콘볼루션 유형의 단일 적분 연산자

수학에서, 콘볼루션 유형의 단일 적분 연산자는 분포에 의한 콘볼루션을 통해 R과ⁿ T에서ⁿ 발생하는 단일 적분 연산자다. 동등하게 그들은 번역과 함께 통근하는 단일 적분 연산자들이다.고조파 분석에서 고전적인 예로는 원의 조화 결합 연산자, 원과 실선의 힐버트 변환자, 복잡한 평면의 버링 변환자, 유클리드 공간의 리에즈 변환자가 있다.푸리에 변환이 그것들을 곱셈 연산자로 변환하기 때문에 L에서² 이들 연산자의 연속성은 명백하다.L공간에^p 대한 연속성은 마르셀 리에스에 의해 처음 확립되었다.고전적 기법으로는 포아송 적분, 보간 이론, 하디-리틀우드 최대 함수의 활용이 있다.더 많은 일반 운영자들을 위해 1952년 알베르토 칼데론과 안토니 지그문트가 도입한 근본적인 새로운 기법들이 L공간에^p 대한 일반적 기준을 제시하기 위해 다수의 저자들에 의해 개발되었다.이 글은 고전 연산자를 위한 이론을 설명하고 이후의 일반 이론을 스케치한다.

L² 이론

힐베르트의 원형 변형

L함수에² 대한 이론은 특히 서클에서 간단하다.^[1]^[2]f ∈ L²(T)이면 푸리에 시리즈 확장

f(\theta )=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta }}}

하디 공간 H²(T)는 음수 계수가 사라지는 함수로 구성되며, a_n = n < 0이다.이것들은 정확히 오픈 유닛 디스크에서 홀로모르픽 함수의 경계값으로 발생하는 사각형 통합 기능이다.실제로 f는 함수의 경계값이다.

F(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}}

그 기능을 한다는 의미에서.

f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta }),

동심원 z = r, 만족에 대한 F의 제한에 의해 정의된다.

\ f_{r}-f\ _{2}\오른쪽 화살표 0.

H²(T)에 대한 L²(T)의 직교 투영 P를 Szegő 투영이라고 한다.연산자 규범 1을 갖는 L²(T)의 경계 연산자다.코치의 정리대로

F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{ \zeta  =1}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .

그러므로

F(re^{i\varphi }}={1 \over 2\pi }\int_{-\pi }{f(\varphi -\theta ){1-re^{i\}\,d\ta .

r = 1일 때 우측의 통합은 singular = 0으로 특이점을 갖는다.잘린 힐버트 변환은

H_{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq  \theta  \leq \pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{ \zeta -e^{i\varphi } \geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,

여기서 Δ = 1Italic – e^iε. 경계가 있는 함수를 가진 콘볼루션으로 정의되기 때문에 L²(T)에서는 경계가 있는 연산자다.지금

H_{\varepsilon }{1}={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }2\Re (1-e^{i\theta })^{-1}\,d\theta ={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }1\,d\theta =i-{i\varepsilon  \over \pi }.

f가 z의 다항식인 경우

{\displaystyle H_{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int_{1 \over \pi \delta \f(\zeta )-f(z) \cover \zeta.

카우치의 정리로는 오른손은 ε으로 균일하게 0을 나타내며, 따라서 Δ는 0을 나타낸다.그렇게

H_{\barepsilon }f\rightarrow if

다항식의 경우 균일하게반면에 u(z) = z인 경우, 는 즉시

{\overline {H_{\varepsilon }f}=-u^{-1}H_{\varepsilon }(u{\overline {f}).

따라서 f가 일정한⁻¹ 항이 없는 z 단위의 다항식인 경우

H_{\varepsilon }f\rightarrow -if

H_{\varepsilon }f\rightarrow -if

H_{\varepsilon }f\rightarrow -if

→

H_{\varepsilon }f\rightarrow -if

-

H_{\varepsilon }f\rightarrow -if

H_{\varepsilon }f\rightarrow -if

H_{\varepsilon }f\rightarrow -if

균일하게

H_{\varepsilon }f\rightarrow -if

.

원에 대한 Hilbert 변환 정의

[\displaystyle H=i(2P-I)]}

따라서 f가 삼각 다항식인 경우

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

→

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

는

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

균일하게.

f가 L 함수라면² 다음과 같다.

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

L규격의

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

²

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

→

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf

이는 연산자 H가_ε 연산자 표준으로 균일하게 경계된다는 것이 확인되면 삼각 다항식 결과에 대한 즉각적인 결과물이다.그러나 [–[–[-],]에 대해서는

(1-e^{i\theta }^{-1}=[(1-e^{i\theta }}^{-1})^{-1}-i-i-i-i]+i\thea ^{-1}.

첫 번째 용어는 [–190,190] 전체로 한정되어 있으므로, convolution operator S가_ε 다음과 같이 정의하였음을 보여주면 충분하다.

S_{\barpsilon }f(\varphi )=\int_{\barpsilon \leq \leq \pi \f(\varphi -\theta )\the ^{-1}\d\ta

균일하게 경계되어 있다.정형외과적 기초 e^inθ 콘볼루션 연산자는 대각선이며, 그들의 연산자 규범은 푸리에 계수의 모듈리(moduli)의 우월성을 취함으로써 주어진다.직접 계산 결과 이 모든 것이 형태를 갖추고 있다는 것을 알 수 있다.

{\frac {1}{\pi }\왼쪽 \int _{a}^{b}{\sin t \over t}\,dt\right }

0 < a < b로이러한 통합은 균일하게 경계되어 있는 것으로 잘 알려져 있다.

또한 원의 연속함수 f의 경우 Hf는_ε Hf로 균일하게 수렴되므로, 특히 점으로 환산한다.점괘한계는 Cauchy 기본 값이며, 기록된다.

Hf=\mathrm {P.V.} \,{1 \over \pi }\int {f(\f(\zeta ) \over \pi -e^{i\varphi }}}\\,d\zeta .

만약 f가 L에² 있다면 Hf는_ε 거의 모든 곳에서 Hf로 수렴한다.사실² L 함수에 대한 포아송 연산자를 정의하는데

T_{r}\left(\sum a_{n}e^{in\theta }\right)=\sum r^{n}a_{n}e^{in\eta }}}}

r < 1. 이들 연산자는 대각선이기 때문에 r이 1로 증가함에 따라 Tf가_r² L에서 f를 하는 경향이 있음을 쉽게 알 수 있다.더구나 르베그에서 증명했듯이 tf는_r 또한 f의 각 르베그 지점에서 f를 가리키는 경향이 있다.한편, THF_r - H_{1 − r} f는 각 F의 Lebesg 지점들에서 0이 되는 경향이 있는 것으로도 알려져 있다.따라서 H_{1 – r} f는 F와 Hf의 공통적인 Lebesgue 지점들, 따라서 거의 모든 곳에서 f를 가리키는 경향이 있다.^[3]^[4]^[5]

포인트와이즈 수렴에 대한 이러한 종류의 결과는 포아송 연산자와 f의 하디-리틀우드 최대 함수를 사용하는 L^p 함수에 대해 아래에서 더 일반적으로 입증된다.

힐버트 변환은 원의 방향성을 보존하는 차이점 유형과 자연적으로 호환된다.^[6]따라서 H가 원과의 차이점이라면

H(e^{i\theta }}=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,

운영자들

H_{\varepsilon }^{h}f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int _{ e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )} \geq \varepsilon }{\frac {f(e^{i\theta })}{e^{i\theta }-e^{i\varphi }}}e^{i\theta }\,d\theta ,

H로 균일하게 경계되고 강한 연산자 위상에서 경향이 있다. 더욱이 Vf(z) = f(z)이면 VHV⁻¹ - H는 부드러운 커널을 가진 연산자이므로 Hilbert-Schmidt 연산자.

실제로 G가 해당 함수 g(θ)를 가진 H의 역수라면,

(VH_{\varepsilon }^{h}V^{-1}-H_{\varepsilon })f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{ e^{i\theta }-e^{i\varphi } \geq \varepsilon }\left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .

오른쪽의 커널은 T × T에 매끄러우므로, 오른쪽의 연산자는 균일하게 경계되어 있으므로, 연산자 H도_ε^h 마찬가지다.그들이 H에 강한 경향이 있다는 것을 알기 위해서 삼각 다항식에서는 이것을 확인하는 것으로 충분하다.그 경우에는

H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )={1 \over \pi i}\int _{ H(z)-H(\zeta ) \geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{z-\zeta }}dz={1 \over \pi i}\int _{ H(z)-H(\zeta ) \geq \varepsilon }{f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz+{\frac {f(\zeta )}{\pi i}}\int _{ H(z)-H(\zeta ) \geq \varepsilon }{dz \over z-\zeta }.

