지출함수

미시경제학에서 지출 함수는 효용 함수와 이용 가능한 상품의 가격이 주어진다면, 개인이 효용 수준을 달성하기 위해 지출해야 하는 최소 금액을 제공한다.

공식적으로, n개의 상품에 대한 선호도를 설명하는 효용 $함수$ u\ $displaystyle$ u가 $u$ 있는 경우, 지출 함수

(\displaystyle e(p,u^{*}):{\textbf {R}_{+}^{n}\textbf {R}\rightarrow {\textbf {R}}

는 n개의 가격이 가격 $벡터$ p $\displaystyle$ p $p$ displaystyle p $\$ displaystyle u $^{*}$ 에 $u^{*}$ 의해 제공되는 경우 $u^{*}$ u ${\$ {\ $displaystyle$ u^{*}}을 달성하기 위해 필요한 금액을 나타냅니다.이 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle e(p,u^{*})=\min_{x\in\geq(u^{*})}p\cdot x}

어디에

\displaystyle \geq (u^{*})=\{x\in {textbf {R}}_{+}^{n}:u(x)\geq u^{*}\}

는 적어도 u ${\(\$ u $u^{*}$ 뛰어난 유틸리티를 제공하는 모든 번들의 세트입니다.

동일하게 표현하면 개인은 $x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}$ 효용 제약 u $u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},$ , $u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},$ $u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},$ $u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},$ $x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}$ $u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},$ u $u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},$ u $u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},$ 、 { \ $display style u$ ( x _ { $1$ , \ $x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}$ $dots$ , x { $n$ } + \ $dots$ + $x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}$ x _ { $n$ } $p$ { $n$ } subject $x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}$ {\ 、 { n } 、 { display style u ( x _ { $1$ $x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}$ ) $、$ { n 、 { n } )의 최소 효용 제약에 따라 $x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}$ 을 최소화합니다.ods는 $x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}$ $x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}$ $,,$ $x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}$ … $x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}$ $x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}$ { $display$ $style$ $x$ _ { { $u^{*}$ $1$ }^{*}, \ $display$ $x_{n}^{*}$ 의 $x_1^*, \dots x_n^*$ $u^{*}$ $u^{*}$ 로서 ods와 가격. 지출 함수는 다음과 같습니다.

(\displaystyle e(p_{1},\display,p_{n};u^{*})=p_{1}x_{*}+\display +p_{n}x_{n}^{*}).}

지출 함수의 특징

(지출 함수의 특성) u가 Rn +에서 국소 비포화 선호 관계 θ를 나타내는 연속 효용 함수라고 가정합니다.그러면 e(p, u)는

1. p의 1등급 균질성 (\

displaystyle \displayda

>

0, $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$ ( $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$ , $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$

\lambda

) $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$ $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$ e ( $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$ , $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$ ) $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$ ; \ $displaystyle$ e ( \ $displayda$ p , u ) = \ $displayda$ e ( $p$ , $u$ ) ; }

2. p

\displaystyle

p

\

및

p

u

;\displaystyle

u;\displaystyle u;}에서 연속됩니다.

3. p

p\gg 0;

0 ; \

display style

p \ g

0 ;

}

는 p \

display style

p \ g 0 ;는 p\ display style

u

로

p

u

증가하지 않는다.

4. p

\display style

p

\

에 오목함

(5) 효용함수가 엄밀하게 준오목형일 경우 셰퍼드의 보조항목이 있다.

증명

(1) 상기 제안과 같이 다음 사항에 유의한다.

$\displaystyle e(\displayda p,u)=\min_{x\in\mathbb {R}_{+}^{n}:u(x)\geq u}$ $\displaystyle \da p\cdot x=\displayda \min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}$ $p\cdot x=\displayda e(p,u)$

(2) 도메인 $e에서 계속:$ ${\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}$ + + ${\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}$ R ${\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}$ \ $display$ style \ $textbf { R$ } _ { + ${\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}$ }^{ $N}*{\textbf {R}}\오른쪽 화살표 {\textbf {R}}$

p(⋅)≥ p⋅ x{\displaystyle e(p^{\prime},u)=p^{\prime}\cdot x\geq p\cdot x} 할게.(3)에 즉시 e.(p, $e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)$ $e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)$ $e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)$ ( $e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)$ $e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)$ ) { $displaystyle$ e ( $p$ , $u$ )\ $leq$ e ( $p^$ { \ prime } $e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)$

