평면 형태론

수학에서 특히 대수기하학에서의 계략 이론에서 계략 X에서 계략 Y에 이르는 편평한 형태론은 모든 줄기에 유도된 지도가 반지의 평면 지도인 형태론이다.

${\displaystyle f_{P}\colon {\mathcal {O}_{Y},f(P)}\to {\mathcal {O}_{X,P}}}$

X의 모든 P에 대한 평면도 입니다.^[1]링 $A{\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$의 지도는 B를 평평한 A-모듈로 만드는 동형상이라면 플랫이라고 부른다$$.계략의 형태론은 굴절적이면서도 평탄하다면 충실하게 평탄하다고 한다.^[2]

평면 형태론에 관한 두 가지 기본 직관은 다음과 같다.

• 평탄도는 일반적인 특성이다.
• 평탄도의 실패는 형태론의 점프 세트에서 발생한다.

이 중 첫 번째는 교대수학에서 나온다. f의 어떤 미세한 조건에 따라, Y의 비빈 오픈 서브슈메 $′{\$가 존재한다는 것을 보여줄 수 있다. 예를 들어, y로 제한된 f는 평면 형태론(일반 평탄도)이다.여기서 '제한'은 f에 적용되는 계략의 섬유 생산물과 Y에 대한$$ $Y{\displaystyle {}^{}}$′ ${\$ Y$'}$의 포함 지도를 통해 해석된다.

둘째로, 대수 기하학의 형태는 평탄도에 의해 감지되는 종류의 불연속성을 나타낼 수 있다는 생각이다.예를 들어 대수 표면의 혼성 기하학에서 아래로 부는 작동은 다른 모든 것이 치수 0을 가질 때 치수 1인 단일 섬유를 제공할 수 있다.형태론의 평탄성은 이러한 종류의 세미콘티뉴, 즉 일방적인 점프를 제어하는 것과 직접적인 관련이 있다는 것이 (역증적으로) 밝혀졌다.

평면 형태론은 평면형 토포와 편평형 코호몰리지를 정의하기 위해 사용된다.이것은 심층적인 이론으로, 다루기 쉽지 않은 것으로 밝혀졌다.étal morphism(그러므로 etale cohomology)의 개념은 평평한 형태주의 개념에 따라 달라진다: altal morphism은 평평하고, 유한하며, altale morphism은 미묘화된다.

예시/비예시

진술 계획을 고려하라.

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathb {C} [x,y,t]}}{x^{2}+y^{2}-t}\right)\\operatorname {Spec}(\mathb {C}[t])}}}$

알헤브라의 명백한 형태론에서 유도된.

${\displaystyle {\begin}\mathb {C}[t]\frac {\c}[x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}\t\mapsto t\\end{case}}}}}$

이 형태론에 대해 평탄함을 증명하는 것은 컴퓨팅에^[3] 해당하므로

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathb {C}[t]\frac {\mathb {C}[x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}},\mathb {C} \right}),}}$

우리는 복잡한 숫자들을 해결한다.

${\displaystyle {\begin{array}{lcccc}0&\to &\mathbb {C} [t]&{\xrightarrow {\cdot t}}&\mathbb {C} [t]&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &\mathbb {C} &\to &0\\\end{array}}}$

$그리고{\displaystyle \mathbb{}}$C [ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {C} [t]}$ - modules의$$ 순서를 제공하는 우리의 계획을 나타내는 모듈에 의한 텐서

${\displaystyle 0\to {\frac {\mathb {C} [x,y,t]}{x^{2}+y^{2}-t}{\x^{\xrightarrow {\cdot t}{\mathb {C}[x,y,t]}{x^{2}-t}\t}~0}$

왜냐하면 t는 0점자가 아니기 때문에 우리는 사소한 커널을 가지고 있기 때문에 호몰로지 그룹은 사라진다.

기적 평탄도

$평평$한 형태론의 다른 예들은 "${\displaystyle \mathrm{기적}}$의 평탄도${\displaystyle "<sup\; class="reference"\; id="cite\_ref-4"><a\; href="\#cite\_note-4">[4]</a></sup>}$를 사용하여 찾을 수 있는데, 이 "기적의 평탄도$"$는 만약 당신이 코헨-매컬레이의 계략에서 등차원 섬유를 가진 $규칙적$인 계략 사이에$$ 형태론을 $가지고$ 있다면, 그것은 평탄한 $것이다.$이것의 쉬운 예로는 각 지층의 기적의 평탄도를 만족시키는 층화된 품종들에 대한 타원성 섬유화, 부드러운 형태화, 형태화 등이 있다.