첫 번째 적분에서 통합은 z와 ζ의 삼각 다항식이고 따라서 적분은 ζ의 삼각 다항식이다.L에서² 삼각 다항식까지의 경향이 있다.

{1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \\,dz.

두 번째 기간의 적분은 논거의 원리에 의해 계산될 수 있다.L에서² 상수함수 1로 경향이 있으므로

\lim_{\h_{\barepsilon }^{h}f(\zeta )=f(\zeta )=f(\zeta )+{1 \over \pi i}int {f(z)-f(\zeta) \}\,dz,

한도가 L인² 곳.반면 오른손은 차이점형주의와는 독립적이다.아이덴티티 차이형성의 경우 왼손은 Hf와 같기 때문에 Hf와도 같다(f가 삼각 다항식인 경우에도 직접 확인할 수 있다).마지막으로, → → 0을 놓아줘,

(VHV^{-1}-H)f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int \left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .

연산자 H의^ε 균일한 경계성을 증명하기 위해 푸리에 계수를 평가하는 직접 방법은 1 로 L공간에^p 직접 일반화하지 않는다.대신 Hf를^ε 힐버트 변환의 포아송 적분과 직접 비교하는 것이 이것을 증명하기 위해 고전적으로 사용된다.f에 푸리에 시리즈가 있는 경우

f(e^{i\theta }}=\sum _{n\in \mathbf {Z}} }a_{n}e^{in\teta }}}}

그것의 포아송 적분은 다음에 의해 정의된다.

P_{r}f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}r^{ n }e^{in\theta }={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{(1-r^{2})f(e^{i\theta }) \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}\,d\theta =K_{r}\star f(e^{i\theta }),

여기서 포아송 커널 K는_r

K_{r}(e^{i\theta }})=\sum _{n\in {Z}}r^{n }e^{n }e^{in\ta }={1-r^{1-r^{2} \cos \1-2r\cos \cos.

f가 L^p(T)에 있으면 연산자 P가_r 만족한다.

\ P_{r}f-f\ _{p}\오른쪽 화살표 0.

사실_r K는 그렇게 긍정적이다.

\ K_{r}\ _{1}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }K_{r}(e^{i\theta })\,d\d\theta =1.

따라서 연산자 P는_r 연산자 L에^p 대해 1로 경계를 정하였다.위의 수렴문은 삼각 다항식 결과의 연속성에 의해 따르며, 여기서 그것은 K의_r 푸리에 계수에 대한 공식의 직접적인 결과물이다.

HP_r - H는_1−r 함수^[7] ψ에_r 의해 콘볼루션으로 주어지기 때문에 H의_ε 연산자 규범의 균일한 경계는 다음과 같다.

{\regated}\properties _{r}}{{r}=1+{1-r}}\frac{1+r}\property \\\tfrac {\theta }{2}}\오른쪽)K_{r}(e^{i\theta }}\&\leq 1+{1-r}{1+r}}\cot \좌측({\tfrac {1-r}{2}}\우측)K_{r}(e^{i\theta }}\ended{aigned}}}}}

1 - r ≤ θ ≤ π의 경우, θ < 1 - r의 경우,

\cHB_{r}(e^{i\theta })=1+{2r\sin \theta \coses \theta +r^{2}.

이러한 추정치는 L규범¹ norms ψ이_r 균일하게 경계되어 있음을 보여준다.H는 경계 연산자이기 때문에, 연산자 H는_ε L²(T)에서 연산자 규범에 균일하게 경계되어 있는 것을 따른다.Hilbert 변환 H가^p L(T)의 연산자 규범에 경계되어 있다는 사실이 알려지면 L^p(T)에서도 동일한 인수를 사용할 수 있다.

실선에서 힐버트 변신

원의 경우와 마찬가지로 L함수에² 대한 이론은 특히 발전하기 쉽다.실제로 로젠블럼과 데비나츠가 관찰한 것처럼 두 힐버트 변환은 케이리 변환을 사용하여 연관될 수 있다.^[8]

L²(R)의 Hilbert 변환 H는_R 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle{\widehat{H_{\mathbf{R}}}}}=\왼쪽(i\chi _{[0,\fty )}-i\chi _{(-\inflitty,0]}\right){\widehat {f},},},}

여기서 푸리에 변환은

{\widehat{f}(t)={1\over {\sqrt {2\pi }}\int_{-\infit }^{\f(x)e^{-itx}\,dx.

하디 공간 H²(R)를 실제 축의 음극 부분에서 푸리에 변환이 사라지는 기능으로 구성된 L²(R)의 닫힌 하위 공간으로 정의한다.그것의 직교보완은 실제 축의 양의 부분에서 푸리에 변환이 사라지는 기능에 의해 주어진다.그것은² H(R)의 복잡한 결합이다.P가_R H²(R)에 대한 직교 투영인 경우

H_{\mathbf {R}}}}=i(2P_{\mathbf {R}-I).

케이리 변형

C(x)={x-i \over x+i}

원 위로 확장된 실선을 운반하여 ∞에서 1까지 포인트를 전송하고, 상단 하프 평면을 장치 디스크에 전송한다.

다음을 통해² L(T)에서² L(R)까지 단일 연산자를 정의하십시오.

Uf(x)=\pi ^{-1/2}(x+i)^{-1}f(C(x))

이 조작자는 원 H²(T)의 하디 공간을 H²(R)에 운반한다.실제로 w < 1의 경우 함수의 선형 범위

f_{w}(z)={\frac {1}{1-wz}}

H²(T)의 밀도가 높다.게다가

Uf_{w}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}{\frac {1}{1-w)(x-{\overline {z}}}}}}}}}

어디에

z=C^{-1}({\overline{w}).

반면에 z z H의 경우 함수의 선형 범위

g_{z}(t)=e^{itz}\chi _{[0,\infit )}(t)

L²(0,197)의 밀도가 높다.푸리에 역전 공식에 의해, 그것들은 푸리에의 변형이다.

h_{z}(x)={\widehat {g_}}(-x)={i \over {\sqrt {2\pi }}}}(x+z)^{-1}}

따라서 이러한 함수의 선형 스팬은² H(R)로 조밀하다.U는 h의_z 배수로 f를_w 운반하므로 H(T²²)를 H(R)로 운반한다.그러므로

UH_{\mathbf {T} }U^{*}=H_{\mathbf {R}}

니콜스키(1986)에서는 실선과 상반면에 있는² L 이론의 일부를 원과 단위 디스크에서 결과를 전송하여 개발한다.디스크의 동심원 자연 교체는 H의 실제 축과 평행한 선이다. Cayley 변환 아래에서 이것들은 1번 지점의 단위 원과 접하는 디스크의 원과 일치한다.이러한 원들에 대한 H²(T)의 함수 행동은 칼레손 측정에 관한 이론의 일부다.그러나 단일한 통합의 이론은 R에 직접 작용함으로써 더욱 쉽게 발전될 수 있다.

H²(R)는 다음 뜻으로 H에 대한 홀로모르픽 함수의 경계값에서 발생하는 L² 함수로 정확히 구성된다:^[9] f는 H에² 있으며, y > 0에 대한 f_y(x) = f(x + iy) 함수가 L에² 있고 f는_y y → 0으로 F에² 경향이 있다.이 경우 F는 반드시 고유하며 Cauchy의 적분 공식에 의해 주어진다.

F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{-\int _{-\infit }{f(s) \over s-z}\,ds.

실제로 푸리에² 변환을 통해 H를² L²(0,62)로 식별하면 L(0,62)에서 e를^−yt e로 하여 y > 0 곱하기 때문에 H에서² 수축 세미그룹 V를_y 유도한다.따라서 L에서² f의 경우

{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\widehat {g_{z}}}(s)\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(s)g_{z}(s)\,ds=V_{y}Pf(x).

F가 H에² 있는 경우², L 함수 g의_z 계열은 z에 홀로모형으로 의존하기 때문에 F(z)는 Im z > 0에 대해 홀로모픽이다.더욱이, f_y = Vf는_y Fourier 변환에 대해 사실이기 때문에² H에서 f를 하는 경향이 있다.반대로 그러한 F가 존재한다면, Cauchy의 적분 정리 및 f에_y 적용된 위의 정체성에 의해.

f_{y+t}=V_{t}Pf_{y}}}

t > 0. t를 0으로 하는 경향이 있게 하면, Pf_y = f를_y 따라서 f가_y² H에 놓여지게 된다. 그러나 한계값 F도 그렇다.이후

V_{t}f_{y}=f_{y+t}=V_{y}f_{t}}}

에서 F의 고유성이 따르다.

f_{t}=\lim _{y\to 0}f_{y+t}=\lim _{y\to 0}V_{t}f_{y}=V_{t}f.

