2차 공변량 파생상품

미분 기하학 및 벡터 미적분학의 산술 분기에서 벡터 장의 두 번째 공변량 파생상품 또는 두 번째 순서 공변량 파생상품은 또 다른 두 개의 접선 벡터장에 관한 파생상품이다.

정의

형식적으로는 벡터 번들 E → M과 관련된 (시료)-리만 다지관(M, g)을 부여하고, ∇은 미터법 g가 주는 리바이-시비타 연결을 나타내고, γ(E)은 전체 공간 E의 매끄러운 부분의 공간을 나타내도록 한다.TM이^* M의 코탄젠트 묶음을 표시한다.그러면 두 번째 공변량 파생상품은 다음과 같이 두 ∇의 구성으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \감마(E){\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }{*}}}\Stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}}}}\ma(T^{*}M^}M\otimese)}$

예를 들어, 벡터 필드 u, v, w, 두 번째 공변량 파생상품은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle (\displaystyle _{u,v}^{2}w)^{a}=u^{c^{c^{b}\bla_{b}w^{a}}}}}$

추상 색인 표기법을 사용하여.검증도 간단하다.

${\displaystyle (\nabla _{u}\nabla _{v}w)^{a}=u^{c}\nabla _{c}v^{b}\nabla _{b}w^{a}=u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}w^{a}+(u^{c}\nabla _{c}v^{b})\nabla _{b}w^{a}=(\nabla _{u,v}^{2}w)^{a}+(\nabla _{\nabla _{u}v}w)^{a}.}$

그러므로

${\displaystyle \probla _{u,v}^{2}w=\bla _{u}\bla _{v}w.}$

비틀림 텐서가 0일 때$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle u}$,${\displaystyle v}$] = ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ v -${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ - ∇ v$$ {\$displaystyle [u,$v]=\$nabla _{u}v-\nabla _{v}$u}, 우리는 이 사실을 리만 곡률 텐서라고 쓸 수 있다$.$

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u,v}^{2}w-\nabla _{v,u}^{2}w.}$

마찬가지로 함수 f의 두 번째 공변량 파생상품도 다음과 같이 얻을 수 있다.

${\displaystyle \pairla \{u,v}^{2}f=u^{c^{b}\bla _{c}\c}\pairla _{b}f=\pairla _{v}f-\pairla _{\v}f.}$

다시 말하지만, 비틀림 없는 Levi-Civita 연결과 모든 벡터 필드 u와 v에 대해, 함수 f를 양쪽에 공급할 때

${\displaystyle \vla _{u}v-\vla _{v}u=[u,v]}$

우리는 발견한다

${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ v -${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle v_{}{}_{}}$ )${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= [${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle v]}$= ${\displaystyle u}$ ( ) -$$ (${\displaystyle }$) - ${\displaystyle v}$ (${\displaystyle f}$) .$displaystyle (\$stylela $_{u-\v-la _{v}u)=[u,v$]($f)=u(f$

이것은 다음과 같이 다시 쓰여질 수 있다.

$\displaystyle \probla _{\putla _{u}f-\probla _{v}f=\vla _{v}f-\probla _{v}\probla _{u}f-}f,}$

그래서 우리는

${\displaystyle \nabla _{u,v}^{2}f=\fla _{v,u}^{2}f.}$

즉, 함수의 두 번째 공변량 파생상품의 가치는 파생상품을 취하는 순서에 따라 독립적이다.

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