외부 공변량 파생상품

수학에서 외부 공변량 파생상품은 연결의 존재를 고려한 외부 파생상품의 아날로그다.

정의

G를 Lie group으로 하고 P → M은 매끄러운 다지관 M에 주요 G번들로 한다. P에 연결이 있다고 가정합시다. 이 경우 자연적인 직접 합계 분해 $T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}$ U $T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}$ = $T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}$ $T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}$ $T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}$ u $T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}$ {\ $displaystyle T_{u}P=$ 수평 및 수직 서브스페이스에 각 접선 공간의 $H_$ $h:T_{u}P\to H_{u}$ h $h:T_{u}P\to H_{u}$ : $h:T_{u}P\to H_{u}$ $h:T_{u}P\to H_{u}$ $h:T_{u}P\to H_{u}$ → $h:T_{u}P\to H_{u}$ $h:T_{u}P\to H_{u}$ ${\$ $T_{u}P\to H_{u}}}$ 은(는) 수평 하위 공간에 투영되는 $h:T_{u}P\to H_{u}$ 것이다.

만약 ϕ이 벡터 공간 V에서 값을 갖는 P의 k-form이라면, 그 외부 공변량 파생상품 Dϕ은 다음과 같이 정의된다.

D\phi(v_{0},v_{1},\dots,v_{k}}=d\phi(hv_{0},hv_{1},\dots,hv_{k}})

여기서 v는_i u에서 P에 접하는 벡터다.

ρ : G → GL(V)이 벡터 공간 V에 G를 나타낸다고 가정한다. 만약 ϕ이 라는 의미에서 등가라면.

R_{g}^{*}\phi =\rho(g)^{-1}\phi

여기서 $R_{g}(u)=ug$ $R_{g}(u)=ug$ ( $R_{g}(u)=ug$ ) $R_{g}(u)=ug$ = $R_{g}(u)=ug$ $R_{g}(u)=ug$ = $R_{g}(u)=ug$ u g { $g}(u)=ug$ 그러면 Dϕ는 ρ형식의 P에 있는 텐서럴(k + 1)형식: 등변형이고 수평형이다(((v₀, ..., v_k) = ψ(hv₀, ..., hv_k) = ψ형식은 수평형이다).

표기법 남용으로 ID 요소에서 ρ의 차이를 다시 ρ으로 나타낼 수 있다.

\rho :{\mathfrak{g}\to {\mathfrak{gl}(V).

$\omega$ ${\displaystyle \omega$ $\rho (\omega )$ 을(를) 연결 원폼으로 하고 $\rho (\omega )$ form( $\rho (\omega )$ ) $\rho (\omega )$ 연결의 ${\mathfrak {gl}}(V).$ 은 $\rho (\omega )$ g ${\mathfrak {gl}}(V).$ ${\mathfrak {gl}}(V).$ . ${\mathfrak {gl}}(V).$ {\ $displaystystyle$ {\ $mathfak$ { $gl}(V$ )}(V $)$ 로 한다. $}}$ 즉 ${\mathfrak {gl}}(V).$ , $\rho (\omega )$ $\rho (\omega )$ ) $\rho (\omega)$ 은(는) ${\mathfrak {gl}}(V)$ ${\mathfrak {gl}}(V)$ ( ${\mathfrak {gl}}(V)$ ) ${\mathfrak{gl}(V)}$ -값의 ${\mathfrak {gl}}(V)$ 형태로 수평 $\rho (\omega )$ 하위공간에 소멸된다. 만약 ϕ가 ρ형식의 십상 k형식이라면,

D\phi =d\phi +\rho (\omega)\cdot \phi ,}

^[1]

여기서, Lie 대수 값 차이 § Operation의 표기법에 따라, 우리는 다음과 같이 썼다.

(\rho (\omega )\cdot \phi )(v_{1},\cdot, v_{k+1}={1 \over (1+k)!}\sum _{\summa _}\sgn}(\sgn})(\ma )\rho(\omega(v_{\ma(1)})\phi(v_{\ma (2)},\ma(k+1)}).