L에서² f의 경우 잘린 Hilbert 변환은 다음과 같이 정의된다.

{\reasoned}H_{\varepsilon ,R}f(x)&={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq  y-x \leq R}{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq  y \leq R}{f(x-y) \over y}\,dy\\H_{\barepsilon }f(x)&={1 \over \pi }\int _{y-x(y) \{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{y \geq \varepsilon },dy},dy.\end{정렬}}

연산자 H는_ε,R 콤팩트 서포트의 한정된 기능에 의해 경련을 일으키므로, 연산자 규범은 그들의 푸리에 변환의 균일한 규범에 의해 주어진다.절대값이 형태를 갖기 전과 같이

{1\over {\sqrt {2\pi }}\왼쪽 \int_{a}^{b}{2\sin t \over t}\,dt\오른쪽 .

0 < a < b를 사용하므로, 연산자_ε,R H는 연산자 표준으로 균일하게 경계한다.Hf는_ε,R 소형 지지대로 f에 대해 L에서² Hf를_ε 경향이 있고, 따라서 임의 f에 대해서도 연산자_ε H는 균일하게 연산자 규범에 경계한다.

f이_ε 0이 되기 때문에 Hf가 Hf 경향이 있다는 것을 증명하기 위해, 밀집된 기능 집합에서 이것을 확인하는 것으로 충분하다.다른 한편으로는

{\overline {H_{\varepsilon }f}=-H_{\varepsilon }{\overline {f}),

따라서 Hf가_ε² H(R)의 조밀한 기능 집합에 대해 예를 들어 (0,920)에서 콤팩트한 지지로 부드러운 기능 g의 푸리에 변환을 하는 경우 그러한 경향이 있음을 증명하기에 충분하다.그러나 푸리에 변환 f는 임(z) ≥ 0으로 경계된 C의 전체 함수 F까지 확장된다.g의 파생상품도 마찬가지다.스칼라까지 이것들은 z의 힘으로 F(z)를 곱하는 것과 일치한다.따라서 F는 임(z) ≥ 0에 대한 Payley-Wiener 추정치를 만족한다.^[10]

F^{(m)}(z) \leq K_{N,m}(1+z )^{-N}

모든 m에 대해 N ≥ 0.특히 적분 정의 Hf_ε(x)는 x를 중심으로 한 표준 반원형 윤곽선을 취함으로써 계산할 수 있다.반지름 R을 가진 큰 반원과 실제 축의 두 부분을 사이에 두고 작은 원 반지름 ε으로 구성된다.코치의 정리로는 등고선의 적분 라운드가 0이다.Paley-Wiener 추정치에 따르면 큰 윤곽선 주위는 0이 되는 경향이 있다.실제 축의 적분은 추구하는 한계다.따라서 그것은 작은 반원형 등고선의 한계를 뺀 값으로 주어진다.그러나 이 정도가 한계다.

{1 \over \pi }\int _{\Gamma }{F(z) \over z-x}\,dz.

여기서 γ은 반원형의 작은 등고선이며 반시계방향이다.일반적인 등고선 통합 기법에 따르면 이 한계는 if(x)와 같다.^[11]이 경우, L에서² 컨버전스가 지배하고 있음을 쉽게 확인할 수 있다.

H_{\varepsilon }f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{ y-x \geq \varepsilon }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\,dy={\frac {1}{\pi }}\int _{ y-x \geq \varepsilon }\int _{0}^{1}f^{\prime }(x+t(y-x))\,dt\,dy

융합이 지배되도록

G(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{1}\int _{-\infit }^{\infit }f^{\premium }{{\premium }(x+ty) \,dy

Paley-Wiener 추정치에 따르면 L에² 있다.

그것은² L(R)에 대한 f에 대한 다음이다.

H_{\displaystyle H_{\barepsilon }f\rightarrow Hf.}

이는 푸리에 변환에 통과한 후 H와_ε H가 균일하게 경계된 함수에 의해 곱셈 연산자가 되기 때문에 직접 추론할 수도 있다.H에_ε 대한 승수는 거의 모든 곳에서 점근법으로 H에 대한 승수 쪽으로 기울기 때문에, 위의 진술은 푸리에 변환에 적용된 지배적인 수렴 정리에서 따른다.

원의 힐버트 변환에 대해서는, hf가_ε L² 함수라면 거의 모든 곳에서 Hf pointwise 경향이 있다.실제로² L 함수에 대한 포아송 연산자를 정의하려면

T_{y}f(x)=\int _{-\infit }^{\p_{y}(x-t)f(t)\,dt,

포아송 커널이 주어지는 곳

P_{y}(x)={\frac {y}{\pi(x^{2}+y^{2}}}}}.

y > 0의 경우그것의 푸리에 변환은

{\widehat {P_{y}}}(t)=e^{-y t}

여기서 y가 0으로 증가함에 따라 Tf가_y L에서² f를 나타내는 경향이 있음을 쉽게 알 수 있다.더구나 르베그에서 증명했듯이 tf는_y 또한 f의 각 르베그 지점에서 f를 가리키는 경향이 있다.한편, THF_y – Hf는_y 각 F의 Lebesg 지점들에서 0을 나타내는 경향이 있는 것으로도 알려져 있다.따라서 Hf는_ε F와 Hf의 공통적인 Lebesgue 지점들, 따라서 거의 모든 곳에서 f를 가리키는 경향이 있다.^[12]^[13]Tf_y - f 및 THf_y – Hf_y 함수의 절대값은 f의 최대 함수의 배수로 점으로 경계할 수 있다.^[14]

원의 힐버트 변환에 대해서는, HT_ε - H는_ε 함수에 의한 콘볼루션 연산자이기 때문에, H가 경계된 것으로 알려지면 H의_ε 운용자 규범의 균일한 경계선은 T의_ε 그것으로부터 따른다.

g_{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}& x \leq \varepsilon \\{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}-{\frac {1}{\pi x}}& x >\varepsilon \end{cases}}

이들 기능의 L규범들은¹ 균일하게 경계되어 있다.

복잡한 평면에서 리에즈 변환

복합 평면에서 복합 리에즈 변환 R과 R*는 z/z에 의한 곱셈으로 정의되는 L²(C) 상의 단일 연산자 및 L 함수의² Fourier 변환에 대한 결합이다.

{\displaystyle{\widehat{Rf}}(z)={\overline{z}\{\widehat{f}}}\,\,\,\\\\\\widehat {R^{**f}}={z \over z}{\widehat{f}}.}

R², R, R*로 C를 식별하는 방법은 다음과 같다.

R=-iR_{1}+R_{2},\,\,\,R^{*}=-iR_{1}-R_{2},

여기서 R과₁ R은₂ 아래에 정의된 R에² 대한 Riesz 변환이다.

L²(C)에서는 연산자 R과 그 정수 능력이 단일하다.단일한 적분 연산자로도 표현할 수 있다.^[15]

{R^{k}f(w)=\lim _{\barepsilon \to 0}\int _{z-w \varepsilon }}{{k_{w-z)f(z)\,dx\,dy,}}}}}}}

어디에

M_{k}(z)={k \over 2\pi i^{k}{z^{k}}\over z ^{k+2}}\,\,\,\,\,\,\,\,M_{-k}(z)={\overline {M_{k}(z)}.

잘린 상위 Riesz 변환을 다음으로 정의

{R_{\varepsilon }^{(k)f(w)=\int_{z-w \varepsilon }M_{k}(z)\,dx\,dy,}}}

이러한 연산자는 연산자 규범에서 균일하게 경계된 것으로 보일 수 있다.홀수 파워의 경우 이것은 아래에 설명한 칼데론 및 지그문트의 회전 방법으로 추론할 수 있다.^[16]측정 시스템이 측정 시스템 규범에 따라 경계된 것으로 알려진 경우, 포아송 측정 시스템을 사용하여 추론할 수도 있다.^[17]

R의² 포아송 연산자 T는_s s > 0 by에 대해 정의된다.

{T_{s}f(x)={1 \over 2\pi }\int _{\mathbf {R}^{2}}{sf(x) \over (x-t ^{2}+s^{2})^{3/2}}\,dt.}

그것들은 기능과의 콘볼루션에 의해 주어진다.

