Sallen-Key 토폴로지

Sallen-Key 토폴로지는 2차 활성 필터를 구현하는 데 사용되는 전자 필터 토폴로지로, 단순성 때문에 특히 중요합니다.^[1] 이는 전압 제어 전압-소스(VCVS) 필터 토폴로지의 퇴화된 형태입니다. 1955년 MIT 링컨 연구소의 R. P. Sallen과 E. L. Key에 의해 소개되었습니다.^[2]

작업설명

VCVS 필터는 입력 임피던스가 거의 무한하고 출력 임피던스가 0인 전압 증폭기를 사용하여 2극 저역, 고역, 대역 통과, 대역 정지 또는 올패스 응답을 구현합니다. VCVS 필터를 사용하면 인덕터를 사용하지 않고도 높은 Q 팩터와 통과 대역 이득을 얻을 수 있습니다. VCVS 필터는 독립성의 장점도 있습니다. VCVS 필터는 단계가 서로 영향을 주지 않고 캐스케이드할 수 있습니다. 살렌-키 필터는 VCVS 필터의 변형으로 단일 전압 이득 증폭기(즉, 순수 버퍼 증폭기)를 사용합니다.

이력 및 구현

1955년 Sallen과 Key는 진공관 음극 팔로어 증폭기를 사용했습니다. 음극 팔로어는 단일 전압 이득을 갖는 증폭기에 대한 합리적인 근사치입니다. 현대 아날로그 필터 구현은 연산 증폭기(opamps라고도 함)를 사용할 수 있습니다. 높은 입력 임피던스와 쉽게 선택할 수 있는 이득 때문에, 종래의 비반전 구성에서의 연산 증폭기는 VCVS 구현에서 종종 사용됩니다.^{[citation needed]} Sallen-Key 필터의 구현은 종종 전압 팔로어로 구성된 opamp를 사용합니다. 그러나 이미터 또는 소스 팔로어는 버퍼 증폭기의 다른 일반적인 선택 사항입니다.

구성 요소 공차에 대한 민감도

VCVS 필터는 구성 요소 허용 오차에 대해 비교적 탄력적이지만 높은 Q 팩터를 얻기 위해서는 극단적인 구성 요소 값 확산 또는 높은 증폭기 이득이 필요할 수 있습니다.^[1] 고차 필터는 두 개 이상의 스테이지를 캐스케이드하여 얻을 수 있습니다.

일반적인 Sallen-Key 토폴로지

단일성 획득 연산 증폭기로 구현된 일반적인 단일성 획득 Sallen-Key 필터 토폴로지는 그림 1에 나와 있습니다. 다음 분석은 연산증폭기가 이상적이라는 가정에 근거한 것입니다.

opamp가 음의 feedback 구성이므로 v +${\displaystyle v_{+}$ 및 $v$ -${\displaystyle v_{-}}$ 입력이 $일치$해야 합니다(예: $v$ +${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle v}$ -${\displaystyle {}_{}}${\displaystyle $v_${+}= $v_{-}).$ 그러나 반전 입력 $v{\displaystyle {}_{}}$- ${\$이(가) 출력 ${\displaystyle {\text{vout}}_{}}$ ${\$에 직접 연결되어$$ 있으므로$,$

${\displaystyle v_{+}=v_{-}=v_{\text{out}}.$

(1)

${\displaystyle {vx}_{}}$ ${\$ 노드에서$$ 적용되는 Kirchhoff의 현행법(KCL)에 따르면,

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{-}}{Z_{2}}}.}$

(2)

식 (1)과 (2)를 결합하여

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

opamp의 비반전 입력 $v{\displaystyle {}_{}}$ + ${\${+}에서 식 (1$)$과 KCL을 적용하면 다음과$$ 같습니다.

${\displaystyle {\frac {v_{x}-v_{\text{out}}{Z_{2}}={\frac {v_{\text{out}}{Z_{4}}$

그 말은

${\displaystyle v_{x}=v_{\text{out}}\left ({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}+1\right)}}$

(3)

식 (2)와 (3)을 결합하면 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}+1\right)}{Z_{1}}}={\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

(4)

식 (4)를 재정렬하면 전달 함수가 나옵니다.

