부분 선형 함수

Piecewise linear function

수학과 통계학에서, 부분 선형, PL 또는 세그먼트 함수는 실제 변수의 실제 값 함수이며, 그래프는 직선 [1]세그먼트로 구성됩니다.

정의.

부분 선형 함수는 각각이 아핀 함수인 구간의 집합이 존재하도록 (무제한일 가능성이 있는) 실수의 구간에 정의되는 함수입니다.함수의 도메인이 콤팩트한 경우, 그러한 구간의 유한한 집합이 필요합니다. 도메인이 콤팩트하지 않은 경우, 그것은 유한하거나 실수에 국소적으로 유한해야 합니다.

예

연속적인 부분 선형 함수

정의된 함수

4개의 조각이 있는 부분적인 선형입니다.이 함수의 그래프는 오른쪽에 표시됩니다.선형 함수의 그래프는 선이기 때문에, 분할 선형 함수의 그래프는 선분 및 선으로 구성됩니다.기울기가 변경되는 x 값(위의 예에서는 -3, 0 및 3)을 일반적으로 중단점, 변경점, 임계값 또는 노트라고 합니다.많은 어플리케이션과 마찬가지로 이 기능도 연속적입니다.콤팩트 간격의 연속적인 부분 선형 함수의 그래프는 다각형 사슬입니다.

부분 선형 함수의 다른 예로는 절대값 함수, 톱니 함수 및 바닥 함수를 들 수 있습니다.

곡선에 적합

함수(파란색) 및 그에 대한 부분 선형 근사(빨간색)

알려진 곡선에 대한 근사치는 곡선을 샘플링하고 점 사이를 선형으로 보간함으로써 구할 수 있습니다.주어진 오차 허용 오차를 따르는 가장 유의한 점을 계산하는 알고리즘이 [2]발표되었습니다.

데이터에의 적합

주요 기사:세그먼트 회귀 분석

파티션과 중단점이 이미 알려진 경우 이러한 파티션에서 독립적으로 선형 회귀 분석을 수행할 수 있습니다.그러나 이 경우 연속성은 보존되지 않으며 관찰된 데이터의 기초가 되는 고유한 참조 모델도 없습니다.이 경우 안정적인 알고리즘이 [3]도출되었습니다.

파티션을 알 수 없는 경우 잔차 제곱합을 사용하여 최적의 분리점을 [4]선택할 수 있습니다.그러나 모든 모델 매개변수(단락점 포함)의 효율적인 계산과 공동 추정은 패키지에 현재 구현된 반복[5] 절차를 통해 얻을 수 있다.segmented[6] R 언어용입니다.

모델 트리라고 불리는 의사결정 트리 학습의 변형은 부분적인 선형 [7]함수를 학습합니다.

표기법

2차원(위)의 구간 선형 함수 및 선형(아래)인 볼록 다면체

부분 선형 함수의 개념은 몇 가지 다른 맥락에서 의미가 있습니다.부분 선형 함수는 n차원 유클리드 공간 또는 더 일반적으로 벡터 공간이나 아핀 공간뿐만 아니라 부분 선형 다양체, 단순 복합체 등에 정의될 수 있다.어느 경우든 함수는 실가치가 될 수도 있고 벡터 공간, 아핀 공간, 부분 선형 다양체 또는 단순 복소수로부터 값을 얻을 수도 있다(이러한 맥락에서 "선형"이라는 용어는 선형 변환만을 의미하는 것이 아니라 보다 일반적인 아핀 선형 함수를 지칭한다).

1보다 큰 치수의 경우 일반적으로 각 조각의 도메인이 폴리곤 또는 폴리토프여야 합니다.이렇게 하면 함수의 그래프가 다각형 또는 다각형 조각으로 구성됩니다.

부분 선형 함수의 중요한 하위 클래스는 연속적인 부분 선형 함수와 볼록한 부분 선형 함수를 포함한다.일반적으로 모든 n차원 연속 부분 선형 f : {\ f^{ \에 대하여, 다음과 같은 값이 있다.

그렇게 해서

[8]

ff)가 볼록하고 연속적인 ,

그렇게 해서

스플라인은 구간별 선형 함수를 고차 다항식으로 일반화하며, 고차 다항식은 구간별 미분 가능 함수인 PDIFF 범주에 포함됩니다.

적용들

수심의[9] 깊이에 대한 자르기 반응
토양[10] 염도에 대한 농작물 반응 예제

농업에서는 측정된 데이터의 부분 회귀 분석을 사용하여 성장 요인이 수확량에 영향을 미치는 범위와 작물이 이러한 요인의 변화에 민감하지 않은 범위를 탐지합니다.

왼쪽 그림은 얕은 물 테이블에서는 수율이 감소하지만 깊은 물 테이블에서는 수율이 영향을 받지 않음을 나타냅니다(> 7 dm그래프는 가장 적합한 두 세그먼트를 찾기 위해 최소 제곱법을 사용하여 만들어집니다.

오른쪽 그래프는 농작물 생산량이 최대 ECe = 8dS/m(ECE는 포화 토양 샘플 추출물의 전기 전도율)까지 토양 염도를 허용하지만 이 값을 초과하면 작물 생산량이 감소한다는 것을 보여줍니다.그래프는 "효과 없음"의 가장 긴 범위(즉, 선이 수평인 경우)를 찾기 위해 부분 회귀법을 사용하여 만들어집니다.두 세그먼트는 같은 점에서 결합할 필요가 없습니다.최소 제곱의 두 번째 세그먼트 방법에만 사용됩니다.

「 」를 참조해 주세요.

추가 정보

  • 어플리케이션, P., Long, N., & Rees, R. (2014).최적 단계별 선형 소득 과세.공공경제이론 저널, 16(4), 523-545.

레퍼런스

  1. ^ Stanley, William D. (2004). Technical Analysis And Applications With Matlab. Cengage Learning. p. 143. ISBN 978-1401864811.
  2. ^ Hamann, B.; Chen, J. L. (1994). "Data point selection for piecewise linear curve approximation" (PDF). Computer Aided Geometric Design. 11 (3): 289. doi:10.1016/0167-8396(94)90004-3.
  3. ^ Golovchenko, Nikolai. "Least-squares Fit of a Continuous Piecewise Linear Function". Retrieved 6 Dec 2012.{{cite web}}: CS1 maint :url-status (링크)
  4. ^ Vieth, E. (1989). "Fitting piecewise linear regression functions to biological responses". Journal of Applied Physiology. 67 (1): 390–396. doi:10.1152/jappl.1989.67.1.390. PMID 2759968.
  5. ^ Muggeo, V. M. R. (2003). "Estimating regression models with unknown break‐points". Statistics in Medicine. 22 (19): 3055–3071. doi:10.1002/sim.1545. PMID 12973787.
  6. ^ Muggeo, V. M. R. (2008). "Segmented: an R package to fit regression models with broken-line relationships" (PDF). R News. 8: 20–25.
  7. ^ Landwehr, N.; Hall, M.; Frank, E. (2005). "Logistic Model Trees" (PDF). Machine Learning. 59 (1–2): 161–205. doi:10.1007/s10994-005-0466-3. S2CID 6306536.
  8. ^ Ovchinnikov, Sergei (2002). "Max-min representation of piecewise linear functions". Beiträge zur Algebra und Geometrie. 43 (1): 297–302. arXiv:math/0009026. MR 1913786.
  9. ^ 부분 회귀를 위한 계산기입니다.
  10. ^ 부분 회귀를 위한 계산기입니다.