{P_{s}(x)={s \over 2\pi(x^{2}+s^{2})^{3/2}.}

P는_s 함수 e의^{− s x} 푸리에 변환이므로 푸리에 변환에서는 이러한 함수에 의한 곱셈에 대응하고 L²(R²)에 수축 세미그룹을 형성한다.P는_y 양성이며 적분 1과 통합이 가능하기 때문에, 사업자 T는_s 또한 1 로 L 공간마다 수축^p 세미그룹을 정의한다.

포아송 커널의 높은 리에즈 변환은 다음과 같이 계산할 수 있다.

{R^{k}P_{s}(z)={k \over 2\pi i^{k}{z^{k}} \over (z^{2}+s^{2})^{k/2}}:}

k ≥ 1의 경우 및 - k의 경우 복합 결합.실제로 오른손은 세 변수의 조화 함수 F(x,y,s)이며, 그러한 기능을 위한 것이다^[18].

{T_{s_{1}F(x,y,s_{2})=F(x,y,s,s_{1}+s_{2}).}

운영자 이전과 같이

{T_{\varepsilon }R^{k}-R_{\varepsilon }^{(k)}}}}}

통합 가능한 기능을 가진 콘볼루션에 의해 주어지고 균일하게 경계된 운영자 규범을 가진다.Riesz 변환은 L²(C)에서 단일하므로 잘린 Riesz 변환의 균일한 경계는 해당 Riesz 변환에 대한 강한 연산자 위상에 수렴한다는 것을 의미한다.

변환과 잘린 변환의 차이에 대한 균일한 경계는 칼데론-지그문트 회전 방법을 사용하는 홀수 k에서도 볼 수 있다.^[19]^[20]그룹 T는 C의 기능에서 다음을 통해 회전한다.

{U_{\theta }f(z)=f(e^{i\theta }z).}

이것은 L²(C)과 R이_θ 푸리에 변환과 함께 통근하는 유니터리 운영자에 대한 단일 대표성을 정의한다.A가 L²(R)의 경계 연산자인 경우, 단순히 A가 첫 번째 좌표에 작용하도록 함으로써 L²(C)에 경계 연산자 A를⁽¹⁾ 정의한다.식별 L²(R²) = L²(R) ⊗ L²(R), A⁽¹⁾ = A i I. 만약 φ이 원의 연속 함수라면, 새로운 연산자는 다음과 같이 정의될 수 있다.

{B={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\teta )U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta.}

이 정의는 다음과 같은 의미로 이해된다.

{(Bf,g)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\ta )(U_{\teta }}A^{(1)}U_{\theta }^{*}f,g)\,d\d\theta }}}

모든 f에 대해, L(C²)의 g.그 뒤를 잇는다.

\displaystyle \\\leq {1\over 2\pi }\int _{0}^{2\pi } \varphi (\teta ) \cdot \ A\\\d\theta.}}

A를 L²(R)의 Hilbert 변환 H 또는 그 잘림_ε H로 간주하면 다음과 같다.

{\reasoned}R&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{}H^{(1)}U_{\\theta }^{*}\,d\theta ,\\R_{\\barepsilon }&={1\over 2\pi }\int _{0}^{0}^{0\i\pi }e^{-i\ta }H_{}\varepsilon{{{(1)}}}}}}}}}}}}U_{\theta }^{*}\,d\\theta .\ended}}

보조를 맞추는 것은 R*와 그것의 잘림에도 비슷한 공식을 준다.이것은 R, R* 및 그 줄기의 규범을 추정하는 두 번째 방법을 제공한다.L공간에도^p 적용 가능하다는 장점이 있다.

포아송 연산자는 또한 함수의 잘린 상위 리에즈 변환이 함수와 변환의 공통 르베그 점에서 더 높은 리에즈 변환에 경향이 있다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다.실제로 (RT^k_ε - R^(k)_ε)f → f의 각 Lebesg 지점에서는 0, rf의^k 각 Lebesg 지점에서는 (R^k - RT^k_ε)f → 0.^[21]

복합 평면에서의 버링 변환

이후

{{\overline{z}\overz=\leftline{\z}}\overz}\overz}\overz_\right)^{2},

L의² Burling 변환 T는 R과 동일한 단일² 연산자다.이러한 관계는 베쿠아(1962년)와 알푸르(1966)에서 고전적으로 사용되어 L공간에^p T의 연속성 특성을 확립해 왔다.Riesz 변환과 그 힘에 대한 결과는 T가 잘린 연산자의 강력한 연산자 토폴로지의 한계임을 보여준다.

T_{\varepsilon }f(w)=-{\frac {1}{\pi }\iint _{z-w \geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{{w-z)^{2}}dxdy.

따라서 Tf는 Cauchy principal value integrated로 작성할 수 있다.

Tf(w)=-{\frac {1}{\pi }P.V.\iint {\frac {f(z)}{{(w-z)^{2}}dxdy=-{\frac {1}{\pi }\lim_{\barepsilon \{\barepsilon \}}}{z-w \w \geq \varepsilon}{{frac {f(z)^{}dx,dy,\}},\dy.

Fourier 변환에 대한 T와 T*의 설명으로부터, f가 콤팩트한 서포트(smooth)의 매끄러운 경우에 따른다.

{\reasoned}T(\partial _{z}f)&=\partial _{z}T(f),\\t(\partial _{z}f)&=\partial _{z}T(f).\end{정렬}}

힐버트 변환과 마찬가지로 한 차원에서도 버링 변환은 좌표의 순응적 변경과 호환성이 있다.Ω을 부드러운 경계 Ω으로 C의 경계 영역으로 하고, Ω으로 원의 부드러운 차이점 Ω으로 확장되는 단위 디스크 D의 Ω에 대한 단발성 홀로모르픽 지도로 한다.χ이_Ω Ω의 특성 함수인 경우, χTχ은_Ω_Ω L²(Ω)에 연산자 T(Ω)를 정의할 수 있다.정합 지도 φ을 통해 L²(D)에 T(Ω)로 표기된 연산자를 유도하여 T(D)와 비교할 수 있다.절삭_ε T(Ω)와_ε T(D)도 마찬가지다.

U를_ε 디스크 z - w < ε과 V로^ε 하고, 영역 φ(z) - φ(w) < ε. L²(D)에서

{\reasoned}T_{\varepsilon }(\Omega )f(w)&=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}\left[{\varphi ^{\prime }(w)\varphi ^{\prime }(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}f(z)\right]dx\,dy,\\T_{\varepsilon }(D)f(w)&=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash U_{\varepsilon }}{f(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy,\end{aligned}}

그리고 이러한 잘린 운영자의 운영자 규범은 균일하게 경계된다.반면에, 만약

T_{\barepsilon }^{\premy }(D)f(w)=-{1 \over \pi }\iint_{D\barecslash V_{\barecslon }}}{\frac {f(z){2}}dx\dy,dy,dy,

다음, 이 연산자와_ε T(Ω)의 차이는 부드러운 커널 K(w,z)를 가진 잘린 연산자다.

K(w,z)=-{1 \over \pi }\왼쪽[{\varphi '(w)\varphi '(z)\over (w)^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}\오른쪽].

따라서 운영자 T′(_εD)도 균일하게 경계된 운영자 규범을 가져야 한다.강한 측정 시스템 토폴로지에서 차이가 0을 나타내는 경향이 있는지 확인하기 위해 D에서 콤팩트한 지지의 매끄러운지 여부를 점검하는 것으로 충분하다.그린의 정리로는^[22]

\left(T_{\varepsilon }(D)-T_{\varepsilon }^{\prime }(D)\right)f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{U_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy-{1 \over \pi }\iint _{V_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy+{1 \over 2\pi i}\int _{\partial U_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-w}}d{\overline {z}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial V_{\barepsilon }}{f(z) \over z-w}\,d{\overline {z}}.

오른쪽에 있는 네 개의 항은 모두 0이 되는 경향이 있다.따라서 차이 T(Ω) - T(D)는 커널 K를 가진 Hilbert-Schmidt 연산자다.

지점간 정합화의 경우, 잘린 통합들이 거의 모든 곳에 있는 그것의 르베그 지점에서 정확하게 Tf에 수렴한다는 것을 보여주는 Mateu & Verdera(2006) 때문에 간단한 논쟁이 있다.^[23]사실 T는 f, g ∈ L²(C)에 대한 다음과 같은 대칭 특성을 가지고 있다.

\iint=-{1\over \pi }\\lim \int_{z-w \varepsilon }{\frac {f(w)g(z)}{{2}}=\iint f(Tg).

