범주의 지역화

수학에서, 범주의 국산화란 어떤 형태론의 집합에 대해 범주 역 형태론에 더하여, 그것들이 이형성이 되도록 구속하는 것으로 구성된다.이것은 공식적으로 반지의 국산화 과정과 유사하다; 그것은 일반적으로 이전에는 그렇지 않았던 물체를 이형화시킨다.예를 들어, 호모토피 이론에는 호모토피까지 변환할 수 없는 매핑의 많은 예들이 있다; 그래서 호모토피 등가 공간의^{[clarification needed]} 큰 종류도 있다.미적분은 지역화된 범주에서 일하는 또 다른 이름이다.

소개와 동기부여

범주 C는 이 물체들 사이의 형태와 물체로 구성된다.형태는 물체들 사이의 관계를 반영한다.많은 상황에서 C를 특정 형태변형이 이형화 될 수밖에 없는 다른 범주 C'로 대체하는 것은 의미가 있다.이런 과정을 현지화라고 한다.

예를 들어, R-모듈 범주(일부 고정환 R의 경우)에서 R의 고정요소 R에 의한 곱셈은 전형적으로 (즉, r이 단위가 아닌 한) 이형성이 아니다.

$M\to M\to M\quad m\mapsto r\cdot m.}$

R-모듈과 가장 밀접하게 관련되어 있지만, 이 지도가 이형성인 $경우$에는 R${\displaystyle }$[ S${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ -modules의$$ 범주로 판명되었다.Here ${\displaystyle R[S^{-1}]}$ is the localization of R with respect to the (multiplicatively closed) subset S consisting of all powers of r, ${\displaystyle S=\{1,r,r^{2},r^{3},\dots \}}$ The expression "most closely related" is formalized by two conditions: first, there is a fun콕콕 찌르다

${\displaystyle \varphi :{\text{Mod}_{R}\text{Mod}_{R}{R}}{R[S^-1}]}\quad M\mapsto M[S^{-1}]}}}}$

S에 대한 국산화 R-모듈 전송.또한 범주 C와 펑터(functor)를 지정한다.

${\displaystyle F:{\text{Mod}_{R}\to C}$

어떤 R-모듈(위 참조)에서 r에 의한 곱셈 맵을 C의 이형성으로 보내면, 독특한 펑터가 있다.

${\displaystyle G:{\text{Mod}_{R[S^{-1}]}\to C}$

그러한 $F{\displaystyle }$= ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F=G\circle \varphi$ $\}.$

카테고리의 현지화

R-module의 국산화 예는 다음과 같은 정의에서 추상화한다.이 모양에서, 그것은 더 많은 예에 적용되는데, 그 중 일부는 아래에 스케치되어 있다.

는 W더의 모든 morphisms 공식적으로, 보편적인 속성에 의해 특징 지어진다 반전에 의해 입수된 범주 C와 일부 클래스 Wmorphisms의 C을 감안할 때 국산화 C[W−1]은 또 다른 범주:는 자연스런 국산화 functor C→ C[W−1]과 다른 카테고리 D의, 함수 기호 F를 받는다:C[W−1]독특하게에 C→ D요소고. 단지 나는F는 W의 모든 화살을 이소모르파스로 보낸다.

따라서 범주의 국산화란, 존재하는 경우를 전제로 범주의 고유한 이형성에 이르기까지 고유한 것이다.국부화의 한 가지 구조는 그것의 물체가 C의 것과 동일하다고 선언함으로써 이루어지지만, 형태론은 W의 각 형태론에 대해 형식적인 역설을 추가함으로써 강화된다.W에 대한 적절한 가설 하에서 두 물체 X, Y 사이의 형태는 지붕에 의해 주어진다.

${\displaystyle X{\stackrel {f}{\왼쪽 화살표 }X'\오른쪽 화살표 Y}$

(여기서 X'는 C의 임의의 대상이며, f는 주어진 형태론의 등급 W에 있다), 특정 동등성 관계를 변조한다.이러한 관계는 "잘못된" 방향으로 가는 지도를 f의 역방향으로 바꾼다.그러나 이 절차는 일반적으로 X와 Y 사이에 적절한 종류의 형태론을 산출한다.전형적으로, 범주의 형태는 단지 집합을 형성하는 것이 허용된다.일부 저자들은 단지 그러한 이론적인 문제들을 무시한다.

