설계-이론적 교차로

In algebraic geometry, the scheme-theoretic intersection of closed subschemes X, Y of a scheme W is ${\displaystyle X\times _{W}Y}$, the fiber product of the closed immersions ${\displaystyle X\hookrightarrow W,Y\hookrightarrow W}$. It is denoted by ${\displaystyle X\cap Y}$.

Locally, W is given as ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ for some ring R and X, Y as ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I),\operatorname {Spec} (R/J)}$ for some ideals I, J. Thus, locally, the intersection ${\displaystyle X\cap Y}$ is given as

${\displaystyle \operatorname {Spec}(R/(I+J)).}$

여기서는 $R{\displaystyle }$/ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \simeq }$ R${\displaystyle }$/${\displaystyle }$(${\displaystyle I}$+ ${\displaystyle J}$) ${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J\simeq$ R$/(I+J)}$를 사용했다($$이 ID는 모듈 tensor 제품 참조).예)

예: $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$을(를) 동종 좌표 링 S/I와 함께 투영된 품종으로, 여기서 S는 다항 링이다.$H{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle f}$= ${\displaystyle 0}$} ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ H$=\{f=0\}\subset \mathb {P} ^n}}$이(가) S에서 어떤 동종 다항식 f에 의해 정의된 과외면인 경우, 그 다음

${\displaystyle X\cap H=\operatorname {Proj}(S/(I,f)).}$

f가 선형(deg = 1)이면 하이퍼플레인 섹션이라고 한다.참고 항목:베르티니의 정리.

이제, 계획-이론적 교차로는 교차로 이론의 관점에서 올바른 교차점이 아닐 수도 있다.example,[1] 들어 W)Spec(k[x, y, z, w]){\displaystyle W=\operatorname{Spec}(k[x,y,z,w])⁡} 하게 국가 주의적 관점에서 서술은 아핀 4-space고 X, Y을 닫subschemes에 의해 정의된 그 이념(), y)∩(z, w){\displaystyle(x, y)\cap(z,w)}과(− w:)− z,){\displaystyle(x-z,y-w)}. X는 두명의 노동 조합이 비행기, 각 매장하다.의심다중성이 1인 원점에서 Y를 사용하여 교차로 다중성의 선형성에 의해 X와 Y가 다중성이 2인 원점에서 교차할 것으로 예상한다.반면, 계획-이론적 교차점 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\cap Y}$은 다중성 3을 갖는 원점으로 구성되어$$ 있음을 알 수 있다.즉, 교차로에 대한 계획-이론적 다중성은 교차로-이론적 다중성과 다를 수 있으며, 후자는 세레의 토르 공식에 의해 주어진다.이러한 불균형을 해소하는 것은 파생 교차로 개념을 도입하는 것을 목표로 하는 파생 대수 기하학의 출발점 중 하나이다.

적절한 교차점

X를 규칙적인 체계로 하고 V, W를 닫은 적분 자원으로 한다.그런 다음 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V\cap W:=V\times _{X}W}$의 복구할 수 없는 구성 요소 P가 (Serre로 인한) 불평등일 경우 적절히 호출된다.

${\displaystyle \operatorname {codim}(P,X)\leq \operatorname {codim}(V,X)+\operatorname {codim}(W,X)}$

평등하다.^[2]교차로 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\cap W}$은(특히 빈 교차로) 모든 교차로 구성 요소가 적절한 경우 적절하다.두 개의 대수학 사이클은 사이클의 품종이 적절하게 교차하면 적절하게 교차한다고 한다.

예를 들어, 부드러운 다양성의 두 칸(코디멘션-원 사이클)은 공통의 불가해한 구성요소를 공유하지 않는 경우에만 적절하게 교차한다.차우의 움직이는 보조정리(매끄러운 버라이어티)는 디비저를 적절한 선형 등가차(cf)로 교체한 후 교차로에 적합하게 만들 수 있다고 말한다.클레이만의 정리)

위의 세레의 불평등은 일반적으로 비정규적인 주변 계획에 실패할 수 있다.For example,^[3] let ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z,w]/(xz-yw),\,V=V({\overline {x}},{\overline {y}}),\,W=V({\overline {z}},{\overline {w}})}$.그러면 $V{\displaystyle }$, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V,W}$이(가) 코드션 1을$$ 가지며 V${\displaystyle \mathrm{while}}$ W ${\displaystyle V\cap W}$은 코드션 3을 갖는다$$.

Bloch와 같은 일부 저자는 X가 정규라고 가정하지 않고 적절한 교차점을 정의한다: 위와 같은 표기에서, 구성 요소 P는 다음과 같은 경우

${\displaystyle \operatorname {codim}(P,X)\geq \operatorname {codim}(V,X)+\operatorname {codim}(W,X)}$

참고 항목

• 교차로를 완전하게 하다.
• 기신 동형성

참조

• Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157