스팬(범주 이론)

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범주 이론에서, 스팬, 지붕 또는 대응은 한 범주의 두 개체 사이의 관계 개념을 일반화한 것이다.범주에 모든 풀백(그리고 소수의 다른 조건을 만족하는 경우)이 있는 경우, 스팬은 분수의 범주에서 형태라고 간주할 수 있다.

스팬의 개념은 요네다 노부오(1954년)와 장 베나부(1967년) 때문이다.

형식 정의

$스팬$은 타입 ${\displaystyle =}$= (${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \leftarrow }$0 →${\displaystyle }$+${\displaystyle }$1 ) ,${\displaystyle \Lambda =(-1\좌측$ 화살표 $0\우측$ 화살표 $+$1)의$$ 다이어그램이다$.$ 즉, $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Z}$ ${\$표시 스타일 Y\$좌측 화살표 X\우측$ 화살표 $Z}.$

즉, λ을 범주(-1 ← 0 → +1)로 한다.그 다음 범주 C의 스팬은 펑터 S : c → C이다.즉, 스팬은 C의 X, Y, Z의 세 개 객체로 구성되며, 형태론 f : X → Y, g : X → Z : 공통 영역을 가진 두 개의 맵으로 구성된다.

스팬의 콜리미트는 푸시아웃이다.

예

• If R is a relation between sets X and Y (i.e. a subset of X × Y), then X ← R → Y is a span, where the maps are the projection maps ${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{X}}{\to }}X}$ and ${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{Y}}{\to }}Y}$.
• 어떤 물체도 $A{\displaystyle }$ =${\displaystyle A}$= ${\displaystyle A;}$ ${\displaystyle A=A=A;}$ 형식적으로$$ 도표 A ← A → A를 산출하는데, 여기서 지도가 정체성이 된다.
• 보다 일반적으로${\displaystyle }\varphi {\displaystyle }$ : ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi \colon A\to$ B$}$을(를) 어떤 범주의 형태론이라고 합시다$$.사소한 범위 A = A → B가 있는데, 형식적으로는 도표 A ← A → B가 있는데, 여기서 왼쪽 지도가 A의 정체성이고, 오른쪽 지도가 주어진 지도 φ이다.
• M이 모델 범주인 경우, W가 약한 등가들의 집합인 경우, 왼쪽 형태론이 W에 $있는$ X${\displaystyle y}$Y → ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle$ X$\왼쪽 화살표$Y\$오른쪽 화살표$ Z$,}$ 형식의 범위는 일반화된 형태론(즉, "하나의 "약한 등가"를 삽입하는 경우)으로 간주할 수 있다.이것은 모델 카테고리를 다룰 때 흔히 볼 수 있는 관점이 아니라는 점에 유의하십시오.

코스판스

범주 C에 있는 코스판 K는 펑터 K^op : → → C; 동등하게, λ에서 to까지의 역변환 펑터다.즉, ${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ ${\displaystyle {\text{op}}^{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \leftarrow }$+ 1${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{op}=(-1\오른쪽 화살표$ 0$\왼쪽$ 화살표 $+1)=(-$$1$\오른쪽 화살표 0\1) 형식의 도표${\displaystyle ,}$ 즉$$ $Y{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ → X$\오른쪽 화살표 X\왼쪽$ 화살표 $Z$

따라서 C의 X, Y, Z 3개 대상과 F : Y → X 및 g : Z → X : 공통 코도메인이 있는 2개의 지도로 구성된다.

코스판의 한계는 풀백이다.

코스판의 예로는 두 다지관 M과 N 사이의 코보디즘 W를 들 수 있으며, 여기서 두 지도는 W의 포함이다.자갈이 코스칸이지만 자갈의 범주는 "코스칸 범주"가 아니라 "경계에 포함이 있는 다지관의 범주"에 있는 모든 코스칸의 범주가 아니라, M과 N이 W의 경계 구획을 형성해야 하는 요건이 전지구적 제약조건이기 때문이다.

유한차원 거미줄의 범주 nCob은 단도 콤팩트 범주다.보다 일반적으로 한계가 유한한 범주 C에 대한 범주의 스팬(C)도 단도 콤팩트하다.

참고 항목

• 이항관계
• 풀백(범주론)
• 푸시아웃(범주론)
• 코보르디즘

참조

• span in nLab
• 요네다, 노부오, 모듈의 호몰로지 이론에 대해서.J. Fac. Sci. 유니브 도쿄 종파 I,7 (1954년), 193–227.
• Bénabou, Jean, Bicategories 소개, 수학 강의 노트 47, Springer(1967), pp.1-77