샤코프스키 정리

수학에서 샤코프스키의 정리(샤코프스키 정리, 샤코프스키 정리, 샤코프스키 정리, 샤코프스키 정리)는 1964년에 발표한 올렉산드르 마이콜라요비치 샤코프스키의 이름에서 따온 것으로 이산 동역학계에 대한 결과입니다.^[1] 이 정리의 의미 중 하나는 실제 라인의 이산 동적 시스템에 주기 3의 주기점이 있는 경우 다른 주기의 주기점이 있어야 한다는 것입니다.

진술

어떤 $I\subset \mathbb {R}$ 에 $대하여$ R {\ $displaystyle$ I $\subset \mathbb$ {R} }을 ⊂하며, 다음을 가정합니다.

f:I\to I

연속 함수입니다. The number

x

is called a periodic point of period $m$ if

f^{(m)}(x)=x

, where

f^{(m)}

denotes the iterated function obtained by composition of

m

copies of

f

.

f^{(k)}(x)\neq x

{\displaystyle

x

} 숫자

는 f (

f^{(k)}(x)\neq x

(

f^{(k)}(x)\neq x

≠ x {\

displaystyle f^{(k

)}(x)\n일 경우 주기 m $m$ 이( $m$ ) 가장 적다고 합니다.모든

0<k<m

<

0<k<m

< m

0< k< m

에 대한

f^{(k)}(x)\neq x

eq

x

0<k<m

샤코프스키의 정리는

f

f

의 주기적인 점의 가능한 최소 주기에 관한 것입니다

f

양의 정수의 순서를 다음과 같이 생각해 보자.^[2]

{\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3\cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2}&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{array}}

구성은 다음과 같습니다.

홀수 = $=(2n+1)\cdot 2^{0}$ ( $2n+$ 1) ⋅ 20 {\displaystyle = (2n+1)\cdot 2^{0}} 순서대로 증가합니다.
홀수의 2배 = $=(2n+1)\cdot 2^{1}$ ( $2n$ + 1) ⋅ 21 {\displaystyle = (2n + 1)\cdot 2^{1}} 순서대로,
홀수 4배 = (2n $+1$ ) ⋅ 22 {\displaystyle = (2n+1)\cdot 2^{2}} 순서대로 증가합니다.
홀수의 8배 = $=(2n+1)\cdot 2^{3}$ (2n $+$ 1) ⋅ 23 {\displaystyle = (2n+1)\cdot 2^{3}},
등 = $=(2n+1)\cdot 2^{m}$ (2n+ $1)$ ⋅ 2m {\displaystyle = (2n+1)\cdot $=(2n+1)\cdot 2^{m}$ 2^{m}}
마지막으로 두 = $=2^{n}$ n {\displaystyle = 2^{n}}의 거듭제곱이 감소하는 순서로 나타납니다.

이 순서는 전체 순서입니다. 모든 양의 정수는 이 목록의 어딘가에 정확히 한 번 나타납니다. 그러나 잘 주문된 것은 아닙니다. 순서대로 모든 부분집합은 가장 이른 원소를 갖지만, 이 순서에서는 2의 가장 이른 거듭제곱이 없습니다.

Sharkovskii's theorem states that if $f$ has a periodic point of least period $m$ , and $m$ precedes $n$ in the above ordering, then $f$ has also a periodic point of least period $n$ .

한 가지 결과는 $f$ $f$ 에 $f$ 주기점이 무한히 많은 경우, 이들은 모두 2의 거듭제곱인 주기를 가져야 한다는 것입니다. 게다가 3기의 주기점이 있다면 다른 모든 주기의 주기점이 있습니다.

샤코프스키의 정리는 단지 그 기간의 주기가 있다고 해서 그 기간의 안정적인 주기가 있다고 말하지 않습니다. 로지스틱 지도와 같은 시스템의 경우 분기 다이어그램에는 주기가 3인 것으로 보이는 모수 값의 범위가 표시됩니다. 사실 거기에는 모든 주기의 주기가 있어야 하지만 안정적이지 않아서 컴퓨터가 만든 사진에는 보이지 않습니다.

