레벨세트법

Level-set method(LSM)는 레벨 세트를 표면과 형상의 수치해석 도구로 사용하기 위한 개념적 프레임워크다. 레벨 세트 모델의 장점은 이러한 물체를 매개 변수화할 필요 없이 고정된 데카르트 그리드의 곡선과 표면을 포함하는 수치 계산을 수행할 수 있다는 것이다(이를 오일러식 접근법이라고 한다).^[1] 또한 레벨셋 방식은 형상이 둘로 갈라져 구멍이 생기거나 이러한 조작의 역행과 같이 위상이 변화하는 형상을 매우 쉽게 따라 할 수 있게 한다. 이 모든 것은 레벨 설정 방법을 에어백의 팽창이나 물에 떠 있는 기름 방울과 같은 시간 변동을 일으키는 물체를 모델링하는 훌륭한 도구로 만든다.

오른쪽 그림은 레벨셋 방법에 대한 몇 가지 중요한 아이디어를 보여준다. 왼쪽 위 구석에 형체가 보인다. 즉, 경계선이 잘 형성되어 있는 경계 지역이다. 그 아래 빨간색 표면은 이 모양을 결정하는$$ 레벨 세트 함수 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 그래프로, 평평한 파란색 영역은 xy 평면을 나타낸다. 형상의 경계는 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$ $\}$의 0-수준 집합인 반면, 형상 자체는 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$이(형상의 내부) 또는 0(경계)인$$ 평면의 점 집합이다.

맨 위 행에서는 형상이 두 개로 분할하여 위상을 바꾸는 것을 볼 수 있다. 형상의 경계를 파라메타화하고 진화에 따라 이 변형을 숫자로 묘사하기는 상당히 어려울 것이다. 하나는 모양이 둘로 갈라지는 순간을 감지한 다음 새로 얻은 두 곡선에 대한 매개변수를 구성할 수 있는 알고리즘이 필요하다. 반면, 맨 아래 행을 보면 레벨 설정 함수가 단지 아래쪽으로 번역된 것을 알 수 있다. 이것은 형상을 직접 사용하는 것보다 수평 설정 기능을 통해 형상을 작업하는 것이 훨씬 더 쉬울 수 있는 경우, 형상을 직접 사용하는 것이 형상이 겪을 수 있는 모든 변형을 고려하고 처리해야 하는 경우를 보여주는 예다.

따라서 2차원에서 레벨 설정 방법은 레벨 $설정{\displaystyle \mathrm{}}$ 함수라고$$하는 보조 함수 ${\displaystyle$ $\Gamma }($예: 우리 예에서 형상 경계 \Displaystyle $\varphi })$를 사용하여 닫힌 곡선 i{\$displaystystyle$ \varphi}을 나타내는 양에 이른다. ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 다음에 해당하는$$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi}$의 0-수준 집합으로 표시됨$$

${\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\mid \varphi(x,y)=0\}$

레벨셋 방법은 $implicitly{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\Barphi$ $}$ 함수를 통해 γ ${\$displaystyle $\varphi$ $}$을(를) 암묵적으로 조작한다$.$ 이 $함수{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \varphi$}은(는) { {\$displaystyty$ curve ${\$Daystypector $\Gamma}$ 곡선으로 구분되는 영역 내에서$$ 양의 값을 취하는 것으로 가정한다$$.^[2][3]

레벨 집합 방정식

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$ 곡선이 속도 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를$)$ 사용하여 정상 방향으로 이동하는$$ 경우 수준 설정 함수 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi}$이 수준 설정 방정식을 만족함$$

${\displaystyle {\frac {\reason \varphi }{\barphi t}=v \vla \varphi .}$

여기서 ${\displaystyle \cdot }$ $displaystyle \cdot }$은(는) 유클리드 규범(pDE에서 단일 막대로 관습적으로 표기됨), $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt t}$은 시간이다$$. 이것은 부분적인 미분 방정식, 특히 해밀턴-자코비 방정식으로, 예를 들어 카르트 격자의 유한 차이를 사용하여 수치로 해결할 수 있다.^[2][3]

그러나 레벨셋 방정식의 수치해결에는 정교한 기법이 필요하다. 단순한 유한차이 방법은 빨리 실패한다. 고두노프 방법과 같은 업바인딩 방법은 더 잘하지만, 레벨 설정 방법은 균일 또는 회전 속도장과 같은 형태와 크기를 보존하는 부속 분야에서 설정된 레벨의 볼륨과 모양을 보존하는 것을 보장하지는 않는다. 대신 레벨 세트의 모양이 심하게 일그러질 수 있으며, 레벨 세트는 몇 번의 스텝에 걸쳐 사라질 수 있다. 이 때문에 일반적으로 고차 본질적으로 비수술적(ENO) 체계와 같이 고차 유한차이 체계가 요구되며, 그 경우에도 장기 시뮬레이션의 실현 가능성이 의문시된다. 이 난이도에 대처하기 위한 보다 정교한 방법들이 개발되었다. 예를 들어, 속도장이 부착한 추적 마커 입자와 레벨 설정 방법의 조합이 개발되었다.^[4]

예

${\mathrm{}}^{}$ 2 ${\$의 단위 원을 고려하십시오$.$ 즉, 원의 경계에 있는 각 지점이 일정한 속도로 정상을 가리키며 안쪽으로 움직인다. 원은 줄어들어 결국 한 점 아래로 무너질 것이다. 초기 원 위에 초기 거리 필드(즉, 경계까지의 서명된 유클리드 거리, 양의 내부, 음의 외부)가 구성되는 경우, 이 필드의 정규화된 기울기는 원 정규화가 된다.

