형상 최적화

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형상 최적화는 최적 제어 이론 분야의 일부다.주어진 제약을 충족시키면서도 일정한 비용기능을 최소화한다는 점에서 최적의 형태를 찾는 것이 대표적인 문제다.많은 경우에, 해결되는 기능은 변수 영역에 정의된 주어진 부분 미분 방정식의 해법에 따라 달라진다.null

위상 최적화는 또한 도메인에 속하는 연결된 구성요소/경계수의 수와 관련이 있다.일반적으로 형상 최적화 방법은 고정된 수의 구멍을 갖는 것과 같이 위상학적 특성이 고정된 허용 형상들의 하위 집합에서 작동하기 때문에 그러한 방법이 필요하다.위상학적 최적화 기법은 순수 형상 최적화의 한계를 극복하는 데 도움이 될 수 있다.null

정의

수학적으로 형상 최적화는 기능을 최소화하는$$경계 집합 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$을(를) 찾는 문제로 제기될 수 있다.

${\displaystyle \mathcal{F}}$ (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle {\mathcal {F}(\Oomega$ $)\},$

서식의 제약을 받을 수 있는.

${\displaystyle {\mathcal{G}(\Oomega )=0.}$

보통 우리는 립스치츠나 C¹ 경계인 ${\displaystyle \Oomega }$ 세트에 관심이 있는데, 이것은$$ 우리가 거친 조각들이 뒤섞여 있는 것이 아니라 오히려 즐거운 형태를 해결책으로 찾고 싶다고 말하는 방법이다.때로는 문제의 명확한 문제와 해결책의 고유성을 보장하기 위해 추가적인 제약조건이 그 목적에 부과될 필요가 있다.null

형상 최적화는 무한 차원 최적화 문제다.더욱이 최적화가 수행되는 허용 형상 공간은 벡터 공간 구조를 인정하지 않아 기존의 최적화 방법의 적용이 더욱 어려워진다.null

예

기술

형상 최적화 문제는 대개 반복적인 방법을 사용하여 숫자로 해결된다.즉, 어떤 모양에 대한 초기 추측에서 시작하여, 그것이 최적의 모양으로 변형될 때까지 점차적으로 진화한다.null

도형을 추적하는 중

형상 최적화 문제를 해결하려면 컴퓨터 메모리에서 형상을 나타낼 수 있는 방법을 찾고, 그 진화를 따라가야 한다.일반적으로 몇 가지 접근법이 사용된다.null

한 가지 접근법은 형상의 경계를 따르는 것이다.이를 위해 비교적 밀도 있고 균일한 방식으로 형상 경계를 표본으로 추출할 수 있다. 즉, 형상의 정확한 윤곽을 얻을 수 있는 충분한 점을 고려할 수 있다.그런 다음 경계점을 점차 이동시켜 모양을 진화시킬 수 있다.이것을 라그랑기식 접근법이라고 한다.null

또 다른 접근방법은 형상 주위에 있는 직사각형 상자에 정의된 함수를 고려하는 것인데, 형상 내부는 양의, 형상 경계는 0의, 형상 외부는 음의 함수를 고려하는 것이다.그러면 모양 그 자체 대신 이 기능을 진화시킬 수 있다.박스의 직사각형 격자를 고려해 격자점에서 함수를 샘플링할 수 있다.형상이 진화함에 따라 격자점은 변하지 않고 격자점의 함수 값만 변한다.고정된 그리드를 사용하는 이 접근방식을 오일러식 접근법이라고 한다.형상을 나타내기 위해 함수를 사용한다는 발상은 레벨세트 방식의 기초에 있다.null

세 번째 접근방법은 형태 진화를 흐름 문제로 생각하는 것이다.즉 모양은 플라스틱 재질로 만들어져서 모양 안의 어떤 점이나 테두리의 어떤 점이라도 항상 원형의 점까지 1대 1로 거슬러 올라갈 수 있도록 점차 변형되어 가는 것이라고 상상할 수 있다.수학적으로 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 초기$$ 형상이고 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이 시간$$ t의 형상이라면 차이점을 고려한다.

${\displaystyle f_{t}:\Oomega _{0}\to \Oomega _{t},{\mbox{{}} for }}0\leq t\leq t_{0}.}$

도형은 직접 다루기 어려운 실체라는 생각이 다시 들어, 기능을 이용하여 도형을 조작한다.null

형상 구배를 사용한 반복 방법

속도 필드 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 부드러운 속도 필드 V ${\$displaystyle V}과$$(와) 초기 ${\displaystyle {도메인\mathrm{}}_{}}$ $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$0 {\$displaystyle$ \$Oomega_$${$$}$의 변환 ${\displaystyle {제품군}_{}}$ {\$displaystystyle$ V}을(를) 고려하십시오$.$

${\displaystyle x(0)=x_{0}\in \Omega _{0},\quad x'(s)=V(x(s)),\quad T_{s}(x_{0})=x(s),\quad s\geq 0}$,

그리고 그 의미를 나타낸다.

${\displaystyle \Oomega _{0}\mapsto T_{s}(\Oomega _{0}=\Oomega _{s}).}$

$그러면{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {모양}_{}}$에 관한$$ $){\displaystyle {\mathcal {F}(\$$displaystyle \Oomega _{0})$의 Gato 또는 형상파생물은 그 한계가 된다$.$

${\displaystyle d{\mathcal {F}(\Oomega _{0};V)=\lim_{s}{\frac {{}{\frac {{F}(\Oomega _{s})-{\mathcal {F}(\Oomega _{0}}}}}}){s}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이 한계가 존재한다면.또한 파생 모델이 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$에 대해 선형인 경우$,$ $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$( (${\displaystyle \mathrm{}{\Omega \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}\in L^{2}(\partial \Oomega _{0})$의 고유한 요소가 있다.