${\displaystyle {\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {Z_{3}Z_{4}}{Z_{1}Z_{2}+Z_{3}(Z_{1}+Z_{2})+Z_{3}Z_{4}}},}$

(5)

일반적으로 2차 선형 시간불변(LTI) 시스템을 설명합니다.

$Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 구성$$ 요소가 ${\$이(가) ${\displaystyle {\text{아닌}}_{}}$ 접지에 연결된 경우$,$ 필터는 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle Z_{1}}$ 및 ${\displaystyle Z_{}}$ $3{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 구성$$ 요소로 구성된 전압 분배기이며, Z 2 ${\$$displaystyle$ ${$} 및 Z 4 {\$displaystyle$ Z_${4}$ 구성$$ 요소로 구성된 다른 전압 분배기와 계단식으로 연결됩니다. 버퍼 앰프는 ${\displaystyle {Z\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$ 구성$$ 요소의 "하단"을 필터의 출력에 트래핑하여 간단한 2분할 케이스로 개선합니다. 이러한 해석은 Sallen–Key 필터가 종종 Opamp의 비반전 입력을 반전 입력 아래에 두고 그려지는 이유이며, 따라서 출력과 접지 간의 유사성을 강조합니다.

분기 임피던스

By choosing different passive components (e.g., resistors and capacitors) for ${\displaystyle Z_{1}}$, ${\displaystyle Z_{2}}$, ${\displaystyle Z_{4}}$, and ${\displaystyle Z_{3}}$, the filter can be made with low-pass, bandpass, and high-pass characteristics. 아래 예에서는 저항 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$이(가) 있는 저항의 임피던스 ${\displaystyle {ZR}_{}}$ ${\$이(가) 다음과 같습니다$$.

${\displaystyle Z_{R}=R,}$

캐패시턴스 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}$의 커패시터는 ${\displaystyle {임피던스}_{}}$ $Z{\displaystyle {}_{}}$ C ${\$를 갖습니다$$$$.

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}},}$

여기서 $s$ = ${\displaystyle j}$ω = 2 π j f {\$displaystyle$s = j\omega = 2\pi jf}(여기서 j {\displaystyle j}는 가상 단위)는 복소 각 주파수이고 f {\displaystyle f}는 순수 사인파 입력의 주파수입니다. 즉, 커패시터의 임피던스는 주파수 의존적이고 저항의 임피던스는 그렇지 않습니다.

용도 : 저역 통과 필터

단일 이득 저역 통과 구성의 예는 그림 2에 나와 있습니다. 여기서 버퍼로는 연산 증폭기가 사용되지만 이미터 팔로워도 효과적입니다. 이 회로는 위의 일반적인 경우와 같습니다.

${\displaystyle Z_{1}=R_{1},\quad Z_{2}=R_{2},\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}},\quad Z_{4}={\frac {1}{sC_{2}}}.}$

이 2차 단일 이득 저역 통과 필터의 전송 기능은

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega_{0}^{2}}}{s^{2}+2\alpha s+\omega_{0}^{2}}$

감쇠되지 않은 고유 주파수 ${\displaystyle f_{}}$ $0$ ${\displaystyle f_{0$ $감쇠$ α ${\displaystyle \alpha$ Q 팩터 $Q$ ${\displaystyle$ Q$}$및 감쇠비$$ζ${\displaystyle \$zeta}는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

그리고.

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\right).}$

그렇게,

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.}$

$Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ 팩터는$$ 필터의 주파수 응답의 피크 높이와 폭을 결정합니다. 이 파라미터가 증가하면 필터는 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 부근의 단일 공진 주파수에서 "링"되는 경향이 있습니다($$관련 논의는 "LC 필터" 참조).

극과 0

이 전달 함수는 복소 s-평면에 위치한 (무한) 0과 2극이 없습니다.

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}.$

무한대에는 두 개의 0이 있습니다(분모에 있는 $각$$${\$displaystyle$s} 항에 대해 전송 함수가 0이 됩니다).

설계 선택사항

설계자는 응용 프로그램에$$ $적합$한 Q$${\$displaystyle$ Q$}$ 및$$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 선택해야 합니다. $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$ 값은$$ 최종 모양을 결정하는 데 중요합니다. 예를 들어, 최대 평탄한 통과 대역 주파수 응답을 갖는 2차 버터워스 필터는 $Q$ ${\displaystyle$ $Q$$}$가 1${\displaystyle /2}$ ${\displaystyle$ $1$$/{\sqrt {2}}$입니다$.$ $이$에 비해 Q = ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle$Q = $1/2}$의 값은 동일한 두 개의 단순 저역 통과 필터의 직렬 캐스케이드에 해당합니다.

