소모스 수열

수학에서 소모스 수열은 아래에 기술된 특정 재발 관계에 의해 정의된 수의 순서다.그것들은 수학자 마이클 소모스에 의해 발견되었다.(분열을 수반하는) 재발을 정의하는 형태에서, 사람들은 순서들의 조건이 분수라고 예상할 수 있지만, 그럼에도 불구하고 많은 소모스 시퀀스들은 모든 구성원이 정수라는 속성을 가지고 있다.

반복 방정식

1보다 큰 정수 k의 경우, Somos-k 시퀀스 $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ 1, $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ a 1, $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ , $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ … $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ ) ${\displaystyle(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ 은 방정식으로 정의된다 $(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ .

{\displaystyle a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +a_{n-(k-1)/{n-(k+1)/2}}:

k가 홀수일 때 또는 유사 방정식으로

a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +(a_{n-k/2}})^{2}

k가 짝수일 때 초기 값과 함께

a_i = i < k의 경우 1

k = 2 또는 3의 경우, 이러한 반복은 매우 단순하며(우측에는 추가가 없음) 모두 원순서(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)를 정의한다.첫 번째 비교 사례인 k = 4에서 정의 방정식은

a_{n}a_{n-4}=a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}

반면 k = 5의 경우 방정식은 다음과 같다.

a_{n}a_{n-5}=a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}\,

이러한 방정식은 반복관계의 형태로 재배열할 수 있는데, 이 경우 반복의 왼쪽에 있는 값 a는_n 공식을 a로 나누어 우측의 공식으로 정의한다_{n − k}.k = 4의 경우, 이 경우 반복이 발생한다.

a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}}:{a_{n-4}}}

반면 k = 5의 경우 재발한다.

a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}{a_{n-5}}}.

소모스 시퀀스의 통상적인 정의에서 i < k에 대한 a 값은_i 모두 1로 설정되지만, 다른 초기 값과 동일한 반복을 사용하여 다른 시퀀스를 정의할 수도 있다.

시퀀스 값

Somos-4 시퀀스의 값은

1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ...(OEIS의 경우 순서 A006720).

Somos-5 시퀀스의 값은

1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, … (시퀀스 A006721 in OEIS)

Somos-6 시퀀스의 값은

1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, ...(시퀀스 A006722 in OEIS).

Somos-7 시퀀스의 값은

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, 1925, 7203, 34081, ...(시퀀스 A006723 in OEIS).

통합성

Somos 시퀀스를 설명하는 반복의 형태는 분할을 포함하며, 이러한 반복에 의해 정의된 시퀀스에 부분적인 값이 포함될 가능성이 있어 보인다.그럼에도 불구하고 k ≤ 7의 경우 Somos 시퀀스는 정수 값만 포함한다.몇몇 수학자들은 소모스 수열의 이 정수 속성을 증명하고 설명하는 문제를 연구했다; 그것은 군집 알헤브라의 조합론과 밀접한 관련이 있다.^[1]^[2]^[3]

k ≥ 8의 경우, 유사하게 정의된 시퀀스는 결국 분수 값을 포함한다.k < 7의 경우, (그러나 동일한 반복 관계를 사용) 초기 값을 변경하면 일반적으로 부분 값이 된다.

참조

^ Malouf, Janice L. (1992), "An integer sequence from a rational recursion", Discrete Mathematics, 110 (1–3): 257–261, doi:10.1016/0012-365X(92)90714-Q.
^ Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2002), "The Laurent phenomenon", Advances in Applied Mathematics, 28: 119–144, arXiv:math.CO/0104241.
^ Carroll, Gabriel D.; Speyer, David E. (2004), "The Cube Recurrence", Electronic Journal of Combinatorics, 11: R73, arXiv:math.CO/0403417.

외부 링크

[1] Malouf, Janice L. (1992), "An integer sequence from a rational recursion", Discrete Mathematics, 110 (1–3): 257–261, doi:10.1016/0012-365X(92)90714-Q.

[2] Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei (2002), "The Laurent phenomenon", Advances in Applied Mathematics, 28: 119–144, arXiv:math.CO/0104241.

[3] Carroll, Gabriel D.; Speyer, David E. (2004), "The Cube Recurrence", Electronic Journal of Combinatorics, 11: R73, arXiv:math.CO/0403417.

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