슬루츠키 방정식

경제학에서 Eugen Slutsky 방정식(또는 Slutsky identity)은 마샬리언(미보완) 수요의 변화를 히크시안(보완) 수요의 변화와 관련하는데, 이는 고정된 수준의 효용을 유지하기 위해 보상하기 때문에 이와 같이 알려져 있다.

슬루츠키 방정식에는 대체효과와 소득효과라는 두 가지 부분이 있다.

대체효과는 일반적으로 선택을 제한할 수 있어 소비자에게 부정적일 수 있다.그는 가격이 변함에 따라 소비자의 반응을 살피기 위해 이 공식을 고안했다.가격이 오르면 예산 세트가 안쪽으로 이동하기 때문에 수요량도 줄어든다.반대로 가격이 하락하면 예산 세트가 바깥쪽으로 이동하게 되고, 이는 수요량 증가로 이어진다.대체효과는 상대적 가격변동효과에 의한 반면 소득효과는 소득이 해방되는 효과에 의한 것이다.이 방정식은 가격 변동에 의한 재화 수요의 변화가 두 가지 효과의 결과라는 것을 보여준다.

• 대체 효과: 상대적으로 가격이 저렴해짐에 따라 좋은 가격의 변화가 있을 때, 가정적으로 소비자의 소비가 그대로 유지된다면, 수입은 자유로워질 것이고, 이는 각각의 상품 또는 그 이상의 조합에 사용될 수 있다.
• 소득 효과: 소비자의 구매력은 가격 하락의 결과로 증가하기 때문에, 소비자는 이제 상품 자체가 정상적인 상품인지 아니면 열등한 상품인지에 따라 더 나은 상품 또는 더 많은 동일한 상품을 구입할 수 있다.

슬루츠키 방정식은 good j의 가격 변동에 대응하여 good i에 대한 수요의 변화를 분해한다.

${\displaystyle {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w),\,}$

where ${\displaystyle h(\mathbf {p} ,u)}$ is the Hicksian demand and ${\displaystyle x(\mathbf {p} ,w)}$ is the Marshallian demand, at the vector of price levels ${\displaystyle \mathbf {p} }$, wealth level (or, alternatively, income level) ${\displaystyle w}$, and fixed utility level ${\displaystyle u}$$$효용을 원래 가격과 수입으로 최대화하여 주어지는$$$u},$ 간접 $효용함수{\displaystyle }$ v${\displaystyle (p\mathbf{}}$ ${\displaystyle ,w}$ )$${\$displaystyle v(\mathbf {p},w)}$에 의해 정식으로 주어지는 u. 방정식의 우측은 good j에 고정된 good i hold 유틸리티에 대한 수요의 변화에서 요구량을 뺀 값을 곱한 것과 같다$.$부가 바뀔 때 선에 대한 수요의 변화

오른쪽의 첫 번째 항은 대체 효과를 나타내고, 두 번째 항은 소득 효과를 나타낸다.^[1]효용성은 관측할 수 없기 때문에 대체 효과는 직접 관측할 수 없지만, 관측 가능한 슬루츠키 방정식의 다른 두 항을 참고하여 계산할 수 있다는 점에 유의한다.이 과정은 때때로 힉스가 수요 변화를 분해하는 것으로 알려져 있다.^[2]

이 방정식은 탄력성 측면에서 다시 작성할 수 있다.

${\displaystyle \epsilon _{p,ij}=\epsilon _{p,ij}^{h}-\epsilon _{w,i}b_{j}}}}}}}$

여기서 ε은_p (감산)가격탄력성, ε은_p^h 보상가격탄력성, ε은_w,i good i의 소득탄력성, b는_j good j의 예산점유율이다.

전반적으로 말하면, 슬루츠키 방정식은 수요의 총변동은 소득효과와 대체효과로 구성되며 두 가지 효과 모두 집합적으로 수요의 총변동과 같아야 한다고 말한다.

${\deltayle \Delta x_{1}=\Delta x_{1}^{1}^{s}+\Delta x_{1}^{l}}}}$

위의 방정식은 수요의 변동을 나타내기 때문에 도움이 된다.무관심 곡선이 항상 아래쪽으로 기울어져 있기 때문에 대체 효과는 항상 부정적으로 나타날 것이다.그러나 좋은 물건의 소비가 소득과 어떻게 달라지느냐에 따라 달라지기 때문에 소득효과에는 적용되지 않는다.

일반 상품에 대한 소득효과는 부정적이며, 가격이 하락하면 결과적으로 구매력이나 소득이 높아진다.그 반대는 가격이 상승하고 구매력이나 소득이 감소할 때, 수요의 결과로 유지된다.