한편, 중심 z와 반지름 ε을 가진 디스크 D(z, ))의 특징적인 기능이라면,

T\chi(w)=-\var렙실론 ^{2}{\frac {1-\chi(w)}{{(w-z)^{2}}.

그러므로

T_{D(z)}(z)={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint f(Tf\chi )={1 \over \pi \varepsilon ^{2}\iint(Tf)\chi =\mathbf {Av}_{D(z,\varepsilon},tf)},tf)},tf,tf,tf},tf)\tf,tf.

르베그 분화 정리에 의해 tf의 르베그 포인트에서 오른손 쪽이 tf로 수렴한다.

Riesz가 더 높은 차원으로 변환

R의ⁿ 슈워츠 공간에서 f에 대해, jth Riesz 변환은 다음과 같이 정의된다.

R_{j}f(x)=c_{n}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{ y \geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over  y ^{n+1}}dy={\frac {c_{n}}{n-1}}\int \partial _{j}f(x-y){1 \over  y ^{n-1}}dy,

어디에

c_{n}=\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\오른쪽)\pi^{-{-{\frac{n+1}{2}}.

푸리에 변환에서:

{\widehat {R_{j}f}(t)={it_{j} \over t{\widehat{f}(t).

따라서 R은_j 연산자 _jΔ에^−1/2 해당하며 여기서 Δ = ₁²- - - - -∂ -∂_n²은 R에ⁿ 있는 라플라시안을 나타낸다.정의에 따르면 R은_j L² 표준에 대한 경계 및 스큐-수정 연산자다.

R_{1}^{2}+\cdots +R_{n}^{2}=-I.

해당하는 잘린 연산자

R_{j,\varepsilon }f(x)=c_{n}\int _{y \i \geq \varepsilon }f(x-y){j} \over y ^{n+1}dy

운영자 규범에 균일하게 경계되어 있다.이는 직접적으로 증명될 수 있거나 그룹 SO(n)의 회전의 칼데론-지그문트 방법에 의해 확립될 수 있다.^[24]이것은 운영자 R과_j 그 줄기를 힐버트 변환의 관점에서 한 차원 및 그 줄기로 표현한다.실제로 G = 일반화된 하르 측정값의 SO⁽¹⁾(n)이고 H가 첫 번째 좌표에서 힐버트 변환인 경우,

{\reasoned}R_{j}&=\int _{G}\varphi (g)gH^{{(1)g^{-1}\,dg,\R_{j,\varepsilon }&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\barepsilon }^{(1)g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon ,R}&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon ,R}^{(1)g^{-1}\,dg.\end{정렬}}

여기서 φ(g)는 g의 (1,j) 행렬 계수다.

특히 f ∈ L², rf_j,ε → rf_j in L². 더욱이 rf는_j,ε 거의 모든 곳에서 r을_j 하는 경향이 있다.이는 R이ⁿ R에서ⁿ⁺¹ 반공간의 경계로 간주될 때 L²(Rⁿ)에 정의된 포아송 연산자를 사용하여 힐버트 변환에 대해 정확히 증명할 수 있다.또는 R에 대한 힐버트 변환의 결과로부터 G에 대한 적분으로 R의_j 표현을 사용하여 직접 증명할 수 있다.^[25]^[26]

R의ⁿ 포아송 연산자 T는_y y > 0에 대해 다음과 같이^[27] 정의된다.

T_{y}f(x)=c_{n}\int _{\mathbf{R}^{n}}{n}}{n}}{\frac {yf(x)}{\좌측(x-t ^{2}+y^{2}\오른쪽)^{\frac{n+1}{2}}dt.

그것들은 기능과의 콘볼루션에 의해 주어진다.

P_{y}=c_{n}{\frac {y}{\좌(x^{2}+y^{2}\우)^{\frac {n+1}{2}}}}.

P는_y 함수 e의^{−y x} 푸리에 변환이므로 푸리에 변환에서는 이러한 함수에 의한 곱셈에 대응하고 L²(Rⁿ)에 수축 세미그룹을 형성한다.P는_y 양성이며 적분 1과 통합이 가능하기 때문에, 사업자 T는_y 또한 1 로 L 공간마다 수축^p 세미그룹을 정의한다.

포아송 커널의 Riesz 변환은 계산할 수 있다.

R_{j}P_{\varepsilon }(x)=c_{n}{n}{\frac {x_{j}}}{\prec(x ^{2}+\varepsilon ^{2}\right)^{\frac{n+1}{2}}}}}}}}}}.

연산자 RT는_j_ε 이 기능을 가진 콘볼루션에 의해 주어진다.연산자 RT_j_ε - R은_j,ε L¹ 규범으로 균일하게 경계된 함수를 가진 콘볼루션에 의해 주어지는 것을 직접 확인할 수 있다.따라서 차이의 연산자 규범은 균일하게 경계된다.F의_j 각 Lebesg_j,ε 지점에는 (RT - R)f → 0이 있고, Rf의 각 Lebesg 지점에는 (R_j_ε_j_j_ε - R)f → 0이 있다.그래서 Rf_j,ε → F와 Rf의_j 공통 레베게 포인트에 대한 Rf_j.

L^p 이론

M. 리에즈 정리 기본 증빙

마르셀 리에스의 정리는 $L 2$ 규범에 대해 연속적인 단일한 적분 연산자 역시 $L$ 규범에서 1 << $\infty>$ 에 대해 $연속적$ 이며^p, 연산자 규범도 $p$ 에 따라 연속적으로 변화한다고 주장한다.

서클에서^[28] 힐버트의 변신에 대한 보치너의 증거

$일단 p$ L $(T)$ 에 대한 힐버트 변환의 운용자 규범이 짝수 정수에 대한 경계로 설정되면, 리츠-에서 따르게 된다.토린 보간 정리 및 이중성은 $1$ $ 로 모든 $p$ 에 대해 경계되며 $규범$ 은 p에 따라 지속적으로 변화한다는 것이다.더욱이, 포아송 적분을 $가진 ε$ 인수는 잘린 힐버트 변환 H가 연산자 규범에서 균일하게 경계되고 강력한 연산자 위상에 $H$ 로 수렴된다는 것을 보여주기 위해 적용될 수 있다.

상수 항 없이 실제 삼각 다항식의 경계를 입증하기에 충분하다.

f\lift(e^{i\theta }\}\right)=\sum _{m=1}a_{n}e^{im\a}+a_{-m}e^{-m}}{-im\qquad a}={\overline {a_{m}}}}}}.

f + iHf는 일정한 항이 없는 $e$ 의^iθ 다항식이기 때문에

{\frac {1}{2\pi }\int _{0}^{2\pi }(f+iHf)^{2n}\,d\theta =0.

따라서 실제 부분을 취해서 홀더의 불평등을 이용하는 것은 다음과 같다.

\ Hf\ _{2n}^{2n}\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\left \left((Hf)^{2k},f^{2n-2k}\right)\right \leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\ Hf\ _{2n}^{2k}\cdot \ f\ _{2n}^{2n-2k}.

그래서 M.리에즈 정리는 p의 $짝수$ 정수를 유도하여 $1$ < p < $\infty$ 을 $가진$ 모든 p에 대하여 유도에 따른다.

힐버트^[29] 변환을 위한 코틀라의 증거

일단 $p$ 가 2의 힘일 때 $L p (R)$ 에 대한 힐버트 변환의 운용자 규범이 경계된다는 것이 확립되면, 리에즈-에서 따르게 된다.토린 보간 정리 및 이중성은 $1$ $ 로 모든 $p$ 에 대해 경계되며 $규범$ 은 p에 따라 지속적으로 변화한다는 것이다.더욱이, 포아송 적분을 $가진 ε$ 인수는 잘린 힐버트 변환 H가 연산자 규범에서 균일하게 경계되고 강력한 연산자 위상에 $H$ 로 수렴된다는 것을 보여주기 위해 적용될 수 있다.

f가 슈워츠 함수일 때 바운드를 입증하기에 충분하다.이 경우 코틀라의 다음과 같은 정체성이 유지된다.

(Hf)^{2}=f^{2}+2H(fH(f))

실제로 h의± $i$ 에겐스페이스에 따라 f = f₊ + f를₋ 쓴다. f ± iHf는 상·하부 평면의 홀로모르픽 함수로 확장되기 때문에, 그들의 사각형도 마찬가지다.그러므로

f^{2}-(Hf)^{2}=\left(f_{+}+f_{-}\right)^{2}+\left(f_{+}-f_{-}\right)^{2}=2\left(f_{+}^{2}+f_{-}^{2}\right)=-2iH\left(f_{+}^{2}-f_{-}^{2}\right)=-2H(f(Hf)).

