휘태커-섀넌 보간 공식

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Whittaker-Shannon 보간 공식 또는 sinc 보간은 실수의 시퀀스로부터 연속 시간 대역 제한 함수를 구성하는 방법입니다. 이 공식은 1898년 E. Borel과 E. T.의 작품으로 거슬러 올라갑니다. 1915년 휘태커는 J. M.의 작품에서 인용되었습니다. 1935년에는 휘태커를, 1949년에는 클로드 섀넌에 의해 나이퀴스트-섀넌 샘플링 정리를 공식화했습니다. 흔히 샤넌의 보간 공식, 휘태커의 보간 공식이라고도 합니다. E.T. 1915년에 그것을 출판한 휘태커는 그것을 카디널 시리즈라고 불렀습니다.

정의.

실수의 수열이 주어졌을 때, 연속 함수인 x[n]

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,{\rm {sinc}}\left({\frac {t-nT}{T}\right)\,}$

(여기서 "sinc"는 정규화된 sinc 함수를 나타냅니다) 푸리에 변환, X(f)가 있으며 0이 아닌 값은 f≤ 1/(2T) 영역으로 제한됩니다. 파라미터 T가 초 단위인 경우, 대역 한계인 1/(2T)는 사이클/초(헤르츠) 단위를 갖습니다. x[n] 시퀀스가 연속 함수의 시간 샘플을 나타내는 간격 T에서 수량 f = 1/T를 샘플 레이트로 알고 f/2는 해당 나이퀴스트 주파수입니다. 샘플링된 함수가 밴드 한계인 B를 가질 때 나이퀴스트 주파수보다 작으면 x(t)는 원래 함수의 완벽한 재구성입니다. (샘플링 정리 참조) 그렇지 않으면 나이퀴스트 주파수 이상의 주파수 성분이 X(f)의 하위 나이퀴스트 영역으로 "접혀" 왜곡이 발생합니다. (알리어싱 참조)

등가 공식: 컨볼루션/로우패스 필터

보간 공식은 Nyquist-Shannon 샘플링 정리 기사에서 도출되었으며, Sinc 함수를 가진 무한 임펄스 트레인의 컨볼루션으로도 표현될 수 있음을 지적합니다.

${\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot \underbrace {x(nT)}_{x[n]}\cdot \delta \left(t-nT\right)\right)\cdot\cdot dast \left ({\frac {1}{T}}{\rm {sinc}}\left({\frac {t}{T})\right)\right).}$

이는 통과 대역에서 이득이 1(또는 0dB)인 이상적인 (벽돌) 저역 통과 필터로 임펄스 트레인을 필터링하는 것과 같습니다. 샘플링 속도가 충분히 높으면 베이스밴드 영상(샘플링 전 원래 신호)이 변경되지 않고 전달되고 다른 영상이 벽돌-벽 필터에 의해 제거됨을 의미합니다.

수렴

보간 공식은 항상 절대적이고 국소적으로 균일하게 수렴합니다.

${\displaystyle \sum_{n\in \mathbb {Z},\,n\neq 0}\left {\frac {x[n]}{n}\right <\infty.}$

ö더 부등식에 의해 만약 수열 (${\displaystyle x_{}}$ $[{\displaystyle n}$ ${\displaystyle ])}$ n${\displaystyle {}_{}}$∈ $Z$ {\$displaystyle$ (x$[$n])_${n\$in $\mathbb$ {Z}}}가 1 ≤ p < ∞인 ℓ p (Z, C) {\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z},\mathbb {C}) 공간에 속한다면 이는 만족됩니다.

${\displaystyle \sum_{n\in \mathbb {Z}}\left x[n]\right ^{p}<\infty .}$

이 조건은 충분하지만 필요하지는 않습니다. 예를 들어, 표본 수열이 거의 모든 고정된 과정을 표본으로 추출할 때 일반적으로 합은 수렴합니다. 이 경우 표본 수열은 제곱합 가능하지 않으며, 어떤${\displaystyle }$ℓ p${\displaystyle (}$Z$,$ C) ${\displaystyle \ell$ ^{$p}(\mathbb {Z},\mathbb {$C})} 공간에 있지 않습니다.

고정 랜덤 프로세스

만약 x[n]이 넓은 의미의 정지 과정의 샘플 함수의 무한한 샘플 시퀀스라면, 그것은 확률이 ${\displaystyle {1인}^{}}$ℓ p ${\displaystyle \$ell ^{p} 또는 L 공간의 멤버가 아닙니다. 즉, 거듭제곱 p로 상승한 샘플의 무한합은 유한한 기대값을 갖지 않습니다. 그럼에도 불구하고 보간 공식은 확률 1로 수렴합니다. 수렴은 절단된 합항의 분산을 계산하고 충분한 수의 항을 선택하여 분산을 임의로 작게 만들 수 있음을 보여줌으로써 쉽게 나타낼 수 있습니다. 공정 평균이 0이 아닌 경우 절단된 항의 기대 값이 0으로 수렴한다는 것을 나타내기 위해 항 쌍도 고려해야 합니다.

임의의 공정은 푸리에 변환이 없으므로 합이 원래 함수에 수렴하는 조건도 달라야 합니다. 고정 랜덤 프로세스는 자기 상관 함수를 가지며 따라서 위너-킨친 정리에 따른 스펙트럼 밀도를 갖습니다. 공정에서 표본 함수로 수렴하기에 적합한 조건은 표본 비율의 절반 이상인 모든 주파수에서 공정의 스펙트럼 밀도가 0이라는 것입니다.

참고 항목