연속성에 대한 가정이 중요합니다. 이 가정이 없으면 불연속 조각별 선형 $f:[0,3)\to [0,3)$ f $f:[0,3)\to [0,3)$ [ $f:[0,3)\to [0,3)$ $f:[0,3)\to [0,3)$ → $f:[0,3)\to [0,3)$ [ $f:[0,3)\to [0,3)$ , 3 $f:[0,3)\to [0,3)$ ${\displaystyle f:[0, 3]\to [0,$ 3 $]}$ 다음과 같이 정의됩니다.

f:x\map to {\begin{case}x+1&\mathrm {for\} 0\leq x<2\x-2&\mathrm {for\} 2\leq x<3\end{case}}

모든 값에 주기가 3인 경우, 반례가 될 것입니다. 마찬가지로 f

f

가 구간에 정의된다고

f

가정하는 것도 중요합니다.

\mathbb {R} \setminus \{1\},

않은 경우 f : x ↦

f:x\mapsto (1-x)^{-1}

(1

f:x\mapsto (1-x)^{-1}

- x ) - 1

{\displaystyle

f:x

\mapsto

(1 -

f:x\mapsto (1-x)^{-1}

x)^{-1}},

\mathbb {R} \setminus \{1\},

∖ {1},

{\displaystyle

\

mathbb {R}

\setminus \{1\}, 모든 0이 아닌 값에 대해 주기 3이 있는 것이 반례가 됩니다.

일반화 및 관련 결과

샤코프스키는 또한 역 정리를 증명했습니다: 위의 순서의 모든 상위 집합은 어떤 연속 함수에 대한 구간의 집합입니다. 실제로 이러한 모든 주기 집합은 함수 패밀리 $T_{h}:[0,1]\to [0,1]$ 에 의해 달성됩니다 $T_{h}:[0,1]\to [0,1]$ [ $T_{h}:[0,1]\to [0,1]$ $T_{h}:[0,1]\to [0,1]$ → $T_{h}:[0,1]\to [0,1]$ [ $T_{h}:[0,1]\to [0,1]$ , 1 $T_{h}:[0,1]\to [0,1]$ ${\displaystyle T_{h}:[0, 1]\$ $x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)$ $[0,$ 1 $T_{h}:[0,1]\to [0,1]$ x ↦ $x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)$ ( $x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)$ , 1 - $x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)$ $x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)$ - 1 $x\mapsto \min(h,1-2|x-1/2|)$ / 2) ${\displaystyle$ x $\maps to$ \min( $h, 1-2$ x-1/ $h$ ∈ [0, 1] ${\displaystyle$ h\in [0, 1]}, $T:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $T:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ → $R$ {\ $displaystyle$ T $:\mathbb {R} \to \mathbb {R$ $x\mapsto x+1$ ↦ x + 1 ${\displaystyle x\maps$ to x+1}에 의해 달성되는 빈 마침표 집합을 제외합니다.

반면 주기적 궤도의 점에 작용하는 간격 지도의 조합 구조에 대한 추가 정보로 주기-n 지점이 주기-3(따라서 모든 주기)을 강제할 수 있습니다. 즉, 궤도 유형(주기적 궤도의 점들에 작용하는 지도에 의해 생성되는 순환 순열)이 소위 스트레칭 쌍을 갖는 경우, 이는 주기-3의 주기적 지점의 존재를 의미합니다. (점근적인 의미에서) 거의 모든 순환 순열은 적어도 한 쌍의 스트레칭 쌍을 인정하므로 거의 모든 궤도 유형은 주기-3을 암시한다는 것을 보여줄 수 있습니다.^[5]

천인 리와 제임스 A. 요르케는 1975년에 주기-3 주기의 존재는 모든 주기의 주기의 존재를 의미할 뿐만 아니라 주기(혼돈점)에 결코 매핑되지 않는 셀 수 없는 무한대의 점의 존재를 의미한다는 것을 보여주었습니다. 주기 3으로 알려진 특성은 혼돈을 의미합니다.^[6]