0으로 정사각형을 이루는 일반적인 외부 파생상품과 달리 외부 공변량 파생상품은 그렇지 않다. 일반적으로, 한 사람은, 십이지장 제로 형태 ϕ에 대해,

D^{2}\phi =F\cdot \phi .

^[2]

여기서 F = ρ(Ω)은 곡률 2-폼 Ω의 ${\mathfrak {gl}}(V)$ ${\mathfrak {gl}}(V)$ ${\mathfrak {gl}}(V)$ ${\mathfrak {gl}}(V)$ ) ${\mathfrak {gl}(V)$ 단위로 나타낸^{[clarification needed]} 것이다. F형식을 전자기학에서 수행하는 역할과 유사하게 전계 강도 텐서라고 부르기도 한다. 평탄한 연결(즉, Ω = 0일 때)에 대해 D가² 소멸된다는 점에 유의하십시오.

ρ : G → GL(Rⁿ)이면 쓸 수 있다.

\rho (\Oomega )=F=\sum {F^{i}_{j}{e^{j}}{j}_{i}}}}

여기서 ${e^{i}}_{j}$ ${e^{i}}_{j}$ ${e^{i}}_{j}$ ${\$ 은(i, j)번째 항목에 1이 있고 다른 항목에는 0이 있는 행렬이다 ${e^{i}}_{j}$ . P에서 ${F^{i}}_{j}$ 항목이 2-폼인 매트릭스 ${F^{i}}_{j}$ ${F^{i}}_{j}$ ${F^{i}}_{j}$ ${\$ 을(를) 곡률 매트릭스라고 한다.

벡터 번들용

ρ : G → GL(V)이 표현일 때, 관련 번들 E = P ×_ρ V를 형성할 수 있다. 그러면 P의 연결에 의해 주어지는 외부 공변량 파생상품 D는 관련 번들에 외부 공변량 파생상품(외부 연결이라고도 함)을 유도하는데, 이번에는 나블라 기호를 사용한다.

\displaystyle \nabla :\감마(M,E)\to \감마(M,T^{*}M\otimes E)}

여기서 γ은 벡터 번들의 국부적인 부분의 공간을 나타낸다. 이 확장은 E-값 형식과 ρ형식의 시차적 형식 간의 대응관계를 통해 이루어진다(벡터값 차등 형식 § 기본 형식 또는 주요 번들의 시차적 형식 참조).

Requiring ∇ to satisfy Leibniz's rule, ∇ also acts on any E-valued form; thus, it is given on decomposable elements of the space $\Omega ^{k}(M;E)=\Gamma \left(\Lambda ^{k}(T^{*}M)\otimes E\right)$ of $E$ -valued k-forms by

\nabla (\omega \otimes s)=(d\omega )\otimes s+(-1)^{k}\omega \wedge \nabla s\in \Omega ^{k+1}(M;E)

^{k}\omega \wedge \nabla s\in \Oomega ^{k+1}(M;E)}

.

E 섹션의 s 섹션에 대해 우리는 또한 설정했다.

\nabla _{X}s=i_{X}\nabla s

여기서 $i_{X}$ $i_{X}$ ${\$ 는 X에 의한 수축이다 $i_{X}$ .

반대로 벡터 번들 E가 주어지면 기본 번들인 프레임 번들을 가져갈 수 있으므로 (연결에 따라) E에서 외부 공변량 분화를 얻을 수 있다. 시제 형식과 E-값 형식을 식별하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.

-2F(X,Y)s=\왼쪽([\nabla _{X},\nabla _\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]}\오른쪽)s

리만 곡률 텐서(Riemann 곡률 텐서)의 정의로 쉽게 인식될 수 있다.

예

Bianchi's second identity, which says that the exterior covariant derivative of Ω is zero (that is, DΩ = 0) can be stated as: $d\Omega +\operatorname {ad} (\omega )\cdot \Omega =d\Omega +[\omega \wedge \Omega ]=0$ .

