밀과 체스판 문제

밀과 체스판 문제(때로는 쌀알로 표현되기도 한다)는 텍스트 형태로 다음과 같이 표현되는 수학적인 문제다.

만일 체스판이 각 네모에 밀을 놓아서, 한 알이 첫 번째 칸에, 두 알이 두 개, 네 알이 세 번째 칸에 놓이도록 한다면, 마지막 칸에 있는 체스 판에 밀의 알이 몇 개 있을 것인가?

그 문제는 간단한 덧셈으로 해결될 수도 있다. 체스판에 64개의 사각형을 두고, 연속된 사각형에서 곡식의 수가 2배로 증가하면, 64개의 사각형 전체에 있는 곡물의 합은 1 + 2 + 4 + 8 + ...이다. 64개의 정사각형 등. 곡물의 총 인원 2,000회 이상은 모여서 되는 것이 또는 18,446,744,073,709,551,615264-1(18quintillion도 사십만명 46조, 700forty-four조, 73인 억 7백 9억 50051원 6억 15세에 1조 4천억톤), 보여질 수 있다.u2020년에서 21년 사이에 세계 밀 생산량은 약 7억 7,264만 톤이었다.^[1]

이 연습은 지수, 제로 파워, 자본-시그마 표기법 및 기하 시리즈를 도입하는 것뿐만 아니라 지수 시퀀스가 얼마나 빠르게 증가하는지 입증하는 데 사용될 수 있다. "첫날 백만 달러나 한 페니를 가지고 싶으세요, 30일까지 매일 두 배로 늘렸습니까?"와 같은 가상의 질문을 사용하여 현대를 위해 갱신된 이 공식은 복리이자를 설명하는데 사용되었다. (더블링하면 1,000만 달러 이상의 이익을 얻을 수 있다: 2-1³⁰=1073741823).^[2][3]

오리진스

그 문제는 체스의 발명에 관한 다른 이야기에서 나타난다. 그 중 하나는 기하학적 진행 문제를 포함한다. 이 이야기는 이븐 칼리칸이 1256년에 녹음한 것으로 처음 알려져 있다.^[4] 또 다른 버전은 체스의 발명가가 그의 통치자에게 밀과 체스판 문제에 따라 밀을 줄 것을 요청하고 있다. 통치자는 그것을 훌륭한 발명품에 대한 보잘것없는 상이라고 웃어넘기지만, 의외로 많은 수의 밀알이 통치자의 자원을 능가할 것이라고 보고할 뿐이었다. 발명자가 고위 고문이 되느냐, 아니면 처형되느냐에 대해서는 버전이 다르다.^[5]

맥도넬은 또한 이 테마의 초기 개발을 조사한다.^[6]

[알-마수디의 초기 인도 역사에 따르면, 샤트란지 또는 체스는 백개먼보다 이 게임에 대한 선호를 표명한 인도 왕 밑에서 발명되었다.] [...] 그가 덧붙인 인도인들은 또한 체스판의 사각형으로 산술적 진행을 계산했다.[...] 거대한 계산을 위한 인도인들의 초기 애호감은 잘 크노이다.그들의 수학의 학생들에게, 그리고 위대한 천문학자 아랴바우샤(Aryabaṭha, 기원후 476년 출생)의 저술에 예시되어 있다.[...] 이 계산의 인도 기원에 대한 추가 논거는 체스판의 사각형(ببي, "beit", 'house')에 대한 아라비아 이름으로 제공된다.[...]이것은 의심할 여지없이 인도와의 역사적 연관성이 있기 때문이다.n designation kohagara, 'store-house', 'granarary' [...]

해결 방법

간단한 브루트 포스 솔루션은 단지 수동으로 시리즈의 각 단계를 두 배로 늘리고 추가하는 것이다.

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {64}_{}}$ ${\$ $$= 1 + 2 + 4 + .. + 9,223,372,036,854,775,808 = 18,446,744,074,073,709,551,615

여기서 T ${\displaystyle {64}_{}}$ ${\$는 총 곡물 수입니다.

영상 시리즈는 다음과 같은 지수를 사용하여 표시할 수 있다.

${\displaystyle T_{64}=2^{0}+2^{1}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}}}}$

그리고 다음과 같이 대문자-표현자 표기법으로 표현된다.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{63}2^{i}\,}$

또한 다음을 사용하여 훨씬 쉽게 해결할 수 있다.