${\displaystyle d{\mathcal {F}(\Oomega _{0};V)=\langle \nabla {\mathcal {F},V\rangele _{\partial \Oomega_{0}}}}}}$

여기서 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$을(를) 형상 그라데이션이라고 한다$$.이는 비용 기능의 값을 줄이기 위해 경계 boundary${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \partial \Oomega}$이(가) 음의 형태 구배 방향으로 진화하는 구배 강하(gradient down)에 대한 자연스러운 아이디어를 제공한다.고차 파생상품도 비슷하게 정의될 수 있어 뉴턴과 같은 방법으로 이어진다.null

일반적으로 다수의 반복이 필요한 경우에도 구배 강하가 선호되는데, 이는 객관적인 $기능{\displaystyle \mathcal{}}$ F ${\${\$mathcal {F}$의 2차 파생상품(즉, 헤시안)을 계산하기 어려울 수 있기 때문이다$.$

형상 최적화 문제에 제약조건, 즉 기능 G ${\$이 있는 경우 제약조건이 없는 문제로 전환하는 방법을 찾아야 한다.때때로 라그랑주 승수를 바탕으로 한 아이디어는 효과가 있을 수 있다.null

지오메트리 파라메트리징

형상의 파라메트리제이션이 정의된 경우 표준 최적화 방법을 사용하여 형상 최적화를 대면할 수 있다.이러한 파라메트리제이션은 CAE 분야에서 매우 중요한데, CFD, FEA, ...목표기능은 보통 수치모델을 사용하여 평가되는 복잡한 기능이다. 광범위한 문제군에 적합한 편리한 접근방식은 기능평가에 필요한 모든 프로세스의 완전한 자동화와 결합되어 CAD 모델의 파라메트리제이션에 있다(me).skin, resolution processing.메쉬 모핑은 계산된 목적의 불연속성 및 제약함수와 같은 재메싱과 관련된 일반적인 문제를 해결하는 복잡한 문제에 대한 유효한 선택이다.^[1]이 경우 매개변수 수정은 메쉬 업데이트 방법을 사용하여 변경되는 계산에 사용되는 숫자 모델에 직접 작용하는 메싱 단계 이후에 정의된다.메쉬 모핑에 사용할 수 있는 알고리즘은 여러 가지가 있다(변형 볼륨, 유사성, 방사상 기준 함수).파라메트리제이션 접근방식의 선택은 주로 문제의 크기에 따라 달라진다. 중소형 모델에 대해서는 CAD 접근방식이 선호되는 반면 대형 및 초대형 모델에 대해서는 메시 모핑 접근방식이 최선(그리고 때로는 유일하게 실현 가능한 접근방식)이다.다목적 파레토 최적화(NSGA II)는 형상 최적화를 위한 강력한 접근법으로 활용될 수 있다.이와 관련하여 파레토 최적화 접근방식은 다른 다목적 최적화가 선언할 수 없는 면적 제약의 영향과 같은 설계 방법에서 유용한 장점을 나타낸다.패널티 함수를 사용하는 접근방식은 최적화의 첫 단계에서 사용될 수 있는 효과적인 기법이다.이 방법에서 제약된 형상 설계 문제는 목표 함수의 제약조건을 패널티 계수로 활용하는 제약 없는 문제에 적응된다.대부분의 시간 벌점 요인은 제약 조건 수보다는 제약 조건 변동의 양에 따라 달라진다.GA 리얼 코드 기법은 현재의 최적화 문제에 적용된다.따라서 계산은 변수의 실제 값에 기초한다.^[2]

참고 항목

• SU2코드
• 위상파생상품

참조

원천

• 앨리어, G. (2002) 균질화 방법에 의한 형상 최적화.응용 수학 과학 146, 스프링거 베를라크.ISBN 0-387-95298-5
• 아석 D.베레건두, 티루파티 R.찬드루파틀라(2003) 엔지니어링 프렌티스 홀의 최적화 개념 및 적용.ISBN 0-13-031279-7.
• Bendsøe M. P.; Sigmund O.(2003) 위상 최적화: 이론, 방법 및 응용 프로그램.스프링거ISBN 3-540-42992-1.
• 버거, 엠.; 오셔. S.L. (2005) 역 문제와 최적 설계를 위한 레벨 세트 방법에 관한 조사.유럽 응용 수학 저널, 제16권 페이지 263–301.
• Delfour, M.C.; Zolesio, J.-P.(2001) 형상 및 기하학 - 분석, 미분산 및 최적화.SIAM. ISBN 0-89871-489-3.
• Haslinger, J.; Mékinen, R.(2003) 형상 최적화에 대한 소개: 이론, 근사 및 계산.산업 및 응용 수학 학회ISBN 0-89871-536-9
• Laporte, E.; Le Tallec, P.(2003) 민감도 분석 및 형상 최적화의 수치적 방법비르카유저.ISBN 0-8176-4322-2.
• Mohammadi, B.; Pironneau, O.(2001) 액체를 위한 적용 형상 최적화.옥스퍼드 대학 출판부ISBN 0-19-850743-7.
• Simon J. (1980) 경계 값 문제에서 도메인에 대한 차별화.숫자. Fux.항문 및 옵티미즈, 2(7&8), 649-687(1980)

외부 링크

• Optopo Group - Ecole Polytechnique(프랑스)에서 광포 그룹의 시뮬레이션 및 서지학.균질화 방법 및 레벨 설정 방법.