두번째 성명 내용은 상반된 u′>;{\displaystyle u^{\prime}&gt입니다;}, e(p, 너 ′)≤ e(p,마){\displaystyle e(p,u^{\prime})\leq e(p,u)}보다, 어떤 x에(p,마){\displaystyle x\in h(p,u)},())h ∈)마′을을 위해;{\displaystyle u())=u^{\prime}&gt입니다;}, whic다고 가정해 보자.h을 부정하다.s 이전 제안의 "초과 효용 없음" 결론

(4) $t\in (0,1)$ $t\in (0,1)$ ( $t\in (0,1)$ , $t\in (0,1)$ ) { $displaystyle$ t \ $in$ ( $0$ , $1$ ) } suppose $t\in (0,1)$ suppose suppose $x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })$ $x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })$ （ $x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })$ + $x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })$ ( 1 $x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })$ - $x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })$ ) p $x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })$ { $displaystyle$ x \ $in$ h ( $tp$ + ( 1 - $x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })$ ) $p^$ { \ prime $}$ } } 。 $p\cdot x\geq e(p,u)$ 으로 p $p\cdot x\geq e(p,u)$ x $p\cdot x\geq e(p,u)$ ( $p\cdot x\geq e(p,u)$ , $p\cdot x\geq e(p,u)$ $){$ $displaystyle$ p \ $cdot$ x \ $geq$ e ( $p$ , $u$ )} $p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)$ p $p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)$ x $p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)$ ( $p$ $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$ $p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)$ , $p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)$ ){ $displaystyle$ p^ { \ prime }\ $cdot x$ \ $geq e$ ( $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$ $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$ { \ prime } $p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)$ 、 $p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)$ $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$ ), $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$ ) 、 $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$ 、 $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$ $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$ $te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)$ ) $te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)$ ( $te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)$ $te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)$ ) { $display style$ te ( $p$ , $u$ ) + ( 1 - t ) $e$ ( $p^$ { \ $prime$ } , $u$ ) $te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)$ } 。

(5) ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$ ( ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$ 0 , ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$ 0 ) ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$ p ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$ i ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$ ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$ i ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$ ( ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$ , ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$ 0 $){$ style \ $display$ { $frac$ ( $p^$ { 0 , $u$ ^ { 0 ) } $= x _$ { i }^{ h ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$ } ( $p ^$ 0 , } （ p^ { $0$ } )

지출 및 간접 효용

지출 함수는 가격이 일정하게 유지될 때 간접 효용 함수의 역함수이다.즉, 모든 가격 $벡터$ p $\displaystyle$ p $\$ displaystyle I $\displaystyle$ $I$ ^[1]^{: 106}

\displaystyle e(p,v(p,I)\equiv I}

지출 함수와 효용 함수 사이에는 이중성 관계가 있다.특정 정규 준오목 효용함수가 주어지면, 대응하는 가격은 균질하고, 효용은 단조 증가 지출함수이며, 반대로 주어진 가격은 균질하고, 효용은 단조 증가 지출함수는 정규 준오목 효용함수를 생성한다.한때 가격이 균일하고 효용성이 단조롭게 증가하고 있는 속성 외에, 지출 함수는 일반적으로 다음을 가정한다.

(1)은 음이 아닌 함수입니다. $E(P\cdot u)>O;$ E ( $E(P\cdot u)>O;$ ) $E(P\cdot u)>O;$ O $E(P\cdot u)>O;$ ; \ $display style$ E $($ P \ $cdot$ u ) > $O;}$

(2) P의 경우 $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ ( $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ 1 $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ u $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ > $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ l $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ > $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ 2 $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$ > $(\$ E $(p^{1}u)$ > $E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>$ $O_{N$

(3) E(Pu)는 오목함수이다. $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ e ( $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ l $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ + ( $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ - $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ ) $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ 2 $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ > $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ E ( $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ u $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ ) $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ > $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ - $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ n ) $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ ( $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ ) $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ > $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ 0 \ $displaystyle$ e ( $np$ ^ { $l$ } + ( 1 - $n$ ) $p$ ^ { $}u$ > \ $lambda$ E $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ ( $p ^$ { $1$ - n ) $>$ $P$ > $P$ ^ 2 （ $u$ ） }

지출 함수는 소비자 행동을 연구하는 중요한 이론적 방법이다.지출 함수는 생산 이론의 비용 함수와 매우 유사하다.유틸리티의 최대화 문제와 중복되는 것은 비용 최소화 문제입니다.