${\displaystyle T_{64}=2^{64}-1.\,}$

그 증거는 다음과 같다.

${\displaystyle s=2^{0}+2^{1}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}.}$

각 면에 2를 곱하십시오.

${\displaystyle 2s=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}+2^{64}.}$

각 면에서 원본 영상 시리즈를 빼십시오.

${\displaystyle 2s-s=2^{64}-2^{0}}$

${\displaystyle \s=2^{64}-1.\,}$

위의 해법은 다음과 같이 주어지는 기하 급수적인 시리즈의 합계의 특별한 경우다.

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +/cdots{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}a\,{\frac {1-r^{1-r^{n},},},}$

$여기$서 ${\displaystyle a}$은(는) 시리즈의 첫 번째 용어, $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은(는) 공통 비율이고 n ${\displaystyle n}$은(는) 항의 수입니다.

이 문제의 a${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a=1$ $r$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle r=$2}$및$ $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 64}$ ${\displaystyle n=64}$.

이 문제를 통해 작업하는 연습은 지수 및 지수 및 기하학적 시퀀스의 빠른 성장을 설명하고 입증하는 데 사용될 수 있다. 또한 시그마 표기법을 설명하는데도 사용할 수 있다. 지수로 표현되는 경우 기하학적 연속체는 다음과 같다⁰: 2¹ + 2² + 2 + 2³ + ... 등등, 2까지⁶³. 각 지수의 베이스인 "2"는 각 사각형에서 두 배의 위치를 나타내며, 지수는 각 사각형의 위치(1차 제곱의 경우 0, 2차 제곱의 경우 1 등)를 나타낸다.

곡물 수는 메르센 64번째다.

체스판 후반부

기술 전략에서 "체스판의 후반부"는 레이 커즈와일이 만든 말로, 기하급수적으로 증가하는 요소가 조직의 전반적인 사업 전략에 상당한 경제적 영향을 미치기 시작하는 시점을 가리킨다.^[7] 체스판 전반부의 곡물 수는 큰 반면, 후반부의 양은 엄청나게 많다(20억³² 배 이상 40억 배).

체스판의 전반부에 있는 밀알의 수는 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2,4,483,648, 총 4,294³²,967,295(2 - 1) 곡물 또는 약 279톤의 밀(한 알갱이의 질량으로 65mg).^[8]

체스판 후반부의 밀알 수는³² 2 + 2³⁴ + 2³³ + ... + 2⁶³, 총 2⁶⁴ - 2³² 낟알의 경우. 이것은 판자의 전반부에 있는 곡식수의 제곱과 그 자체와 같다. 후반전 첫 칸에만 전반전보다 한 알이 더 들어 있다. 체스판의 64제곱에만 2⁶³ = 9,223,372,036,854,775,808개의 알갱이가 있어 체스판의 전반부에 비해 20억 배 이상 많을 것이다.

체스판 전체에는 2⁶⁴ - 1 = 18,446,744,073,709,551,615개의 밀알이 있을 것이며, 무게는 약 1,199,000,000,000,000 미터톤이다. 이는 전 세계 밀 생산량(2014년 7억2900만톤, 2019년 7억8080만톤)의 약 1645배다.^[9]

사용하다

칼 세이건은 그의 마지막 책 "The Persian Chessboard"의 두 번째 장에 제목을 붙이고 박테리아를 언급할 때, "Exponentials는 모든 것을 게걸스럽게 먹어 치울 것이기 때문에 영원히 지속될 수 없다"^[10]고 썼다. 마찬가지로 '성장의 한계'는 기하급수적인 성장의 제안된 결과를 제시하기 위해 이 이야기를 사용한다: "초보적인 성장은 한정된 자원이 있는 유한한 공간에서는 결코 그리 오래 갈 수 없다."^[11]

참고 항목

• 암발라푸자 파알 파야삼의 전설
• 맬서스 성장 모델
• 무어의 법칙
• 규모(데이터) 순서
• 기술전략

참조

외부 링크

무료 사전인 위키트리노리에서 밀과 체스보드 문제를 찾아보자.

• Weisstein, Eric W. "Wheat and Chessboard Problem". MathWorld.
• 소금과 체스판 문제 - 밀과 체스판 문제에서 각 사각형 측정값의 변동.
• Wikiversity에서 수학 모험/밀 및 체스보드와 관련된 학습 자료