메모들

^ 만약 k = 0, 그렇다면, X가 P의 ${\mathfrak {g}}$ g ${\$ 에 생성했던 기본 벡터 필드(즉, 수직 벡터 필드)에 $X^{\#}$ $X^{\#}$ X $X^{\#}$ # ${\$ 를 쓴다면, 우리는 다음을 가지고 있다.
$d\phi \left(X_{u}^{\#}\right)=\left.{d \over dt}\right\vert _{0}\phi (u\operatorname {exp} (tX))=-\rho (X)\phi (u)=-\rho \left(\omega \left(X_{u}^{\#}\right)\right)\phi (u)$ ${d \over dt}\오른쪽\vert _{0}\pi(u\operatorname {exp})(tX)=-\rho$ (X $)\phi(u)=-\rho \left(\omega \eft(X_{u}^{#}\right)\pi(우$ ,
ϕ(gu) = ((g⁻¹)((u) 이후. On the other hand, Dϕ(X^#) = 0. If X is a horizontal tangent vector, then $D\phi (X)=d\phi (X)$ and $\omega (X)=0$ . For the general case, let X_i's be tangent vectors to P at some point such that some of X_i's are horizontal and the rest vertical. X가_i 수직이라면, 우리는 그것을 리 대수 원소라고 생각하고 그 원소가 생성하는 기본 벡터 장으로 식별한다. X가_i 수평이면 푸시포워드 πX를_i 확장하는 벡터장의 수평 리프트로 교체한다. 이렇게_i 해서 X를 벡터장까지 확장시켰다. X가_i 수평이고 X가_j 수직인 경우에는 [X, X_i_j] = 0이 확장된다는 점에 유의하십시오. 마지막으로, 외부 파생 모델에 대한 불변 공식에 의해 다음과 같은 것이 있다.
${\displaystyle D\phi (X_{0},\dots ,X_{k})-d\phi (X_{0},\dots ,X_{k})={1 \over k+1}\sum _{0}^{k}(-1)^{i}\rho \left(\omega \left(X_{i}\right)\right)\phi \left(X_{$ $0},\dots,{\widehat {X_{i}},\dots,X_{k}\right$
즉 $(\rho (\omega )\cdot \phi )(X_{0},\cdots ,X_{k})$ ( $(\rho (\omega )\cdot \phi )(X_{0},\cdots ,X_{k})$ ) $(\rho (\omega )\cdot \phi )(X_{0},\cdots ,X_{k})$ ϕ $(\rho (\omega )\cdot \phi )(X_{0},\cdots ,X_{k})$ ) ( X 0 , $(\rho (\omega )\cdot \phi )(X_{0},\cdots ,X_{k})$ , X $(\rho (\omega )\cdot \phi )(X_{0},\cdots ,X_{k})$ ) ${\displaystyle (\rho (\omega )\cdot \phi )(X_{0},\cdots ,X_{k$
^ 교정: ρ은 Ω의 상수 부분에 작용하기 때문에 d로 통근하므로
$d(\rho (\omega )\cdot \phi )=d(\rho (\omega ))\cdot \phi -\rho (\omega )\cdot d\phi =\rho (d\omega )\cdot \phi -\rho (\omega )\cdot d\phi$ .
그런 다음, Lie 대수값 차등 형식 § Operation의 예에 따라,
${\displaystyle D^{2}\pi =\rho (d\omega )\cdot \phi +\rho(\rho)(\rho (\omega)\cdot \phi )=\rho (d\omega)\cdotphi +{1 \cdho (\mever \wedge \cdo)\cd.$
E. Cartan의 구조방정식에 의한 $\rho (\Omega )\cdot \phi$ ( $\rho (\Omega )\cdot \phi$ ) $\rho (\Omega )\cdot \phi$ {\ $displaystyle \rho (\Oomega )\cdot \phi }.$