일반적으로 모든 상품이 '정상'인 것은 아니다.경제적인 의미에서 볼 때, 몇몇은 열등하다.그러나 이는 그들이 가난하다는 것과 질적으로 동일시되는 것이 아니라 마이너스 소득을 설정한다는 것이다. - 소득이 증가함에 따라 소비자들의 상품 소비는 감소한다.

예를 들어, 음식값으로 돈이 부족한 소비자들은 라면을 구입하지만, 그 상품은 사람들이 일상적으로 소비하는 것으로 일반적으로 유지되지 않는다.이것은 돈에 대한 제약 때문이다; 부가 증가할수록 소비는 감소한다.이 경우 대체효과는 마이너스지만 소득효과도 마이너스다.

가격 상승이 상품의 종류에 따라 달라지는 경우, 대체 효과 또는 소득 효과가 양수 또는 음수인 경우:

	토탈 이펙트	대체 효과	소득 효과
+	대체재	대체재	하급재
-	보완재	보완재	정상재

그러나 총효과는 항상 마이너스(-)가 될지는 열등한 보완재가 언급되어 있는지 알 수 없다.예를 들어 대체효과와 소득효과는 정반대의 방향으로 끌어당긴다.총효과는 궁극적으로 어떤 효과가 더 강하느냐에 따라 달라질 것이다.

파생

슬루츠키 방정식을 도출하는 방법에는 여러 가지가 있지만, 다음과 같은 방법이 가장 간단할 것 같다.Begin by noting the identity ${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)=x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}$ where ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$ is the expenditure function, and u is the utility obtained by maximizing utility given p and w.p_j 수율과 관련하여 다음과 같이 완전히 차별화:

${\displaystyle {\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))$$}}{\mathbf p_{j}}+{\frac {\frac x_{i}(\mathbf {p},e(\mathbf {p},u))$$}{{\mathbf {p},u)}}\cdot {\frac$ {\$frac(\mathbf {p},u)}{\mathbf p_{j$

$\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{e(p\mathbf{}}{}}$ ,${\displaystyle \frac{u}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{p_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$= h ${\displaystyle j_{}}$( ${\displaystyle p\mathbf{}}$ ,${\displaystyle u}$) ${\displaystyle {\frac {\partial e(\mathbf {p},u)}{\partial p_{j}}}}=h_{j}(\mathbf {p},u)}}}}}$을 셰퍼드 보조정리하여 최적으로 사용

${\displaystyle h_{j}(\mathbf {p},u)=h_{j}(\mathbf$$=x_{j}(\mathbf {p},w),$ 여기서$$ $v{\displaystyle (p\mathbf{}),}$ ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle v(\mathbf {p},w)$는 간접 유틸리티 함수,

위의 파생어를 슬루츠키 방정식으로 대체하고 다시 쓸 수 있다.

예

A Cobb-Douglas utility function (see Cobb-Douglas production function) with two goods and income ${\displaystyle w}$ generates Marshallian demand for goods 1 and 2 of ${\displaystyle x_{1}=.7w/p_{1}}$ and ${\displaystyle x_{2}=.3w/p_{2}.}$ Rearrange the Slutsky equation왼쪽 측면에 힉시안 파생 모델을 배치하면 대체 효과가 발생한다.

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w_{1}}}x_{1}=-{\frac {.7w}{p_{1}^{2}}}+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.7w}{p_{1}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}}$

원래의 슬루츠키 방정식으로 돌아가 보면 대체 효과와 소득 효과가 어떻게 합산되어 수요량에 대한 가격 상승의 총체적인 효과를 제공하는지를 알 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}-{\frac {.49w}{p_{1}^{2}}}}$

${\displaystyle \mathrm{따라서}}$p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$$p_{$$1}^{1}:{$1}:{2}}: $p{\displaystyle {}_{}}$ 1 {\$displaystyle$ p_{1$}}$가 상승할$$ 때 요구되는 양 중에서 21$$/70은 대체 효과에서, 49/70은 소득 효과에서 발생한다.굿 1은 이 소비자가 수입의 대부분을 지출하는 굿(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= .${\displaystyle \mathrm{7w}}$ ${\displaystyle p_{1}q_{1}}=.7w})$이기 때문에 소득 효과가 매우 크다.

슬루츠키 방정식의 해답이 힉시안 수요함수를 직접 차별하는 것과 동일하다는 것을 확인할 수 있다^[3].