(코틀라의 정체성도 푸리에 변환을 취함으로써 직접 검증할 수 있다.)

따라서 M을 가정해 보자. $p$ = $2$ 에ⁿ 대한 리에즈 정리,

\ Hf\ _{2^{n+1}}^{2}=\left\ (Hf)^{2}\right\ _{2^{n}}\leq \left\ f^{2}\right\ _{2^{n}}+2\ H(fH(f))\ _{2^{n}}\leq \ f\ _{2^{n+1}}^{2}+2\ H\ _{2^{n}}\ f\ _{2^{n+1}}\ Hf\ _{2^{n+1}}.

이후

R^{2}}1+2\ H\ _{2^{n}R

충분히 큰 $R$ 의 경우, M. $리에즈$ 정리도 p = $2$ 를ⁿ⁺¹ 유지해야 한다.

정확히 같은 방법이 원의 힐버트 변환에도 효과가 있다.^[30]코틀라의 동일한 정체성은 삼각 다항식 f에서 비음수 및 음수 지수( $H$ 의± $i$ 고유 기능)를 가진 항들의 합으로 기록함으로써 쉽게 검증된다. $따라서 p$ L 한계는 $p$ 가 2의 검정력일 때 설정될 수 있고 보간과 이중성에 의해 일반적으로 따를 수 있다.

칼데론-지그문트 회전법

Riesz 변환의 회전방법과 그 $줄기$ 는 1 $ $동안 p$ L공간에 동일하게 잘 적용된다.따라서 이러한 연산자는 $R$ 과 그 줄기에 대한 힐버트 변환의 관점에서 표현될 수 있다.그룹 $T$ 또는 $SO(n)$ 에서 $L$ 의^p 연산자 공간으로 $φ$ 함수 φ의 통합은 약한 의미로 받아들여진다.

\left(\int_{G}\Phi(x)\,dx\,f,g\right)=\int_{G}(\Phi(x)f,g)\,dx

어디 fLp에서 g는 이중 공간 Lq에.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parse로 하고 있습니다.R-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/p+1/q.리에즈 변환은 $L$ 에^p 경계를 두고 있으며, 그 줄임과의 차이도 균일하게 경계를 이루고 있다.고정된 리에즈 $변환$ 의^p L 규범의 연속성은 리에즈–의 결과물이다.토린 보간 정리.

포인트와이즈 수렴

힐베르트와 리에즈 변환을 위한 포인트와이즈 융합에 대한 증명은 하디-리틀우드 최대 함수를 사용하여 증명할 수 있는 르베그 분화 정리에 의존한다.^[31]가장 단순하고 가장 잘 알려진 사례, 즉 원에 있는 힐버트 변환의 기술은 다른 모든 변환의 원형이다.이 사건은 여기에 자세히 설명되어 있다.

p > 1을 위해 f를 L^p(T)에 넣는다.르베그 분화 정리에는 다음과 같이 명시되어 있다.

{A(\varepsilon )={1 \over 2\varepsilon }\int_{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(x) \dt\to 0}

T의 거의 모든 x에 대해.^[32]^[33]^[34]이것이 잡는 지점을 f의 르베그 포인트라고 한다.이 정리를 이용하여 만약 f가 원의 통합 가능한 함수라면, 포아송 적분 Tf는_r f의 각 Lebesgue 지점에서 f를 가리키는 경향이 있다.사실, x 고정의 경우, A(ε)는 $[0, 10]$ 의 연속함수다.x가 르베그 지점이기 때문에 0에서의 연속성이 뒤따른다. 왜냐하면, 만약 h가 통합 가능한 함수라면, 길이 감소 간격에 대한 h의 적분은 Hölder의 불평등에 의해 0이 되는 경향이 있기 때문이다.

r = 1 - ε을 두 가지 통합으로 추정할 수 있다.

2\pi T_{r}f(x)-f(x) =\int _{0}^{2\pi }(f(x-y)-f(x))P_{r}(y) \,dy\leq \int _{ y \leq \varepsilon }+\int _{ y \geq \varepsilon }}

포아송 커널에는 ε small에 대한 두 가지 중요한 속성이 있다.

{\begin{aigned}\sup _{y\in[-\barepsilon ,\varepsilon ]}P_{1-\barepsilon }(y) &\leq \barepsilon ^{-1}.\\sup _{y\notin (-\bar렙실론 ,\bar렙실론 )}P_{1-\bar렙실론 }(y) &\to 0.\end{정렬}}

첫 번째 적분은 첫 번째 불평등에 의해 A(1993)에 의해 경계되므로 ε이 0으로 갈 때 0이 되는 경향이 있고, 두 번째 적분은 두 번째 불평등에 의해 0이 되는 경향이 있다.

동일한 추론을_{1 − ε} 사용하여 THF_ε – Hf가 각 F의 Lebesg 지점들에서 0이 되는 경향이 있음을 보여줄 수 있다.^[35]사실 연산자 TF는_{1 − ε} 커널 Q_r + i를 가지고 있는데 여기서 공자 포아송 커널 Q는_r 다음과 같이 정의된다.

{Q_{r}(\theta )={2r\sin \theta \over 1-2r\coses \theta +r^{2}.}

그러므로

{2\pi  T_{1-\varepsilon }Hf(x)-H_{\varepsilon }f(x) \leq \int _{ y \leq \varepsilon } f(x-y)-f(x) \cdot  Q_{r}(y) \,dy+\int _{ y \geq \varepsilon } f(x-y)-f(x) \cdot  Q_{1}(y)-Q_{r}(y) \,dy.}

공자 포아송 커널에는 ε small에 대한 두 가지 중요한 속성이 있다.

{\begin{aigned}\sup _{y\in[-\barepsilon ,\varepsilon ]}Q_{1-\barepsilon }(y) &\leq \barepsilon ^{-1}.\\supp _{y\notin(-\bar렙실론 ,\bar렙실론 )}Q_{1-Q_{1-\bar렙실론 }&\to 0.\end{정렬}}

전과 정확히 같은 추리를 보면, 두 통합이 → → 0으로 0이 되는 경향이 있다는 것을 알 수 있다.

이 두 한계 공식을 결합하면, Hf는_ε f와 Hf의 공통적인 레베게 포인트에서 Hf를 가리키는 경향이 있으며, 따라서 거의 모든 곳에 분포한다.^[36]^[37]^[38]

최대함수

L^p 이론의 대부분은 최대 함수와 최대 변환을 사용하여 개발되었다.이 접근방식은 또한 적절한 "취약"의 의미로¹ L공간에 확장되고 p > 1에 대해 L공간에^p 정제된 추정치를 제공한다는 장점이 있다.이러한 더 미세한 추정은 L 기능의² 푸리에 시리즈가 거의 모든 곳에서 수렴된다는 루신의 추측에 대한 1966년 레나르트 칼레슨의 해법에 관련된 기법의 중요한 부분을 형성한다.^[39]이 접근방식의 보다 초보적인 형태에서 L² 이론은 덜 우선시된다. 대신에 L 이론¹, 특히 측정-이론적 및 확률적 측면에 더 중점을 두고 있다. 다른 L 공간에^p 대한 결과는 L과¹ L^∞ 공간 사이의 보간 형식에 의해 추론된다.이 접근법은 고전인 지그문트(1977년)와 캣즈넬슨(1968년)을 포함한 수많은 교과서에 기술되어 있다.위의¹ 개발에서 다루지 않은 L(T)에서의 기능의 힐버트 변환의 특별한 경우에 대해서는 캣즈넬슨의 계정이 여기에서 따르게 된다.F . 하디가 원래 제정한 리에스의 볼록한 증명은 리에즈-에 의지하지 않고 직접 성립한다.토린 ^[40]^[41]보간술이야

f가 원의 L¹ 함수인 경우 최대 함수는 다음과 같이^[42] 정의된다.

{f^{*}(t)=\sup _{0<h\leq \pi }{1 \over 2h}\int _{t-h}^{t+h}f(s) \,ds.}

f*는 거의 모든 곳에서 유한하며 L타입이¹ 약하다.사실 λ > 0에 대해서는

{E_{f}(\lambda )=\{x:\, f(x) >\lambda \},\,\,\,\,\,\f_{\lambda }=\chi _{E(\lambda )}f,}f,}}}}},},}},},},

그때^[43]

m(E_{f^{*}}*(\lambda )\leq {8 \over \lambda }\int_{E_{f}(\lambda )}f \ \leq {8\ f\ \ \{1} \overlambda }}}}

여기서 m은 르베그 측도를 나타낸다.