모수가 2개이고 미지수가 4개이므로 설계 절차는 일반적으로 두 저항기 사이의 비율과 커패시터 사이의 비율을 고정합니다. One possibility is to set the ratio between ${\displaystyle C_{1}}$ and ${\displaystyle C_{2}}$ as ${\displaystyle n}$ versus ${\displaystyle 1/n}$ and the ratio between ${\displaystyle R_{1}}$ and ${\displaystyle R_{2}}$ as ${\displaystyle m}$ versus ${\displaystyle 1/}$$m {\displaystyle$ 1$/m$ 그래서,

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n.\end{align}}}$

결과적으로$$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$0 {\$displaystyle$f_{$0}$ 및 $Q{\displaystyle }${\$displaystyle$ Q$}$ 식을 다음으로$$ 줄입니다.

${\displaystyle \omega_{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}$

그리고.

${\displaystyle Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.$

예를 들어 다소 자의적인 선택으로 시작합니다. ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle n}$, the appropriate values for ${\displaystyle R}$ and ${\displaystyle m}$ can be calculated in favor of the desired ${\displaystyle f_{0}}$ and ${\displaystyle Q}$. In practice, 실제 작동 증폭기의 비 ideal성 때문에 성분 값의 특정 선택은 다른 것보다 성능이 뛰어납니다. 예를 들어, 저항값이 높으면 회로의 노이즈 생산이 증가하는 동시에 바이폴라 입력 트랜지스터가 장착된 연산 증폭기의 출력에 DC 오프셋 전압이 발생합니다.

예

예를 들어, 그림 3의 회로는 f ${\displaystyle 0_{}}$ = ${\displaystyle 15.9}$kHz {\displaystyle f_{0} = $15.9$ 입니다.$~{\text{k$$Hz}}$ 및 $Q$ $=$ ${\displaystyle 0.5}${\displaystyle Q $=$ 0$.$5}입니다. 전송 기능은 다음과 같습니다.

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2})} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}} _{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}s^{2}}},}$

치환 후, 이 표현은 다음과 같습니다.

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\언더브레이스 {\frac {RC(m+1/m)}{n}} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {R^{2}C^{2}} _{\frac {1}{{\omega _{0}}^{2}}}s^{2}}},}$

이는 저역 통과 ${\displaystyle {필터}_{}}$에 대해 동일한 f 0 {\displaystyle f_${0}$ 및$$ Q ${\displaystyle$ Q$}$를 제공하기 위해 모든${\displaystyle }$(${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle C)}$ ${\displaystyle (R, C)}$ 조합이$$ 일부${\displaystyle }$(${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle n)}$ ${\displaystyle (m, n)}$ 조합과$$ 함께 제공되는 방법을 보여줍니다$.$ 아래의 다른 필터들에 대해서도 유사한 설계 접근법이 사용됩니다.

입력임피던스

2차 통일성 획득 Sallen-Key 저역 통과 필터의 입력 임피던스도 설계자들에게 관심의 대상입니다. 카트라이트와 카민스키의^[4] 식 (3)에 의해 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle Z(s)=R_{1}{\frac {s'^{2}+s'/Q+1}{s'^{2}+s'k/Q}},}$

여기서 $s{\displaystyle {\text{'}}^{}}$ = s${\displaystyle }$ω 0 {\frac {s$}{\$omega_{0}} 및 k = R 1 R 1 + R 2 = m + 1 / m {\displaystyle k = {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}} = {\frac {m+1/m}}입니다.

Q> - ${\$ Q > ${\sqrt {\frac {1-k^{2}}{2}}$의 경우^[4] 다음과 같은 내용의 카트라이트와 카민스키의 식 (16)에 의해 주어진 임피던스 크기의 최소값이 있습니다.

${\displaystyle Z(s) _{\text{min}}=R_{1}{\sqrt {1-{\frac {(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}}{2Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}+2Q^{2}{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}}}}.}$

다행히도 이 방정식은 다음과^[4] 같이 근사됩니다.