힐버트 계획

편평한 계획 형태론의 보편적인 예는 힐버트 계획에 의해 제시된다.이것은 힐버트 체계가 보편적인 계층의 평면 형태론을 매개변수로 나타내며, 모든 평평한 형태주의는 어떤 힐버트 체계의 풀백이기 때문이다.즉, $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ S ${\displaystyle f\colon X\to S}$이(가) 평평한 경우 정류 도표가 있음

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &\operatorname {Hilb} _{S}\downarrow &&\downarrow \\\\s&to &S\end{matrix}}}}$

for the Hilbert scheme of all flat morphisms to ${\displaystyle S}$. Since ${\displaystyle f}$ is flat, the fibers ${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\to s}$ all have the same Hilbert polynomial ${\displaystyle \Phi }$, hence we could have similarly written ${\displaystyle {\te$$xt{Hilb}}_{$$위$의 힐버트 계획에 대해 S}^{\Phi$$ $}}.$

비예시

블로업

한 등급의 비예제가 Blowup maps에 의해 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {Bl} _{I}X\to X}$

한 가지 쉬운 $예$는 C${\displaystyle }$[${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$] ${\displaystyle \mathb {C}[x,y]}$의 점의 확대$.$ 원점을 취하면 이것이 형태론에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mathbb{C}}$[ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle \frac{C}{}}$[ x${\displaystyle \frac{}{}}$, ${\displaystyle \frac{y}{}}$, s${\displaystyle \frac{}{}}$, ${\displaystyle \frac{t}{}}$ $]$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ -${\displaystyle \frac{y}{}}$ ${\displaystyle \frac{s}{}}$ ${\$ \$mathb {C}[x,y$]\$prac {\mathb {C}[x,y,s,t]}{xt-ys}}}}$을(를) $전송$하는 경우 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mapsto }$ x${\displaystyle }$, y , ${\displaystyle y}$, ${\mapstopto,$ y${\displaystyle ,}$ y$,y$\mapsto, y, y,y\mapstopto,y\mapsto, $}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 점$(,{\displaystyle }$ b )${\displaystyle \ne }$( 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (a,b)\neq (0,0)}$에 대한 $섬유$는 C ${\$즉,$$}의 복사본이다$$.

${\displaystyle {\frac {\mathb {C}[x,y,s,t]}{xt-ys}\otimes _{\mathb {C}[x,y]{\frac {c}[x,a,y-b]}}}}}\cong \mathb {C},},},},},}$

그 다음으로부터.

${\displaystyle M\otimes _{R}{\frac {R}{I}}\cong {\frac {M}{IM}}}$

그러나 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{b}}$= 0 ${\displaystyle a=b=0}$의 경우$,$ 우리는 이형성을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {\mathb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}\otimes _{\mathb {C}[x,y]{\frac {c}[x,y]{x,y]}}}}\cong \mathb {c}[s,t}].}$

이것이 평탄하지 못하는 이유는 현지에서 확인할 수 있는 미라클 평탄도 보조정리 때문이다.

무한 분해능

평면 형태론의 단순한 비예는 $k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle ]}$= k${\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$/ (${\displaystyle x}$ 2${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$→ k${\displaystyle }$. ${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[x]/(x^{2})\to$ k$.}$이기 때문이다$$.

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L}}k}$

무한한 콤플렉스로, k의 평탄한 해상도를 취하면 찾을 수 있다.

${\displaystyle \cdots ~{\xrightarrow {{}{\cdot }}}{\cdot \varepsilon ]}{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}{\xrightarrow {}}}}\cdot \varepsilon ]to}$

그리고 k와 함께 결의안을 텐서나, 우리는

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L}}k\simeq \bigoplus _{i=0}^{\infit }k[+i]}}}}}}$

형태론이 평평할 수 없다는 것을 보여주는 것.평평한 형태론의 또 다른 예는 평평한 형태주의는 반드시 등차원의 섬유를 가지고 있기 때문에 폭발하는 것이다.

