세미 구현 모듈

수학에서, 특히 모듈 이론으로 알려진 추상 대수학 영역에서, 반이행 모듈이나 완전히 축소 가능한 모듈은 그 부분으로부터 쉽게 이해할 수 있는 모듈의 한 유형이다.스스로 반이행 모듈인 링은 아르티니아 반이행 링이라고 알려져 있다.특성 0의 필드 위에 유한집단의 그룹 링과 같은 중요한 링은 반이 구현된 링이다.아르티니아 반지는 처음에 그것의 가장 큰 반이행 지수를 통해 이해된다.아르티니아 세미 구현 링의 구조는 아르틴-에 의해 잘 이해된다.이러한 고리를 매트릭스 링의 유한한 직접 생산물로 보여주는 웨더번 정리.

동일한 개념의 그룹 이론 아날로그에 대해서는 Semisimple 표현을 참조하십시오.

정의

단순(불가능한) 하위조항의 직접적인 합계인 경우 링 위에 있는 모듈은 반실행(또는 완전히 환원 가능)이라고 한다.

모듈 M의 경우 다음과 같다.

1. M은 반이행이다. 즉, 수정할 수 없는 모듈의 직접적인 합이다.
2. M은 그 수정 불가능한 하위조종의 합이다.
3. M의 모든 서브모듈은 직접 합이다: M의 모든 서브모듈 N에 대해 M = N ⊕ P와 같은 보완 P가 있다.

동등성에 대한 증명은 Semisimple 표현 § 동등 특성화를 참조하십시오.

세미 구현 모듈의 가장 기본적인 예는 필드 위의 모듈, 즉 벡터 공간이다.한편, 정수의 링 Z는 서브모듈 2Z가 직접 합계가 아니기 때문에 그 자체로 반이행 모듈이 아니다.

Semisimple은 완전히 분해될 수 있는 것보다 더 강력하며, 이것은 강제적인 하위조종의 직접적인 합계다.

A를 K영역에 걸쳐 대수학으로 삼아라.그 다음, K의 어떤 필드 확장자 F에 대해 F ⊗_K M이 F ⊗_K A에 대한 세미 구현 모듈인 경우, A 위에 왼쪽 모듈 M이 절대적으로 반 구현된다고 한다.

특성.

• M이 반이행이고 N이 서브모듈이라면 N과 M/N도 반이행이다.
• 임의의 반 구현 모듈 직접 합계가 반 구현된다.
• 모듈 M은 그것이 Artinian이고 그것의 급진성이 0인 경우에만 정밀하게 생성되고 반실행된다.

내형성 고리

• 링 R에 대한 반이행 모듈 M은 R에서 M의 아벨 그룹 내형성 링에 이르는 링 동형성으로도 생각할 수 있다.이 동형성의 이미지는 반모형 고리인데, 모든 반모형 고리는 그런 이미지에 이형성이다.
• 반실행 모듈의 내형성 링은 반비례적일 뿐만 아니라 폰 노이만 정규(Lam 2001, 페이지 62)도 있다.

Semisimate 링

링은 스스로 좌향 모듈로 구현하면 (왼쪽)-반지가 구현된다고 한다.^[1]놀랍게도, 좌표현 구현 링 또한 우표현 구현이고 그 반대의 경우도 마찬가지다.그러므로 좌/우 구분이 불필요하며, 애매함 없이 반실행 반지를 말할 수 있다.

반이행 링은 호몰로지 대수 측면에서 특징지어질 수 있다. 즉, R 링은 왼쪽(또는 오른쪽) R-모듈의 짧은 정확한 순서가 분할된 경우에만 반이행된다.그것은 짧은 순서에 대한 것이다.

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f}B\xrightarrow {g}C\to 0}$

s : C → B가 존재하여 구성 g ∘ s : C → C가 정체성이 된다.지도 s는 단면으로 알려져 있다.이로부터 다음과 같다.