${\displaystyle h_{1}(p_{1},p_{2},u)=.7p_{1}^{-.3}p_{2}^{{2}^{}}.3}u,}$

여기서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은(는) 유틸리티.파생상품은

${\displaystyle {\frac {\frac h_{1}:{1}{\reason p_{1}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{{}^.3}u,}$

따라서 소비자가$$ 지정된 요구 함수를 사용할 때 Cobb-Douglas 간접 효용 $함수$는 ${\displaystyle v}$= 1${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}{\mathrm{}}_{}^{}}$-${\displaystyle {.3}_{}^{}}$ ${\displaystyle v=wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-3},$ ${\displaystyle u}$= v ${\displaysty u=v}$이기 때문에 파생상품은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\frac h_{1}:{1}{\reason p_{1}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{{}^.3}(reason_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3}=-.211_{1}^{1}^{-21}p_{1}^{0}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}}}}}}},$

그게 바로 슬루츠키 방정식의 해답이야

슬루츠키 방정식은 교차 가격 대체 효과 계산에도 적용될 수 있다.One might think it was zero here because when ${\displaystyle p_{2}}$ rises, the Marshallian quantity demanded of good 1, ${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},w),}$ is unaffected (${\displaystyle \partial x_{1}/\partial p_{2}=0}$), but that is wrong.슬루츠키 방정식을 다시 재정렬하여 교차 가격 대체 효과는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}=0+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.3w}{p_{2}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}p_{2}}}}$

$이것$은 p ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가 상승할$$ 때 좋은 ${\displaystyle 1_{}}$에 대한$$ 대체 효과가 - .${\displaystyle \mathrm{21}}$ w${\displaystyle {}_{}}$/$($ 1 p 2 ) {\$displaystyle -.21w/(p_{1}p_{2})$가 발생한다고 말한다.동시에 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}의 상승은 굿 1의 수요에 마이너스 소득 영향을 미치기$$ 때문에 대체 효과와 정확히 같은 크기의 반대 효과가 있으므로 순효과는 0이다.이것은 Cobb-Douglas 함수의 특별한 특성이다.

한 번에 여러 가격 변동:슬루츠키 매트릭스

동일한 방정식을 매트릭스 형식으로 다시 작성하여 한 번에 여러 개의 가격 변동을 허용할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {D_{p}x} (\mathbf {p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)^{\top },\,}$

여기서 D는_p 가격과 관련하여 파생상품 사업자로, D는_w 재산과 관련하여 파생상품 사업자로 한다.

${\displaystyle {매트릭스\mathbf{}}_{}}$ D${\displaystyle }$p ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ (${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle }$u $)$ {\$displaystyle \mathbf$ {$D_{p}h}(\mathbf$ {p$},u)$는 슬루츠키 매트릭스로 알려져$$ 있으며, 유틸리티 함수에 충분한 부드러움 조건을 부여하면 대칭, 음의 반미데핀, 지출함수의 헤시안이다.

두 가지 상품이 있을 때 매트릭스 형태의 슬루츠키 방정식은 다음과 같다.^[4]

${\displaystyle{\begin{bmatrix}{\frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac{\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac{\partial x_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac{\partial x_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac{\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac{\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac{\partial h_{2}}{\pa.rtial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}}$

엄밀히 말하면 슬루츠키 방정식은 극히 적은 가격 변동에만 적용되지만, 유한 변동에 대한 선형 근사치를 표준적으로 사용한다.두 상품의 가격이 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$및$$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$2}}로 변동할 경우, ${\displaystyle {두\mathrm{}}_{}}$ 상품의 수요에 미치는 영향은 다음과 같다.

${\displaystyle {\bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}}$

행렬을 곱하면 좋은 1에 대한 효과는 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta x_{1}\approx \left({\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}\Delta p_{1}+{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\Delta p_{2}\right)-\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}\right)\left(x_{1}\Delta p_{1}+x_{2}\Delta p_{2}\right)}$

첫 번째 학기는 대체 효과다.두 번째 조건은 소득 효과로, 소득 손실에 대한 소비자의 반응으로 각 가격 상승에 따른 소득 손실의 크기를 곱한 값으로 구성된다.

기펜 상품

기펜 굿은 가격이 상승할 때 수요가 더 많은 상품으로, 열등한 상품의 특별한 경우이기도 하다.^[5]극심한 소득 열세의 경우 소득 효과 규모가 대체 효과 규모를 압도해 가격 인상에 대응한 전반적인 수요 변화로 이어졌다.슬루츠키가 수요의 변화를 순수한 대체 효과와 소득 효과로 분해한 것은 왜 수요의 법칙이 기펜 상품에 대해 지탱하지 않는지를 설명해준다.

참고 항목

• 소비자선택
• 핫텔링 보조정리
• 히크시안 디맨드 함수
• 마셜 요구 함수
• Cobb-Douglas 생산 기능
• 기펜 굿즈
• 구매력
• 정상재
• 대체재
• 하급재
• 보완재

참조

참조

바리안, H. R. (2020)중간 미시경제학 : 현대적 접근법 (9월호). W.W.노튼 & 컴퍼니.