평면형식의 특성

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to$ Y$}$을(를) 계획의 형태론이라고 합시다$$.For a morphism ${\displaystyle g\colon Y\to Y}$, let ${\displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}$ and ${\displaystyle f'=(f,1_{Y})\colon X'\to Y'.}$ The morphism f is flat if and only if for every g, the pullback ${\displaystyle f'^{*}}$ is an ex준정합성 ${\displaystyle {OY}_{{}^{}}}$$′{\${\$mathcal{O}_{Y'}}}$ - 준정합성 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ X ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\$ -모듈$$ 범주에서 functor로 작용한다$$.^[5]

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon$ X$\to Y}$ 및 $g$ : ${\displaystyle Y}$→ $(Displaystyle g\colon Y\to Z)$가 체계 형태이며 f는 X에서 평평하다고 가정한다.그런 다음 gf가 x에 평탄한 경우에만$$ $g$가 f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle f(x)}$에 평탄하다.^[6]특히 f가 충실하게 평탄한 경우 g는 평탄한 경우 또는 gf가 각각 평탄하거나 충실하게 평탄한 경우에만 충실하게 평탄한 경우 또는 충실하게 평탄한 경우다.^[7]

기본 특성

• 두 가지 평면 형태론의 복합체는 평평하다.^[8]
• 두 개의 평평하거나 충실하게 평평한 형태론의 섬유 생산물은 각각 평평하거나 충실하게 평평한 형태론이다.^[9]
• 평탄도와 충실한 평탄도는 기저변화에 의해 보존된다.f가 평탄하거나 충실하게 평탄한 $경우{\displaystyle }$,${\displaystyle {}^{}}$ : Y${\displaystyle {}^{}y}$→ Y$$: Y [\$displaystyle$g\$colon$Y'\$to$ Y$\},$ $섬유{\displaystyle }$ 제품${\displaystyle }$f ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle g}$ :${\displaystyle {}_{}}$X ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$→ → ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}${\$displaystyle f\time$ g\$colon$X\$time _{Y}$Y'\$to$Y'}는$$ 각각 평탄하거나 충실하게 평탄한 것이다.^[10]
• 형태론(한정된 표시의 중심)이 평평한 점 집합이 열려 있다.^[11]
• f가 충실하게 평탄하고 유한한 표시일 경우, 그리고 gf가 유한한 형식 또는 유한한 표시일 경우 g는 각각 유한한 형식 또는 유한한 표시일 경우.^[12]

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon$ X$\to Y}$은(는) 계획의 평면 형태론이라고 가정한다$$.

• If F is a quasi-coherent sheaf of finite presentation on Y (in particular, if F is coherent), and if J is the annihilator of F on Y, then ${\displaystyle f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}}$, the pullback of the inclusion map, is an injection, and the image of ${\displaystyle f^{*}J}$ in ${\d$$isplaystyle$ {\$mathcal{O}$_{$X}}$은(는) X에 있는$$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$f^{*}$F}$의 소멸자다.^[13]
• If f is faithfully flat and if G is a quasi-coherent ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-module, then the pullback map on global sections ${\displaystyle \Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)}$ is injective.^[14]

$h{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h\colon$ S$'\to$ S$}$이(가) 평평하다고 가정합시다.X와 Y를 S-schemes로 하고, $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ X$'}$과 Y ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$을(를) h로 기본 변경으로 한다$$.

• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f\colon$ X$\to Y}$이(가) 준중형이고 지배적인 경우, 그 기저 $변화{\displaystyle {}^{}}$ f :${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ : X ′ → Y ′ ${\$ Y$'}$은 준중형이며 지배적이다.^[15]
• h가 충실하게 평탄한 경우 풀백 맵 ${\displaystyle {\mathrm{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle X}$, Y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {Hom{}^{}}_{}}$ S ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}{}_{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, Y ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Y)\to \operatorname {Hom}$^[16] $_{S}(X,'Y')$가 주입된다.
• $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이(가) 준콤팩트 및 준분리형이라고 가정한다.Z를 X의 닫힌 이미지로 하고, $j{\displaystyle }$: ${\displaystyle Z}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle j\colon$ Z$\to Y}$를 정식 주입으로 한다$$.그러면 기본 변경 $j{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ : ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ Y ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ Z$'\to Y'}$에 의해 결정되는 닫힌 하위 체임은 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$의 닫힌 이미지다$.$^[17]

위상학적 특성

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이(가) 평탄하면 다음$$ 속성을 모두 소유한다.