예

효용 함수가 Cobb-Douglas $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ ( $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ , $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ x $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ ) $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ .6 $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ 2 $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ . $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ 4 , \ $displaystyle u$ ( x _ ${$ 1} , $x _$ {2} = $x$ _ { $1}^{$ 라고 가정합니다. $요구$ ^[4] 함수를 생성하는 6 $}x_$

x_{1}(p_{1},p_{2},I)=420 frac {.6I} {p_{1}}\;\;\rm {and}\;\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2},I)=sncfrac {.4I}{p_{2}}},

$I$ 서 $I스타일$ 은 소비자의 $I$ 소득입니다.지출 함수를 찾는 한 가지 방법은 먼저 간접 효용 함수를 찾은 다음 이를 반전시키는 것이다.간접 효용 $v(p_{1},p_{2},I)$ v $v(p_{1},p_{2},I)$ $v(p_{1},p_{2},I)$ 1, $v(p_{1},p_{2},I)$ , $v(p_{1},p_{2},I)$ )({ $displaystyle v(p_{1$ }, $p_{$ 2}, $I)}$ 는 $v(p_{1},p_{2},I)$ 다음과 같이 효용 함수의 수량을 수요 함수로 대체하여 구할 수 있습니다.

({displaystyle v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6}(x_{2}^{*})^{}^{}.4}=\leftflac\frac {.6I}{p_{1}}\right)^{6}\leftflac\frac {.4I}{p_{2}}\right)^{.4}=146^{.6}*.4^{.4) I^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}나,}

$K=(.6^{.6}*.4^{.4}).$ 서 K $K=(.6^{.6}*.4^{.4}).$ ( . $K=(.6^{.6}*.4^{.4}).$ . $K=(.6^{.6}*.4^{.4}).$ $K=(.6^{.6}*.4^{.4}).$ . $K=(.6^{.6}*.4^{.4}).$ ) . $K=(.6^{.6}*.4^{.4}).$ { $displaystyle$ K = (. 6 ^ { $}$ 。 $6}*.4^{.4}).$ $}$ $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ ( $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ , p $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ , $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ = $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ ( $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ , $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ 2, $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ ( $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ , p 2, $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ ) $=$ $I$ ( \ $style$ e ( p $_$ { $1$ , p _ { $2$ , $u$ ) $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ = $e$ ( $p$ _ { $1$ , $p _$ { 2 , $v$ ( $p _$ 1 $,$ p _ $2$ ) ) = $I}$ 소비자가 $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ 최적화할 때, 간접 효용 함수를 반전시켜 지출 함수를 찾을 수 있다.

\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=(1/K)p_{1}^{.6}p_{2}^{.4}u,}

또는 ( $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ x $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ + $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ 2 $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ ) { $u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.$ $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}}$ 의 $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ $u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.$ 제약조건 $u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.$ u( $u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.$ 1, x $u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.$ 2) $u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.$ u $..$ { $displaystyle u(x_1}, x_{$ 2})를 $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ 최소화하는 문제를 해결함으로써 지출 함수를 찾을 수 있다 $.$ $x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ 1, $x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ 2, $x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ $）$ { $displaystyle x_{1}^{*}(p_{1}, p_{2},$ u $^{*})$ 및 $x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ $x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ 2 $x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ (( $x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ , $x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ $x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ , $x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ u $x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ ) ${*}(p_{1}, p_{2$ }, u $^{*})$ 이며 $x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ 지출 함수는 다음과 같습니다.

({displaystyle e(p_{1},p_{2},u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*})

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Varian, Hal (1992). Microeconomic Analysis (Third ed.). New York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
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^ Varian, H. (1992). Microeconomic Analysis (3rd ed.). New York: W. W. Norton., 페이지 111은 일반적인 공식을 가지고 있다.

Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. (2007). Microeconomic Theory. pp. 59–60. ISBN 0-19-510268-1.
Mathis, Stephen A.; Koscianski, Janet (2002). Microeconomic Theory: An Integrated Approach. Upper Saddle River: Prentice Hall. pp. 132–133. ISBN 0-13-011418-9.
Varian, Hal R. (1984). Microeconomic Analysis (Second ed.). New York: W. W. Norton. pp. 121–123. ISBN 0-393-95282-7.

[1] Varian, Hal (1992). Microeconomic Analysis (Third ed.). New York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.

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[4] Varian, H. (1992). Microeconomic Analysis (3rd ed.). New York: W. W. Norton., 페이지 111은 일반적인 공식을 가지고 있다.

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