$B\cong A\oplus C}$

또는 더 정확히 말하면

$(\displaystyle B\cong f(A)\displaystyle B\cong f(A)\oplus s(C)}$

특히 반이행 링 위에 있는 어떤 모듈도 주입적이고 투영적이다.'프로젝티브'는 '플랫(flat)'을 의미하기 때문에 반이행 링은 폰 노이만 일반 링이다.

반실행반지는 대수학자들에게 특히 흥미롭다.예를 들어, 베이스 링 R이 반이행된다면, 모든 R-모듈은 자동으로 반이행될 것이다.더욱이 모든 단순(왼쪽) R모듈은 R의 최소 왼쪽 이상, 즉 R은 왼쪽 Kasch 링에 이형적이다.

Semisimple 링은 Artinian과 Noetherian 둘 다이다.위의 속성에서 반지는 아르티니안이고 그것의 제이콥슨 급진성이 0일 경우에만 반시 구현된다.

아르티니아 세미이벤트 링이 필드를 중심 서브링으로 포함하면 세미이벤트 대수라고 한다.

예

• 상호 작용 반이행 링은 필드의 유한한 직접 생산물이다.교감반지는 그것이 예술적이고 축소된 경우에만 반시 구현된다.^[2]
• K가 필드이고 G가 순서 n의 유한집단인 경우, K의 특성이 n을 나누지 않는 경우에만 그룹 링 K[G]가 반실행된다.이것이 마슈케의 정리인데, 집단 대표론에서 중요한 결과물이다.
• By the Artin-Wedderburn 정리, 단이탈 아르티니아 링 R은 (D_n11) × M_n2(D₂) × ... × M(D_r)인_nr 경우에만 반이행되며, 여기서 각 D는_i 분할 링이고 각 n은_i 양의 정수이며, M_n(D)은 D에 입력된 n-by-n 행렬의 링을 나타낸다.
• 반이행 비이탈적 링의 예로는 필드 K 위에 있는 행-피니트, 컬럼-피니트, 무한 행렬인 M_∞(K)이 있다.

심플 링

용어에도 불구하고, 모든 단순한 링이 반이 구현되는 것은 아니라는 점을 주의해야 한다.문제는 반지가 너무 클 수 있다는 점, 즉 (좌우) 아티니안이 아닐 수 있다는 점이다.실제로 R이 최소한의 좌/우 이상을 가진 단순한 고리라면 R은 반시 구현된다.

단순하지만 세미 구현이 아닌 링의 전형적인 예로는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ -algebra와$$ 같은 Weyl 알헤브라가 있다.

${\displaystyle A=\mathb {Q} {\왼쪽[x,y\right]/\langle xy-yx-1\angle \,}$

단순한 비협정 영역이야이것들과 많은 다른 좋은 예들은 몇몇 비확정 고리 이론 텍스트에서 좀 더 자세히 설명되며, 여기에는 람의 텍스트 3장을 포함하며, 그것들은 비아트적인 단순 고리로 묘사된다.Weyl Algebras에 대한 모듈 이론은 잘 연구되고 있으며 반이행 링의 이론과 크게 다르다.

Jacobson semisimple

반지는 최대좌파 이상과의 교차점이 0이면, 즉 제이콥슨 급진파가 0이면 제이콥슨 반임(Jacobson semisimple 또는 반임벌)이라고 한다.모듈로 구현되는 모든 링은 제이콥슨 과격성이 제로지만, 제이콥슨 과격성이 제로인 모든 링이 스스로 모듈로 구현되는 것은 아니다.J-세미시브 링은 아르티니안 링인 경우에만 반시 구현되므로, 혼동을 피하기 위해 반시브 링을 아르티니안 반시브 링이라고 부르는 경우가 많다.

예를 들어 정수의 고리인 Z는 J-세미시이벤트(J-semisimple)이지만 아티니안 세미이벤트는 아니다.

참고 항목

• 소클
• 세미임플라이어 대수

참조

메모들

참조

• Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-35315-7
• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439
• Lang, Serge (2002), Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387953854
• Pierce, R.S. (1982), Associative Algebras, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4757-0165-4
• Sengupta, Ambar (2012). Representing finite groups: a semisimple introduction. New York. doi:10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412311. OCLC 769756134.