• X의 모든 점 X와 y = f(x)의 모든 생성 y′에 대해 y′ = f(x)^[18]와 같은 x의 생성 x′가 있다.
• X, $f{\displaystyle (\mathrm{규격}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle O_X}$ , x${\displaystyle {}_{}}$)의 모든 포인트 X에 대해${\displaystyle ,}$ = ${\displaystyle \mathrm{규격}{o}_{}}$ O${\displaystyle {}_{}}$Y ,${\displaystyle f_{}}$ ( ${\displaystyle x_{}}$) ${\$ f$(\operatorname {Spec}${\\$mathcal$ {$O}_{X,$x}=\$operatorname$ {$Spec}{O}}{O}}}{{Y,f(x$^[19]
• Y의 모든 되돌릴 수 없는 닫힌 부분집합 Y for에 대해⁻¹, f(Y of)의 모든 되돌릴 수 없는 구성요소는 Y′^[20]를 지배한다.
• 만약 Z와 Z가 Z in에 포함된 Z와 함께 Y의 두 개의 분해할 수 없는 폐쇄 하위 집합이라면⁻¹, f(Z)의 모든 분해할 수 없는 구성요소 T t는 T를 포함하는 f⁻¹(Zz)^[21]의 분해할 수 없는 구성요소 T′가 있다.
• X의 모든 분해할 수 없는 구성요소 T에 대해, f(T)의 폐쇄는 Y의 분해할 수 없는 구성요소다.^[22]
• 만약 Y가 일반 포인트 y로 수정 불가능한 경우, 그리고⁻¹ f(y)^[23]가 수정 불가능한 경우, X는 수정 불가능한 경우.
• f도 닫히면 X의 연결된 모든 구성 요소의 이미지는 Y의 연결된 구성 요소다.^[24]
• Y의 모든 구성 가능한 부분 집합 Z에 $대해{\displaystyle {}^{}}$,${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 ${\displaystyle (Z\stackrel{}{}}$) =${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}f\stackrel{}{{}^{}}}$ -${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}{1}^{}}}$ ( ${\displaystyle \stackrel{}{Z}}$)의${\$Z$)\}\}\}\}\}.$^[25]

만약 f가 평평하고 한정된 표시의 국소라면, f는 보편적으로 개방된다.^[26]그러나 f가 충실하게 평탄하고 준중형이라면, X와 Y가 노에테리아인이라 하더라도 f가 개방되어 있다는 것은 일반적으로 사실이 아니다.^[27]더욱이, 이 진술에 대한 어떤 반대도 없다: 만약 f가 축소된 체계_red X에서 X로 표준화된 지도라면, f는 보편적인 동형상주의지만, X가 축소되지 않은 것과 누메트리안에게 f는 결코 평평하지 않다.^[28]

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이(가) 충실하게 평탄한 경우$$:

• Y의 위상은 f에 상대적인 지수 위상이다.^[29]
• 만약 f도 준법률이고, Z가 Y의 부분집합이라면, 만약⁻¹ f(Z)가 X의 국소적으로 닫힌 프로건설형 부분집합인 경우에만 Z는 국소적으로 닫힌 Y의 부분집합이다.^[30]

f가 평평하고 유한한 표시의 국소인 경우, 다음 속성 P 각각에 대해 f가 P를 갖는 점 세트가 개방된다.^[31]

• Serre의 조건_k S (고정 k에 대한)
• 기하학적으로 규칙적이다.
• 기하학적으로 정상이야

추가 f가 적절하다면, 다음 각 속성에 대해서도 동일하다.^[32]

• 기하학적으로 감소.
• 기하학적 감소 및 k 기하학적 연결 구성요소(고정 k의 경우)
• 기하학적으로 적분된.

평탄도 및 치수

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$이(가) 로컬 노메트리안이라고 가정하고 f :${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ {\$displaystyle f\colon X\to$Y}을$($를) 허용하십시오$.$

• x를 X와 y = f(x)의 점으로 한다.f가 평평한 경우, 딤_x X = 딤_y Y + 딤_x f⁻¹(y)가 된다.^[33]반대로 이 평등이 모든 X에 대해 유지되고, X는 코헨-매컬레이, Y는 정규이고, 더욱이 f는 닫힌 지점을 닫힌 지점에 매핑하고, f는 평탄하다.^[34]
• f가 충실하게 평탄한 경우, Y의 각 닫힌 부분 집합 Z에 대해 코딤_Y(Z) = 코딤_X(f⁻¹(Z))^[35]
• f가 평평하고 F가 Y에 대한 준 일관성 있는 모듈이라고 가정하자.F가 최대 n에 투영 치수를 갖는 경우, ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$∗ F ${\displaystyle f^{*}F}$는 최대 n에 투영 치수를 가진다$$.^[36]