필드에서 시간 내에 감산된 상수 값을 갖는 경우, 새로운 필드의 0 수준(초기 경계)도 원형이 되어 점으로 비슷하게 붕괴된다. 이것은 사실상 고정된 전방 속도를 가진 아이코날 방정식의 시간적 통합이기 때문이다.

연소에서 이 방법은 G 방정식으로 알려진 순간 불꽃 표면을 설명하기 위해 사용된다.

역사

레벨셋 방식은 1979년 알랭 더비룩스에 의해 개발되었고,^[5] 이후 스탠리 오셔와 제임스 세션에 의해 대중화되었다. 이미지 처리, 컴퓨터 그래픽, 컴퓨터 기하학, 최적화, 컴퓨터 유체 역학, 컴퓨터 생물학과 같은 많은 분야에서 인기를 끌었다.

컴퓨터 어플리케이션에서 레벨 설정 방법의 사용을 용이하게 하기 위해 레벨 설정 데이터 구조가 많이 개발되었다.

적용들

• 계산 유체 역학
• 연소
• 궤도 계획
• 최적화
• 이미지 처리
• 계산 생물물리학

계산 유체 역학

이 기사는 위키피디아의 품질 기준을 충족시키기 위해 정리가 필요할 수 있다. 구체적인 문제는 문법적 오류다. 가능하다면 이 기사를 개선하는 것을 도와줘. (2021년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

서로 다른 두 유체의 인터페이스에서 수학 모델을 실행하기 위해서는 유체 간의 상호작용을 부드럽게 해야 한다. 따라서 다음과 같은 특정 기능을 적용해야 한다. Compact Level Set 메서드.

"스핀 오프(spin off)"로서 컴팩트LSM은 LSM 방정식을 해결하는 데 도움이 되는 LSM의 보완물이다. 예를 들어, 인터페이스 워터 에어의 탈색 작업을 하는 경우, 6번째 순서로 압축하여 인터페이스 방정식의 정확하고 빠른 계산을 보장할 수 있다(Monteiro 2018).

LSM은 거리 기능을 사용하여 다른 유체를 찾는다. 거리 함수는 값이 분석되는 지점에서 인터페이스까지의 가장 작은 거리를 나타내는 것이다. 이 거리 함수는 아이솔린(2D) 또는 이소서페이스(3D)로 식별되며, 음의 값은 유체 중 하나를 가리키고, 양의 값은 다른 것을 가리키며, 영의 값은 인터페이스의 위치에 해당한다.

단, 컴팩트 레벨 세트법에 Hubiside 기능은 어떻게 삽입되는가?

특정 질량과 점도는 인터페이스에서 불연속적이기 때문에 인터페이스 근처에 유체의 적절한 처리가 없을 경우 초과 확산 문제(인터페이스 확폭)와 수치 진동이 모두 예상된다. Level Set 방법은 이러한 문제를 최소화하기 위해 인터페이스 위치(∅ = 0)를 명시적으로 정의하는 부드러운 셀 관련 Hubiside 기능을 사용한다.

인터페이스의 전환은 매끄럽게 유지되지만, 그물망과 동일한 길이 척도로 장애물이 유입되지 않도록 셀 크기의 순서의 두께로, 인터페이스가 한 셀에서 다음 셀로 갑자기 점프하는 특성을 포함하기 때문에(Unverdi and Tryggvason, 1992년) 특정 질량 및 점도와 같은 흐름의 재료 특성을 재구성하기 위해 Hubiside 유형의 또 다른 마커 함수 I(I)를 사용한다.

${\displaystyle I(\varphi )={\begin{cases}0,&{\text{if }}\varphi <-\delta \Delta \\[8pt]{\dfrac {1}{2}}\left[1+{\dfrac {\varphi }{\delta \Delta }}+{\dfrac {1}{\pi }}\sin \left({\dfrac {\pi \varphi }{\delta \Delta }}\right)\right],&{\text{if }} \varphi \leq \delta \Delta \\[8pt]1,&{\text{if }}\varphi >\delta \Delta \end{cases}}}$

(1)

여기서 Δ는 경험적 계수로서 보통 1과 같으며, 5와 Δ는 문제의 특성 소멸이며, Δ는 시뮬레이션할 현상에 따라 달라진다. Δ 값은 3개의 셀 두께의 인터페이스를 나타내며, 따라서 ΔΔ는 인터페이스 두께의 절반을 나타낸다. 이 방법에서 인터페이스는 매끄러운 기능으로 표현되기 때문에 가상의 두께를 가진다. 특정 질량 및 키네마틱 점도와 같은 물리적 특성은 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle \rho =(1-I)\rho _{1}+I\rho _{2}\qquad e\qquad v=(1-I)v_{1}+Iv_{2}}$

(2)

여기서 ρ₁, ρ₂, v₁ 및 v는₂ 유체 1과 2의 특정 질량과 운동학적 점성이다. 방정식 2는 유체의 다른 특성에 유사하게 적용될 수 있다.

참고 항목

참조

외부 링크

• 레벨 설정 방법을 사용하여 화재, 물, 천, 파쇄 재료 등과 같은 실제 현상을 모델링하는 방법을 보여주는 많은 놀라운 사진 및 애니메이션은 로널드 페드키우의 학술 웹 페이지를 참조하십시오.
• 멀티백은 레벨셋 방식으로 2D로 전면 추적을 위한 C++ 라이브러리다.
• 레벨셋 방법에 대한 제임스 세시안의 웹 페이지.
• 스탠리 오셔의 홈페이지.