실더의 정리

수학에서 힐더의 정리는 확률적 과정의 큰 편차 이론의 결과물이다.대략적으로 말하면, 힐더의 정리는 브라운 운동 표본 경로가 평균 경로(값 0과 상수)에서 멀리 벗어날 확률에 대한 추정치를 제시한다.이 문장은 비율 함수를 사용하여 정밀하게 작성된다.킬더의 정리는 프리들린-에 의해 일반화된다.이토 확산에 대한 랑젤 정리.

성명서

기원 0 0 R에서 시작하는^d d차원 유클리드 공간 R에서^d B를 표준 브라운 운동으로 하고, W를 B의 법칙, 즉 고전적인 위너 측정으로 나타내도록 한다.ε > 0의 경우, W는_ε 재조정 공정 lawbB의 법칙을 나타내도록 한다.그리고, 바나흐 공간 C0)C0([0, T];거리)의 지속적인 기능 f:[0, T]⟶ Rd(^{d}}가 f(0))0{\displaystyle f(0)=0}, 장착한 상한 규범·∞ 확률은 대책 Wε을 충족하는 큰 편차가 원칙에 좋은률 함수 나는:. C0→R ∪ {+∞}이(가)

${\displaystyle I(\omega )={\frac {1}{1}{2}}\int _{0}^{T} {\dot {\omega}(t) ^{2}\,\mathrm {d}t}$

Ω이 절대적으로 연속적인 경우, I(Ω) = +∞.즉, 모든 오픈 세트 G ⊆ C와₀ 모든 클로즈드 세트 F ⊆ C에₀ 대해,

${\displaystyle \limsup \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W}{\varepsilon }(F)\leq -\inf _{\omega \I(\omega )}$

그리고

${\displaystyle \liminf \varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W}{\varepsilon }(G)\geq -\inf _{\omega \omegain G}I(\omega).}$

예

ε = 1/c를² 취하면, 표준 브라운 운동 B가 시간 간격[0, T]에 걸쳐 시작점에서 c보다 더 멀리 걸어갈 확률에 대한 추정치를 얻기 위해 힐더의 정리를 사용할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {W}(C_{0})\smallsetminus \mathbf {B} _{c}(0;\\cdot \ _\\infty })\equiv \mathbf {P} {P} {\big [} {\B\{\c\}}}}}}}}}}.$

c가 무한을 추구하는 경향이 있기 때문에.여기서 B_c(0; · _∞)는 최상규범과 관련하여 C에서₀ 영함수에 대한 반지름 c의 오픈 볼을 나타낸다.첫 번째 주의할 점은

${\displaystyle \b\ _{\infit }c\iff {\sqrt {\\\beft\in A:=\좌측\{0}\\\\\mid \omega \openega(t) >1}{{\text{0}}}{0}}}{{{{0,T]\rigeterg}}}}}}}}}}}}}.}$

속도 함수는 A에 연속적이기 때문에 힐더의 정리가 산출된다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\lim_{c\to \inflit }{\frac {\log(\mathbf {P} \left[\B\ \{\infty }}c\right]\right)}}{c^{2}}:}&=\lim _{\barepsilon \to 0}\barepsilon \log(\mathbf {P}\ref(\mathbf {P}) \left[{\sqrt {}}{\b\in A\rig]\rig)\\\\\[6pt]&=-\inf \왼쪽\{\왼쪽.{\frac {1}{1}:{2}}:\int _{0}^{T} {\dot {\omega}(t) ^{2}\,\mathrm {d}t\,\right \,\omega \in A\right\\\\[6pt]&=-{\fract{1}{1}:{0}^{0}{0}}}}}}^{}T}{\frac {1}{T^{2}}}\,\mathrm {d}t\[6pt]&=-{\frac {1}{1}{2}T},\end{정렬}}$

사실 길에 대한 컬렉션의 하한 Aω(t)에 이루어진다).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{의 사용이다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}t/T.이 결과는 큰 c 및/또는 큰 T에 대해 이렇게 말한 것으로 경험적으로 해석할 수 있다.

$\displaystyle {\frac {\log(\mathbf {P} \left[\B\ _{\infully }}}c\right]\right)}}{c^{2}}:}\대략 -{\frac {1}{2}T}}\qquad {\text{or}\qquad \mathbf {P} \왼쪽[\\\\\\\}{\inflt }c\right]\sworth \exp \-{\frac{c^{2}}:{2}{2}}}}}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}T}\오른쪽).}$

사실 위의 확률을 더 정확하게 추정할 수 있다: B에 대해 R의ⁿ 표준 브라운 운동과 T, c, ε > 0의 어떤 것이든, 우리는 다음을 가지고 있다.

${\displaystyle \mathbf{P} \sup _{0\leq t\leq T}\{t}\\\\sqrt {\\barepsilon }}\{{\geq c\right]\leq 4n\expleft(-{{c^{2}}:{2nT\varepsilon)\오른쪽).}$

참조

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Large deviations techniques and applications. Applications of Mathematics (New York) 38 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. MR 1619036. (정리 5.2 참조)