위의 하디-리틀우드 불평등은 T의 거의 모든 점 x가 통합 가능한 함수 f의 르베그 점이라는 증거로 이어진다.

\lim_{h\to 0}{\frac {\int_{x-h}^{x-h}f(x)-f(x) \,dt}{2h}\to.

사실, 그렇게 합시다.

\omega(f)(x)=\limsup _{h\to 0}{x-h}^{x-h}f(x)-f(x) \,dt}{2h}\leq f^{*(x)+ f(x) .

g가 연속형이면 Ω(g) =0이므로 Ω(f - g) = Ω(f) = Ω(f)이 된다.반면에 f는 연속 g에 의해 L에서¹ 임의로 가깝게 근사하게 추정할 수 있다.체비체프의 불평등을 이용해서

m\{x:\,\omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,(f-g)^{*}(x)>\lambda \}+m\{x:\, f(x)-g(x) >\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\ f-g\ _{1}.

오른손은 임의로 작게 만들 수 있어 거의 모든 곳에서 Ω(f) = 0이다.

L¹ 함수의 포아송 적분 f 만족^[44]

{ T_{r}f \leq f^{*}.}

그것은_r T f가 거의 모든 곳에서 점근법을 쓰는 경향이 있다는 것을 따른다.사실상 허락하다.

{\Oomega(f)=\limsup _{r\to 1) T_{r}f-f.}

g가 연속적인 경우, 그 차이는 어디에나 0이 되는 경향이 있으므로 Ω(f - g) = Ω(f)이다.반면에 f는 연속 g에 의해 L에서¹ 임의로 가깝게 근사하게 추정할 수 있다.체비체프의 불평등을 이용해서

m\{x:\,\Omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\Omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,(f-g)^{*}(x)>\lambda \}+m\{x:\, f(x)-g(x) >\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\ f-g\ _{1}.

오른손은 임의로 작게 만들 수 있어 거의 모든 곳에서 Ω(f) = 0이 되도록 한다.보다 정제된 주장은 수렴이 f의 각 르베그 지점에서 발생한다는 것을 보여준다.

f가 통합 가능한 경우, 결합 포아송 통합은 커널 Q에_r 의해 콘볼루션에 의해 정의되고 주어진다.이것은 hf inside z < 1을 정의한다.Hf가 거의 모든 각도에 대해 방사상 한계를 가지고 있다는 것을 나타내려면 다음을 고려한다.^[45]

{F(z)=\exp(-f(z)-iHf(z),}

여기서 f(z)는 포아송 적분으로 f의 확장을 나타낸다.F(z) ≤ 1을 가진 단위 원반에서 F는 홀로모픽이다. 동심원 계의 계수 가능한 계열에 대한 F의 제한은 포아송 적분 F와 함께^∞ L(T)에서 g 한계가 약한^∞ L(T)에 일련의 기능을 부여한다.L² 결과에 따르면 g는 F의 거의 모든 각도에 대한 방사상 한계값이다.Hf(z)는 거의 모든 곳에서 방사상 한계를 가지고 있다는 것을 따른다.이것은 T에 대한 Hf의 정의로 받아들여져서 TH_r f는 거의 모든 곳에서 H를 가리키는 경향이 있다.Hf 함수는 L형이¹ 약하다.^[46]

위와^p 같이 1 < p < ∞의 L 함수에 대한 점적 정합성을 증명하기 위해 사용된 불평등은 최대 함수를 호출함으로써 L 함수에¹ 이치에 맞는다.불평등이 되다.

{H_{\varepsilon }f-T_{1-\varepsilon }Hf \leq 4f^{*}.}

내버려두다

{\omega(f)=\limsup _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }f-T_{1-\varepsilon }}}}}}{\varepsilon }}}}}}}}

g가 평활하면 그 차이는 어디에나 0이 되는 경향이 있으므로 Ω(f - g) = Ω(f)이다.반면에 f는 부드러운 g에 의해 L에서¹ 임의로 가깝게 근사하게 추정할 수 있다.그러면

m\{x:\,\omega (f)(x)>\lambda \}=m\{x:\,\omega (f-g)(x)>\lambda \}\leq m\{x:\,4(f-g)^{*}(x)>\lambda \}\leq C\lambda ^{-1}\ f-g\ _{1}.

오른손은 임의로 작게 만들 수 있어 거의 모든 곳에서 Ω(f) = 0이다.따라서 f의 차이는 거의 모든 곳에서 영(0)이 되는 경향이 있다.L의^p 경우와 마찬가지로 f의 모든 르베그 포인트에서 차이가 0이 되는 경향이 있다는 것을 보여주기 위해 좀 더 정밀한 논증을 제시할^[47] 수 있다.공자 포아송 적분 결과와 결합하여 f가¹ L(T)에 있으면 Hf는_ε 거의 모든 곳에서 Hf로 수렴하는데, 이는 1919년 프리바로프에 의해 원래 증명된 정리다.

일반론

칼데론&자이그문트(1952)는 콘볼루션 유형의 단일한 통합 연산자를 연구하기 위한 일반적인 기법을 소개했다.푸리에 변환에서 연산자는 곱셈 연산자에 의해 주어진다.이는 해당 곱셈 함수가 경계된 경우 L에² 경계 연산자를 산출한다.Calderon과 Zygmund는 L^p 공간의 경계성을 증명하기 위해 F의 떠오르는 태양 보조정리기를 일반화하면서 L 기능을¹ 분해하는 방법을 도입했다. 리에즈. 이 방법은 운용자가 L에서¹ 약한 L의¹ 함수 공간까지 연속 연산자를 정의했다는 것을 보여주었다.Marcinkiewicz 보간 정리 및 이중성은 단일한 적분 연산자가 1 동안 모든 L에^p 경계되어 있음을 암시한다. 이 이론의 간단한 버전은 R의 연산자에 대해 아래에 기술되어 있다.de Lew (1965)에서 알 수 있듯이, R에 대한 결과는 정수로 승수를 제한하거나 연산자의 커널을 균등하게 기간화하여 T에 대한 해당 결과에서 추론할 수 있다.원의 그에 상응하는 결과는 원래 1939년에 Marcinkiewicz에 의해 확립되었다.이러한 결과는 R과ⁿ T로ⁿ 일반화된다.그들은 Riesz 변환, Riesz 변환, 특히 Beurling 변환이 L공간에^p 경계 연산자를 정의한다는 것을 보여주는 대체 방법을 제공한다.^[48]

칼데론-지그문트 분해

[a,b]에서 f를 음성이 아닌 통합 또는 연속적인 함수가 되게 한다.Let I = (a,b)[a,b]의 개방형 하위 절연 J에 대해서는 f가_J J보다 f의 평균을 나타내도록 한다. α는 f보다_I 큰 양의 상수가 되도록 한다.I를 두 개의 동일한 간격으로 나누십시오(중간점 포함).이들 간격 중 하나는 합계가 2f이므로_I 2α 미만이기 때문에 f_J < α를 만족해야 한다.그렇지 않으면 그 간격이 α α f_J f < 2α를 만족시킬 것이다.이러한 간격을 버리고 나머지 구간과 같은 기준을 사용하여 구간을 삭제하는 반감 프로세스를 반복하십시오.이것은 무한정 계속될 수 있다.폐기된 간격은 분리되며, 이들의 결합은 오픈 세트 Ω이다.보어의 x 점의 경우, 길이가 0으로 감소하고 각 점의 평균 f가 α로 경계되는 내포된 구간 집합에 놓여 있다.만약 f가 연속이라면, 이 평균들은 f(x)에 경향이 있다. 만약 f가 통합될 수만 있다면, 이것은 거의 모든 곳에서만 적용된다. 왜냐하면 그것은 르베그 분화 정리에 의한 f의 Lebesgue 지점들에서는 사실이기 때문이다.따라서 f(x) α는 Ω의 보완체인 Ω의^c 거의 모든 곳에서 만족한다.J를_n 버려진 간격의 집합으로 하고 "good" 함수 g를 다음에 의해 정의한다.

{g(x)=\chi _{J_{n}\,\,\,\(x\in J_{n}),\,\,\,g(x)=f(x)\,\,\,(x\in \Oomega ^{c}).}

시공 g(x) ≤ 2α에 의해 거의 모든 곳에서

{\g\ _{1}\leq \ f\ _{1}.}

이 두 불평등을 결합하면

{\g\ _{p}^{p}\leq (2\req )^{p-1}\f\ _{1}.}

b = f - g로 "나쁜" 함수를 정의한다.따라서 b는 0 Ω에서 벗어나며, f_n - 그 평균을 J에서 뺀 값이다. 따라서 J에서_n b의 평균은 0이고,

{\b\ _{1}\leq 2\ f\ _{1}.}

더욱이, Ω에서 b α α이기 때문에

{m(\Oomega )\leq \alpha ^{-1}\ f\ _{1}.}

분해

\displaystyle {f(x)=g(x)+b(x)}

칼데론-지그문트 분해라고 불린다.^[49]

승수 정리

K(x)가 다음과 같이 R\{0}에 정의된 커널이 되도록 하십시오.

