원활한 최소 분석
Smooth infinitesimal analysis매끄러운 극소수 분석은 미적분학의 현대적인 개혁이다. F. W. 로비어의 사상과 범주 이론의 방법을 채택한 것에 근거하여, 그것은 모든 기능이 연속적이고 이산적인 실체라는 관점에서 표현될 수 없는 것으로 본다. 이론으로서, 그것은 합성 미분 기하학의 부분집합이다.
nilsquare 또는 nilpotent infinitesimal은 숫자 ε이고 여기서 ε² = 0은 참이지만 ε = 0은 동시에 참일 필요는 없다.
개요
이러한 접근방식은 배제된 중간의 법칙을 부정함으로써 재래식 수학에서 사용되는 고전적 논리에서 벗어난다. 예를 들어 NOT (a ≠ b)는 a = b를 의미하지 않는다. 특히, 매끄러운 최소 분석 이론에서는 모든 인피니티멀 ε에 대해 증명할 수 있지만, 모든 인피니티멀이 0과 같다는 것은 명백한 거짓이다.[1] 배제된 중간의 법칙은 다음과 같은 기본 정리(again, smooth infinitial analysis의 맥락에서 이해됨)로부터 지탱할 수 없음을 알 수 있다.
이러한 사실에도 불구하고 f(x) = x = 0, f(x) = 0을 지정하여 불연속 함수 f(x)를 정의할 수 있다. 배제된 중간부의 법칙이 유지된다면, 이것은 완전히 정의되고 불연속적인 기능이 될 것이다. 그러나 x = 0 또는 x ≠ 0이 유지되지 않는 등 x, 즉 infinitesimal이 풍부하므로 실제 숫자에 함수를 정의하지 않는다.
매끄러운 최소 분석의 전형적 모델에서, 인피니티멀은 되돌릴 수 없으며, 따라서 이론은 무한한 숫자를 포함하지 않는다. 그러나, 불변성 무정수를 포함하는 모델도 있다.
비표준 분석과 초현실적 숫자를 포함한 다른 수학 시스템이 존재한다. 매끄러운 최소 분석은 (1) 분석을 위한 기초 역할을 하도록 되어 있고, (2) 최소량이 콘크리트 크기를 가지고 있지 않다는 점에서 비표준 분석과 같다(일반적인 최소값이 1/Ω인 서럴과는 대조적으로, 여기서 Ω은 폰 노이만 서수날이다). 그러나 평탄한 극소수 분석은 비고전적 논리의 사용에서 비표준적 분석과 다르고, 전송원리가 결여되어 있다. 표준 및 비표준 분석의 일부 이론은 중간값 정리, 바나흐-타르스키 역설 등 부드러운 최소 분석에서 거짓이다. 비표준 분석의 문장은 한계에 관한 문장으로 번역할 수 있지만, 매끄러운 최소 분석에서 항상 같은 것은 아니다.
직감적으로 매끄러운 극소수 분석은 선이 포인트 아웃이 아닌 극소량 세그먼트로 만들어지는 세계를 설명하는 것으로 해석할 수 있다. 이러한 부분들은 일정한 방향을 가질 수 있을 만큼 길지만 곡선이 될 만큼 길지는 않다고 생각할 수 있다. 함수가 곡선으로 식별되고 곡선을 점으로 구성할 수 없기 때문에 불연속 함수의 구성은 실패한다. 우리는 중간값 정리의 실패가 최소 부분의 선 줄타기 능력에서 비롯되었다고 상상할 수 있다. 마찬가지로 바나흐-타르스키 역설은 한 권의 볼륨을 포인트로 분리할 수 없기 때문에 실패한다.
참고 항목
참조
- ^ Bell, John L. (2008). A Primer of Infinitesimal Analysis, 2nd Edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521887182.
추가 읽기
- John Lane Bell, Smooth Infinitial Analysis(PDF 파일) 초대
- Ieke Moerdijk and Reyes, G.E., Springer-Verlag, 1991.
외부 링크
- Michael O'Connor, Smooth Infinitial Analysis 소개