샤코프스키의 정리는 다른 위상 공간의 동적 시스템에 즉시 적용되지 않습니다. 주기점이 3기인 원 지도를 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어 120도 회전을 합니다. 그러나 일반적으로 주기적 궤도를 제외한 공간의 매핑 클래스 그룹을 포함하는 일부 일반화가 가능합니다. 예를 들어, Peter Kloeden은 Sharkovski의 정리가 삼각형 매핑, 즉 f $성분$ 이_i 첫 $번째$ i $성분 1$ x $,..., x$ 에만_i 의존하는 매핑에 대해 성립함을 보여주었습니다.^[7]

참고문헌

^ Sharkovskii, A. N. (1964). "Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself". Ukrainian Math. J. 16: 61–71.
^ K. 번즈, B. 하셀블라트, "샤르콥스키 정리: 자연적인 직접적인 증명" (2008). 2023년 2월 3일 접속.
^ Alsedà, L.; Llibre, J.; Misiurewicz, M. (2000). Combinatorial dynamics and entropy in dimension one. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-4053-0.
^ Burns, K.; Hasselblatt, B. (2011). "The Sharkovsky theorem: A natural direct proof". American Mathematical Monthly. 118 (3): 229–244. CiteSeerX 10.1.1.216.784. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.03.229. S2CID 15523008.
^ Lundberg, Erik (2007). "Almost all orbit types imply period-3". Topology and Its Applications. 154 (14): 2741–2744. doi:10.1016/j.topol.2007.05.009.
^ Li, T. Y.; Yorke, J. A. (1975). "Period Three Implies Chaos". American Mathematical Monthly. 82 (10): 985–992. Bibcode:1975AmMM...82..985L. doi:10.1080/00029890.1975.11994008. JSTOR 2318254.
^ Kloeden, P. E. (1979). "On Sharkovsky's cycle coexistence ordering". Bull. Austral. Math. Soc. 20 (2): 171–178. doi:10.1017/S0004972700010819.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Sharkovskys Theorem". MathWorld.
플래닛매스의 샤코프스키 정리.
Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
Misiurewicz, Michal. "Remarks on Sharkovsky's Theorem". The American Mathematical Monthly,Vol. 104, No. 9 (Nov., 1997), pp. 846-847. {{cite journal}}: 저널 인용 요구사항 journal= (도와주세요)
키스 번스와 보리스 하셀블라트, 샤르콥스키 정리: 자연적인 직접적인 증명
스콜라피디아: 알렉산드르 니콜라예비치 샤르코프스키의 샤르코프스키 주문

[1] Sharkovskii, A. N. (1964). "Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself". Ukrainian Math. J. 16: 61–71.

[2] K. 번즈, B. 하셀블라트, "샤르콥스키 정리: 자연적인 직접적인 증명" (2008). 2023년 2월 3일 접속.

[3] Alsedà, L.; Llibre, J.; Misiurewicz, M. (2000). Combinatorial dynamics and entropy in dimension one. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-4053-0.

[4] Burns, K.; Hasselblatt, B. (2011). "The Sharkovsky theorem: A natural direct proof". American Mathematical Monthly. 118 (3): 229–244. CiteSeerX 10.1.1.216.784. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.03.229. S2CID 15523008.

[5] Lundberg, Erik (2007). "Almost all orbit types imply period-3". Topology and Its Applications. 154 (14): 2741–2744. doi:10.1016/j.topol.2007.05.009.

[6] Li, T. Y.; Yorke, J. A. (1975). "Period Three Implies Chaos". American Mathematical Monthly. 82 (10): 985–992. Bibcode:1975AmMM...82..985L. doi:10.1080/00029890.1975.11994008. JSTOR 2318254.

[7] Kloeden, P. E. (1979). "On Sharkovsky's cycle coexistence ordering". Bull. Austral. Math. Soc. 20 (2): 171–178. doi:10.1017/S0004972700010819.

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[2]

[5]

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