강하 특성

• f가 X의 x에서 평평하다고 가정한다.X가 x에서 감소하거나 정상인 경우, Y가 f(x)에서 각각 감소하거나 정상인 경우.^[37]반대로 f도 유한표현이고 f⁻¹(y)가 각각 x에서 감소하거나 정상인 경우에는 x에서 각각 X가 감소하거나 정상이다.^[38]
• 특히 f가 충실하게 평탄한 경우 X가 감소하거나 정상이면 Y가 각각 감소하거나 정상임을 의미한다.f가 충실하게 평탄하고 유한한 표시라면 f의 모든 섬유는 X가 각각 감소하거나 정상이라는 것을 의미한다.
• f가 X의 x에서 평평하고, X가 x에서 통합 또는 통합적으로 닫힌 경우, Y는 f(x)에서 각각 통합 또는 통합적으로 닫힌다.^[39]
• 만약 f가 충실하게 평평하고 X는 국소적으로 통합되며 Y의 위상학적 공간은 국소적으로 noeterian이라면, Y는 국소적으로 통합된다.^[40]
• 만약 f가 충실하게 평평하고 준 콤팩트라면, 그리고 X가 국소적으로 누에테리아인이라면, Y도 국소적으로 누에테리아인이다.^[41]
• f가 평평하고 X와 Y가 지역적으로 noetheian이라고 가정하자.X가 x에서 규칙적인 경우, Y가 f(x)에서 규칙적인 경우.반대로 Y가 f(x)에서 정규이고 f⁻¹(f(x)가 x에서 정규라면 X는 x에서 정규이다.^[42]
• f가 평평하고 X와 Y가 지역적으로 noetheian이라고 가정하자.X가 x에서 정상이면 Y는 f(x)에서 정상이다.반대로 Y가 f(x)에서 정상이고 f⁻¹(f(x)가 x에서 정상이면 X는 x에서 정상이다.^[43]

G : Y′ → Y는 충실하게 평평하게 한다.Y에 대한 F를 준정합성 sheaf로 하고 F를 Y에 대한 풀백으로 한다.그 다음 F가 Y보다 평평한 경우에만 F가 Y보다 평평하다.^[44]

f는 충실하게 평평하고 준-컴팩트라고 가정한다.G를 Y에 대한 준정합성 sheaf가 되게 하고 F는 그 풀백을 X로 나타내도록 하라.그 다음 F는 유한형, 유한형 또는 G가 해당 속성을 갖는 경우에만 국소적으로 n등급이 없다.^[45]

f : X → Y는 S-schemes의 S-morphism이라고 가정하자.g : S′ → S는 충실하게 평탄하고 준컴팩트하며, X′, Y′, f′는 g에 의한 기저변화를 나타낸다.그리고 다음 속성 P 각각에 대해 f′이 P를 가지고 있다면 f는 P를 가지고 있다.^[46]

• 개방하다
• 닫힌
• 그것의 이미지 위에 준 컴팩트와 동형상.
• 동형동맥.

또한, 다음의 각 속성 P에 대해, f′에 P가 있는 경우에만 p가 있다.^[47]

• 보편적으로 개방되어 있다.
• 보편적으로 폐쇄됐지
• 보편적인 동형상주의.
• 준 컴팩트.
• 준 컴팩트하고 지배적이다.
• 준 컴팩트, 보편적으로 바이콘틴.
• 분리되었다.
• 준분리.
• 국소적으로 유한한 유형.
• 지역적으로 한정된 표현.
• 유한형.
• 유한 표시.
• 알맞다.
• 이형성.
• 단성형.
• 공개몰입.
• 준-컴팩트 몰입.
• 폐쇄적인 몰입.
• 아핀.
• 준아핀.
• 유한하다.
• 준마인드.
• 일체형.

f′은 국부적 몰입도 없이 국부적 이형성이 될 수 있다.^[48]

만약 f가 준법률이고 L이 X의 변위 불능 피복인 경우, 풀백 L′가 각각 f-샘플 또는 f-매우 풍만하다면 L은 f-샘플 또는 f-매우 풍만하다.^[49]그러나 f′이 projective일 경우에만 projective인 것은 사실이 아니다.만약 f가 적절하고 f′가 투영적이라면, f는 준투영적이라 해도, X로 내려가지 않는 f′-ample sheaf를 X′에 가질 수 있기 때문에, 그것은 사실이 아니다.^[50]

참고 항목

• fpqc 형태론
• 상대적 유효 카르티어 구분자, 평면 형태론의 예
• 변성(골격 기하학)

메모들

참조

• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960, ISBN 978-0-387-94269-8, 섹션 6.
• Serre, Jean-Pierre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique", Annales de l'Institut Fourier, 6: 1–42, doi:10.5802/aif.59, ISSN 0373-0956, MR 0082175
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 24. doi:10.1007/bf02684322. MR 0199181.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 28. doi:10.1007/bf02684343. MR 0217086.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157