${\displaystyle Z(s) _{\text{min}}\approx R_{1}{\sqrt {\frac {1}{Q^{2}+k^{2}+0.34}}}}$

$0{\displaystyle .25}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 0.75}$ ${\displaystyle 0.25\leq k\leq$ 0$.75$ 이 범위를 벗어나는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 값의$$ 경우 오차를 최소화하기 위해 0.34 상수를 수정해야 합니다.

또한 최소 임피던스 크기가 발생하는 주파수는 카트라이트와 카민스키의 식 (15)에 의해 주어집니다.^[4]

${\displaystyle \omega _{\text{min}}=\omega _{0}{\sqrt {\frac {Q^{2}+{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

이 방정식은 또한 카트라이트와 카민스키의 식 (20)을 사용하여 잘 근사할 수 있습니다.^[4]

${\displaystyle \omega_{\text{min}}\approx \omega_{0}{\sqrt {\frac {2Q^{2}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}.$

용도 : 고역 통과 필터

$f$ ${\displaystyle 0_{}}$ = ${\displaystyle 72}$ ${\$$displaystyle$ f_{0} = 72~{\text{Hz}} 및 Q = 0.5 {\displaystyle Q = 0.5}인 2차 단일 이득 고역 통과 필터가 그림 4에 나와 있습니다.

2차 단일 이득 고역 통과 필터는 전송 기능이 있습니다.

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}+\언더브레이스 {2\pi \left ({\frac {f_{0}}{Q}\right)}_{2\zeta \omega_{0}={\frac {\omega_{0}}{Q}}s+\언더브레이스 {(2\pi f_{0})^{2}_{\omega_{0}^{2}}}$

여기서 감쇠되지 않은 고유 주파수 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및 $Q$ ${\displaystyle Q}$ 인자는$$ 저역 통과 필터 논의에서 위에서 설명합니다. 위의 회로는 방정식으로 이 전달 함수를 구현합니다.

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

(예전처럼) 그리고

${\displaystyle {\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.}$

그렇게

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}}}.}$

위의 저역 통과 필터를 설계할 때 사용한 것과 유사한 접근 방식을 따릅니다.

용도 : 대역 통과 필터

VCVS 필터로 구현된 비단일 이득 대역 통과 필터의 예는 그림 5와 같습니다. 다른 토폴로지와 비통일 이득을 제공하도록 구성된 연산 증폭기를 사용하지만 일반적인 Sallen-Key 토폴로지와 유사한 방법을 사용하여 분석할 수 있습니다. 전송 기능은 다음과 같습니다.

${\displaystyle H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.}$

중심 주파수 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$즉, 크기 응답이 최대인 주파수)는 다음과 같습니다.

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.}$

Q 인자 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&={\frac {\omega_{0}}{2\zeta \omega_{0}}={\frac {\omega_{0}}{\omega_{0}/Q}\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left(R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{align}}}$

음의 피드백 루프에 있는 전압 분배기는 옵 앰프의$$ "내부 이득" G${\displaystyle$ G$}$를 제어합니다.

${\displaystyle G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}.$

내부 게인 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$가 너무 높으면 필터가 진동합니다.

참고 항목

• 필터설계
• 전자 필터 토폴로지
• 고조파 발진기
• 공명

참고문헌

외부 링크

• Texas Instruments Application Report: Salen-Key 아키텍처 분석
• 아날로그 장치 필터 설계 도구 – 전압 피드백 op-amp를 사용하여 활성 필터를 설계하기 위한 간단한 온라인 도구입니다.
• TI 액티브 필터 설계원 FAQ
• 모두를 위한 Op Amp – 16장
• Sallen-Key 필터의 고주파 보정 - 정지대역 감쇠 바닥 개선
• Sallen–Key Low-pass/High-pass 필터용 온라인 계산 도구
• 필터 설계 및 해석을 위한 온라인 계산 도구
• ECE 327: 출력 필터링 랩을 위한 절차 – 섹션 3("Smoothing Low-Pass Filter")에서는 Salen-Key Butterworth 저역 통과 필터를 사용한 능동 필터링에 대해 설명합니다.
• 필터링 101: Sallen-Key가 포함된 멀티폴 필터, 아날로그 장치의 Matt Duff는 Sallen Key 회로의 작동 방식을 설명합니다.