그램을 범위-도플러 이미징

SISO 범위 도플러 영상 결과 비교는 3개의 5dB 및 6개의 25dB 표적. (a) 지면 진실, (b) 일치 필터(MF), (c) IAA 알고리즘, (d) SAMV-0 알고리즘.모든 전력 수준은 dB이다.MF와 IAA 방법 모두 도플러 축에 대한 분해능이 제한되어 있다.SAMV-0은 범위와 도플러 모두에서 뛰어난 해상도를 제공한다.^[1]

SISO 레이더/소나 범위-도플러 이미지 문제의 SAMV 알고리즘을 사용하는 일반적인 응용 프로그램.이 영상화 문제는 단일 스냅숏 애플리케이션이며, 싱글 스냅숏 추정과 호환되는 알고리즘이 포함되어 있다. 즉, 일치 필터(Periodogram 또는 백프로젝션과 유사한 MF, 빠른 푸리에 변환(FFFT), IAA ^[5]및 SAMV 알고리즘(SAMV-0)의 변형으로 효율적으로 구현되는 경우가 많다.시뮬레이션 조건은 다음과 같다:^[5] A $30$ $30$ -element $30$ polysis pulse compression P3 코드가 전송된 펄스로 사용되며, 총 9개의 이동 대상을 시뮬레이션한다.모든 이동 대상 중 3개는 $[\displaystyle 5}$ dB $5$ 전원이고 나머지 6개는 $[\displaystyle 25$ }dB $25$ 전원이다.수신된 신호는 $0$ $0$ dB $0$ 전원의 균일한 흰색 가우스 노이즈로 오염된 것으로 가정한다.null

일치하는 필터 감지 결과는 도플러와 범위 도메인 모두에서 심각한 얼룩과 누출 효과를 겪기 때문에 $5$ $5$ dB $5$ 대상을 구별할 수 없다.반대로 IAA 알고리즘은 관측 가능한 목표 범위 추정치와 도플러 주파수로 향상된 영상 결과를 제공한다.SAMV-0 접근방식은 매우 희박한 결과를 제공하며 얼룩진 효과를 완전히 제거하지만 약한 $5$ 의 $5$ dB $5$ 목표를 놓친다.null

오픈 소스 구현

SAMV 알고리즘의 오픈 소스 MATLAB 구현을 여기에서 다운로드할 수 있다.null

참고 항목

배열처리
일치 필터
치주문자
필터링된 백프로젝션(Radon 변환)
MUltiple SIgnal Classification(MUSIC), 인기 파라메트릭 초해상도 방법
펄스 도플러 레이더
초고해상도 영상화
압축 감지
역문제
단층 재구성

참조

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[SAR-2] Glentis, George-Othon; Zhao, Kexin; Jakobsson, Andreas; Abeida, Habti; Li, Jian (2014). "SAR imaging via efficient implementations of sparse ML approaches" (PDF). Signal Processing. 95: 15–26. doi:10.1016/j.sigpro.2013.08.003.

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