시돈 수열

In number theory, a Sidon sequence is a sequence ${\displaystyle A=\{a_{0},a_{1},a_{2},\dots \}}$ of natural numbers in which all pairwise sums ${\displaystyle a_{i}+a_{j}}$ (for ${\displaystyle i\leq j}$) are different.시돈 시퀀스는 시돈 집합이라고도 불리는데, 푸리에 시리즈에 대한 조사에서 개념을 도입한 헝가리 수학자 사이먼 시돈의 이름을 따서 붙인 것이다.

시돈에 의해 제기된 시돈 시퀀스 연구의 주요 문제는 시돈 시퀀스가 포함할 수 있는 원소의 최대 개수를 찾는 것인데$,$^[1] 어떤 $묶음{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$까지. 많은 연구 기관에도 불구하고 그 문제는 해결되지 않은 채로 남아 있었다.^[2][3]

초기 결과

폴 Erdős과 Pál Turán가 각 x를 0{\displaystyle x>0};, 요소의 수)보다{\displaystyle)}는 시돈 시퀀스에 있는 대부분의에서 x+O(x4){\displaystyle{\sqrt{)}}+O({\sqrt[{4}]{x}})} 작아진다. J. 싱어의 건설을 이용하다는 것이 그들은 시돈 시퀀스 존재하는 보여 주었다. contain $x{\displaystyle \sqrt{}}$( ${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle \mathrm{o}}$( 1${\displaystyle }$)${\displaystyle {\sqrt{x}(1-o(1))}$개$$ 항보다 작음.

무한 시돈 시퀀스

또한 Erdss는 $A{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ A$(x)}$이(가) 있는 특정 무한 사이돈 $시퀀스{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$에 대해 $최대{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$까지의 요소 수를 나타냄을$$ 보여주었다$.$

즉, 무한 사이돈 시퀀스는 가장 밀도가 높은 유한 사이돈 시퀀스보다 얇다.

다른 방향의 경우, 차우라와 미안은 탐욕스러운 알고리즘이 $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에^[5] A( )> ${\$x$}}}}}}}}}}}}$을(를) 사용하여 무한 사이돈 시퀀스를 제공하는 것을 관찰했다$.$^[4]

지금까지 최고의 하한선은 임레 Z에 의해 주어졌다. 루즈사는^[6] 시돈 시퀀스가

존재한다Erdős는 무한 사이돈 $집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$이(가) 존재하며$$, ( )> / - ( ) ${\$1)가이 A를 보유한다고 추측했다.그는 Rényi)}}은 확정적이지 않은 밀도가 그곳엔 일정한 k{k\displaystyle}은 모든 자연수 엔{n\displaystyle}대부분의 k에 이러한{\displaystyle은 단지 약한 속성을 만족하는 시퀀스{0,1하나, …}{\displaystyle\와 같이{a_{0},a_{1},\dots의 존재 showed[7]. k}$$ ${\displaystyle {등식}_{}}$ $a{\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}{a}_{}}$ = ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i}+a_{j}=n}$의 해법$.$ ($시돈{\displaystyle }$ 시퀀스가 되려면 ${\displaystyle \mathrm{k}}$= 1 ${\displaystyle k=1}$이 필요합니다.)$$

Erdős는 자연수에서의 값이 시돈 수열을 형성하는 일정하지 않은 정수 코효율 다항식이 존재한다고 더욱 추측했다.구체적으로 5강 세트가 시돈 세트냐고 물었다.Ruzsa에 집착하다는 0<>요리<1{\displaystyle 0<, c< 1}는 함수 f())의 범위 cmx5+⌊ c)4⌋{\displaystyle f())=x^{5}+\lfloor cx^{4}\rfloor}은 시돈 시퀀스, ⌊⌋{\displaystyle \lfloor)\rfloor}을 가진 실제 번호 c{\displaystyle c} 보여 줌으로써 왔다.를 의미한다정수 부분$c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$이(가) 비이성적이므로 이 함수 $f{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle f(x)}$은 다항식이 아니다$$.5강 세트가 시돈 세트라는 진술은 나중에 랜더, 파킨, 셀프리지가 추측한 특수한 경우다.

골롬 지배자들과의 관계

유한한 시돈 세트는 모두 골롬 지배자, 그 반대도 마찬가지다.

이를 보려면 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 시돈 집합이며 골롬 통치자가 아니라는 모순을 가정해 보십시오.Since it is not a Golomb ruler, there must be four members such that ${\displaystyle a_{i}-a_{j}=a_{k}-a_{l}}$. It follows that ${\displaystyle a_{i}+a_{l}=a_{k}+a_{j}}$, which contradicts the proposition that ${\displaystyle S}$ is a Sidon set.그러므로 시돈 세트는 모두 골롬의 통치자임에 틀림없다.비슷한 논거에 의해 모든 골롬 통치자는 시돈 집합이어야 한다.

참고 항목

• 모세르-데 브루옌 수열
• 셈셋

참조