간접 효용 함수

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경제학에서 소비자의 간접 효용 $함수{\displaystyle }$v ( ${\displaystyle p}$,${\displaystyle w}$){ $displaystyle$v ($p$ , w ){ displaystyle v (p ,$w$ )}는$$ 상품 가격과 $소득$의 $벡터{\displaystyle }$p { $display style$p$\}$에 직면했을 때 소비자가 얻을 수 있는 최대의 효용을 제공합니다.이것은 소비자의 선호와 시장 상황을 모두 반영합니다.

소비자들은 보통 가격보다는 소비하는 것에 대해 선호도를 생각하기 때문에 이 기능을 간접이라고 한다.$소비자$의 간접 $효용{\displaystyle }$v (${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle w}$) \ $displaystyle$v ($p$${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$ ) \ displaystyle u ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)$$$、$ \ $displaystyle u$$$$$( x )${\displaystyle }$defined$$ 、 \ $displaystyle$x } vectors$$ 、 x x x 、 ${\displaystyle x}$ x x x $x{\displaystyle }$ x x x x x x x x x x x x${\displaystyle }$x ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( $($ ( ( a a a a ( ( ( vectors a a a a a a a a a a a a a $over{\displaystyle }$ over$\displaystyle$ x$(p,w)}$는 유틸리티의 최대화 문제를 해결하고 다음으로 $유틸리티{\displaystyle }$u(${\displaystyle x}$(${\displaystyle p}$ ,$){$ $displaystyle$u (x$, w$)}를$$ 계산합니다.간접 효용 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle v(p,w)=u(x(p,w)).}$

The indirect utility function is:

• Continuous on Rⁿ₊ × R₊ where n is the number of goods;
• Decreasing in prices;
• Strictly increasing in income;
• Homogenous with degree zero in prices and income; if prices and income are all multiplied by a given constant the same bundle of consumption represents a maximum, so optimal utility does not change;
• quasi-convex in (p,w).

Moreover, Roy's identity states that if v(p,w) is differentiable at ${\displaystyle (p^{0},w^{0})}$ and ${\displaystyle {\frac {\partial v(p,w)}{\partial w}}\neq 0}$, then

${\displaystyle -{\frac {\partial v(p^{0},w^{0})/(\partial p_{i})}{\partial v(p^{0},w^{0})/\partial w}}=x_{i}(p^{0},w^{0}),\quad i=1,\dots ,n.}$

Indirect utility and expenditure

The indirect utility function is the inverse of the expenditure function when the prices are kept constant. I.e, for every price vector ${\displaystyle p}$ and utility level ${\displaystyle u}$:^{[1]: 106}

${\displaystyle v(p,e(p,u))\equiv u}$

Example

Suppose the utility function is the Cobb-Douglas function ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},}$ which has the Marshallian demand functions^[2]

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2})=flac {.6w}{p_{1}\;\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2})=flac {.4w}{p_{2}}}.$

$여기$서 w$\displaystyle$w는$$ 소비자의 소득입니다.간접 효용 $함수{\displaystyle }$v ( ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle p{}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$w$$) {$displaystyle$ v$(p_{1},p_{2},w}$는 다음과 같이 효용 함수의 수량을 디맨드 함수로 대체하여 구할 수 있습니다.

$({displaystyle v(p_{1},p_{2},w)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^.6(x_{2}^{*})^{}}^{}}.4}=\left\frac{.6w}{p_{1}}\right)^{6}\left\frac{.4w}{p_{2}}\right)^{.4}=param6^{.6}*.4^{.4) w^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-4}w,}$

$여기$서 K ${\displaystyle ={}^{}}$( .${\displaystyle {}^6}$ . ${\displaystyle 6^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ .${\displaystyle 4^{}}$ ) .${\displaystyle }${$displaystyle$ K = (. 6 ^ { $}$ 。$6}*.4^{.4}).$} 효용$$ 함수는 그 주장이 가지는 수량에 관계없이 효용을 표시하며, 그것이 소비자에게 최적이 아니며 효용 극대화 문제를 해결하지 못하더라도 그 효용 함수는 효용을 나타낸다$.$반면 간접 효용 함수는 소비자가 주어진 가격과 소득에 대해 최적의 수요 함수를 도출했다고 가정한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 고먼 극형
• 힉시안 수요 함수
• 값 함수

레퍼런스

추가 정보

• Cornes, Richard (1992). "Individual Consumer Behavior: Direct and Indirect Utility Functions". Duality and Modern Economics. New York: Cambridge University Press. pp. 31–62. ISBN 0-521-33601-5.
• Jehle, G. A.; Reny, P. J. (2011). Advanced Microeconomic Theory (Third ed.). Harlow: Prentice Hall. pp. 28–33. ISBN 978-0-273-73191-7.
• Luenberger, David G. (1995). Microeconomic Theory. New York: McGraw-Hill. pp. 103–107. ISBN 0-07-049313-8.
• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. (1995). Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press. pp. 56–57. ISBN 0-19-507340-1.
• Nicholson, Walter (1978). Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions (Second ed.). Hinsdale: Dryden Press. pp. 57–59. ISBN 0-03-020831-9.