W(f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{ x \geq \varepsilon }K(x)f(x)\,dx

슈워츠 함수의 강화 분포로 존재한다.T의 푸리에 변환이 경계로 되어 있어서 W에 의한 콘볼루션은 L²(R)에 경계 연산자 T를 정의한다고 가정한다.그렇다면 K가 호르만데르의 상태를 만족시킨다면.

A=\suppy _{y\neq 0}\int _{x \geq 2y }K(x-y)-K(x) \,dx<\infty ,

그 다음 T는 1 < p < ∞에 대해 L에^p 경계 연산자를 정의하고 L에서¹ 약한 타입 L의¹ 함수에 이르는 연속 연산자를 정의한다.^[50]

사실 Marcinkiewicz 보간 주장과 이중성에 의해, 만약 f가 콤팩트한 지지의 매끄러운지 그때 확인하는 것으로 충분하다.

m\{x:\, Tf(x) \geq 2\lambda \}\leq(2A+4\ T\ )\cdot \lambda ^{-1}\ f\ _{1}.

위와 같이 F의 칼데론-지그문트 분해법을 취한다.

f(x)=g(x)+b(x)

간격 J와_n α = μμ, 여기서 μ > 0.그러면

m\{x:\, Tf(x) \geq 2\lambda \}\leq m\{x:\, Tg(x) \geq \lambda \}+m\{x:\, Tb(x) \gq \lambda \}}}

g의 용어는 체비체프의 불평등을 사용하여 추정할 수 있다.

m\{x:\, Tg(x) \geq 2\lambda \}\leq \lambda ^{-2}\ Tg\ _{2}^{2}\leq \lambda ^{-2}\ T\ ^{2}\ g\ _{2}^{2}\leq 2\lambda ^{-1}\mu \ T\ ^{2}\ f\ _{1}.

J*가 J와 중심은 같지만 길이가 두 배인 구간으로 정의되는 경우, b에 대한 용어는 두 부분으로 나눌 수 있다.

m\{x:\, Tb(x) \geq \lambda \}\leq m\{x:\,x\notin \cup J_{n}^{*},\,\, Tb(x) \geq \lambda \}+m(\cup J_{n}^{n}*}}}}}}}).

두 번째 항은 쉽게 추정할 수 있다.

m(\cup J_{n}^{*})\leq \sum m(J_{n}^{*}=2\sum m(J_{n})\lambda ^{-1}\mu ^{-1}\f\{1}.

다음과 같은 첫 번째 항을 추정하려면

b=\sum b_{n},\qquad b_{n}=(f-\mathbf {Av}) _{J_{n}(f)\chi _{J_{n}}.

그러므로 체비체프의 불평등에 의해 다음과 같다.

m\{x:\,x\notin \cup J_{m}^{*},\,\,\, Tb(x) \geq \lambda \}\leq \lambda ^{-1}\int _{(\cup J_{m}^{*})^{c}} Tb(x) \,dx\leq \lambda ^{-1}\sum _{n}\int _{(J_{n}^{*})^{c}} Tb_{n}(x) \,dx.

건설에 의해 b_n over J의_n 적분은 0이다.따라서 y가_n J의_n 중간점이라면, Hörmander의 조건에 의해 다음과 같다.

\int _{(J_{n}^{*})^{c}} Tb_{n}(x) \,dx=\int _{(J_{n}^{*})^{c}}\left \int _{J_{n}}(K(x-y)-K(x-y_{n}))b_{n}(y)\,dy\right \,dx\leq \int _{J_{n}} b_{n}(y) \int _{(J_{n}^{*})^{c}} K(x-y)-K(x-y_{n}) \,dxdy\leq A\ b_{n}\ _{1}.

그러므로

\displaystyle m\left\{x:\,x\notin \cup J_{m}^{*}, Tb(x) \geq \lambda \right\}\leq \lambda \{1}A\lambda ^{-1}\f\{1}.}

세 가지 추정치를 조합하면 얻을 수 있다.

m\{x:\, Tf(x) \geq \lambda \}\leq \left(2\mu \ T\^{2}+2\mu ^{-1}+2A\right)\lambda ^{-1}\-1}\f\ _{1}.

상수는 다음 작업을 통해 최소화됨

\displaystyle \mu =\ T\ ^{-1}.}

Markinciewicz 보간 인수는 다음과 같이 1 0이 주어지면, 쓰세요.

f=f_{a}+f^{a}

여기서 f_a = f < a와 0인 경우 f, f = f^a ≥ a인 경우 f, 0인 경우 f.그 다음 체비체프의 불평등과 위의 약한 L형¹ 불평등에 의해.

m\{x:\, Tf(x) >a\}\leq m\left\{x:\, Tf_{a}(x) >{\tfrac {a}{2}}\right\}+m\left\{x:\, Tf^{a}(x) >{\tfrac {a}{2}}\right\}\leq 4a^{-2}\ T\ ^{2}\ f_{a}\ _{2}^{2}+Ca^{-1}\ f^{a}\ _{1}.

그러므로

{\displaystyle{\begin{정렬}\ Tf\ _{p}^{p}&,=p\int _{0}^{\infty}a^{p-1}m\{x:\, Tf())>a\}\,da\\&,\leq p\int _ᆵ^ᆶa^ᆷ\left(4a^{-2})T\{2}\ f_{}\_{2}^{2}+Ca^{-1}\ f^{}\_{1}\right^)da\\&, =4\ T\ ^{2}\iint f())a^{p-2}\,dx\,da\\& _{f()) \geq}f())^{2}a^{p-3}\,dx\,da+2C\iint _{f())<>;}, \leq \left(4\ T\ ^{2}(2.p)^ᆩ+C(p-1)^{)}\right)\int f ^{p}\\&=C_{p}\f\ _{p}^{p}.\end{정렬}}}

이중성별

\ Tf\ _{q}\leq C_{p}\ f\ _{q}.

규범의 연속성은 좀 더 정밀한 논거로^[52] 나타날 수도 있고, 리에즈-에서 따르게 될 수도 있다.토린 보간 정리.

메모들

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[22] Astala, Iwaniecz & Martin 2009, 페이지 93–95 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFA sstalaIwanieczMartin2009(도움말)

[23] Astala, Iwaniecz & Martin 2009, 페이지 97–98 harvnb 오류: 대상 없음: CITREFA sstalaIwanieczMartin2009(도움말)

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[67] 스타인 1970

[68] 스타인 & 와이스 1971, 페이지 257–267

[49] 토친스키 2005, 페이지 74–76, 84–85

[50] 그라파코스 2008, 페이지 290–293

[51] 호르만데르 1990, 페이지 245

[52] 토친스키 2005, 페이지 87–91 harvnb 오류: 대상 없음: CATEREFTorchinskinski 2005(도움말)

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콘볼루션 유형의 단일 적분 연산자

네임스페이스

더

목차

L² 이론

힐베르트의 원형 변형

실선에서 힐버트 변신

복잡한 평면에서 리에즈 변환

복합 평면에서의 버링 변환

Riesz가 더 높은 차원으로 변환

L^p 이론

M. 리에즈 정리 기본 증빙

서클에서^[28] 힐버트의 변신에 대한 보치너의 증거

힐버트^[29] 변환을 위한 코틀라의 증거

칼데론-지그문트 회전법

포인트와이즈 수렴

최대함수

일반론

칼데론-지그문트 분해

승수 정리

메모들

참조

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콘볼루션 유형의 단일 적분 연산자

L2 이론

힐베르트의 원형 변형

실선에서 힐버트 변신

복잡한 평면에서 리에즈 변환

복합 평면에서의 버링 변환

Riesz가 더 높은 차원으로 변환

Lp 이론

M. 리에즈 정리 기본 증빙

서클에서[28] 힐버트의 변신에 대한 보치너의 증거

힐버트[29] 변환을 위한 코틀라의 증거

칼데론-지그문트 회전법

포인트와이즈 수렴

최대함수

일반론

칼데론-지그문트 분해

승수 정리

메모들

참조

L² 이론

L^p 이론

서클에서^[28] 힐버트의 변신에 대한 보치너의 증거

힐버트^[29] 변환을 위한 코틀라의 증거