모델 카테고리

이러한 세트이론적 이슈를 피해 카테고리의 엄격한 현지화 구성은 모델 카테고리 이론의 개발의 초기 이유 중 하나였다: 모델 카테고리 M은 맵의 세 등급이 있는 카테고리; 이 클래스들 중 하나는 약한 동등성의 등급이다.호모토피 범주 Ho(M)는 약한 동등성에 대한 국산화다.모델 범주의 공리는 이러한 국산화 작업이 정해진 이론적 어려움 없이 정의될 수 있음을 보장한다.

대체 정의

일부 저자들은 범주 C의 국산화도 특효약이자 공동증강화 펑터라고 정의한다.결합형 펑터는 L:C → C가 엔드옵터인 쌍(L인 쌍(L,l)이다.Id → L은 ID functor에서 L(공동증강이라고 함)으로 자연스럽게 변형된 것이다.모든 X에 대해 두 지도 L(l_X), L_L(X):L(X) → LL(X)이 모두 이형성인 경우, 공동증강 펑터는 단수성이다.이 경우 두 지도가 동일하다는 것을 증명할 수 있다.^[1]

이 정의는 위에 주어진 정의와 관련이 있다: 첫 번째 정의를 적용하면, 많은 상황에서 표준 $펑터{\displaystyle }$C →${\displaystyle C}$ [${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$]$${\$displaystyle$ C$\to$C[$W^{-1$뿐만 아니라 반대 방향의 펑터도 있다.

${\displaystyle C[W^{-1}]\to C}$

예를 들어, 링의$$ $국산화{\displaystyle }$ R${\displaystyle [{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\디스플레이 스타일$ R$[S^{-1}]$을 초과하는 모듈도 R 그 자체로 되어 있어 Functor를 제공한다.

${\displaystyle R[S^{-1}]-Mod\to R-Mod.}$

이 경우 작문은

$L:C\to C[W^{-1}]\to C}$

idempotent와 공동증강된 functor의 관점에서 C의 국산화다.

예

세레의 C이론

세레는 호모토피 이론에서 일하는 아이디어를 아벨리아 그룹의 C급에서 소개했다.이것은 예를 들어 A/B가 C에 놓여 있다면, 그룹 A와 B가 이형체로 취급된다는 것을 의미했다.후에 데니스 설리번은 토폴로지 공간의 국산화 대신 대담한 생각을 갖게 되었는데, 이는 기초적인 토폴로지 공간에 영향을 미쳤다.

모듈 이론

정류 링 R에 대한 모듈 이론에서, R이 Krull 치수 ≥ 2를 가지고 있을 때, M/N이 적어도 2개의 코디네이션을 지지한다면 모듈 M과 N을 사이비 이형성으로 취급하는 것이 유용할 수 있다.이 사상은 이와사와 이론에 많이 쓰인다.

파생 범주

아벨 범주에서 파생된 범주는 동질 대수학에서 많이 사용된다.준 이형성에 관한 체인 콤플렉스 범주(호모토피까지)의 국산화다.

이등생성까지의 아벨의 품종

아벨의 품종 A에서 다른 품종 B로 이등생하는 것은 유한한 커널을 가진 허탈적 형태론이다.아벨의 다양성에 대한 몇몇 이론들은 그들의 편리한 진술을 위해 아벨의 다양성에 대한 생각을 필요로 한다.예를 들어, A의 아벨리안 하위변수 A를₁ 주어진다면, A의 또 다른 하위변수₂ A가 있다.

A₁ × A₂

A에 대한 이등생성(Puincaré의 환원성 정리: 예를 들어 데이비드 뭄포드(David Mumford)의 아벨리안 품종 참조).이것을 직접 총량분해라고 부르려면, 우리는 이등분까지 아벨의 품종 범주에 들어가 일해야 한다.

관련개념

위상학적 공간의 국산화에는 또 다른 위상학적 공간이 생기는데, 그 위상학은 원래 공간의 호몰리학을 국산화한 것이다.

공간과 범주의 국산화 모두를 포함한 동음이의 대수학에서 훨씬 더 일반적인 개념은 모델 범주의 부스필드 국산화다.부스필드 현지화는 특정 지도가 약하게 동등해지도록 강요하는데, 이는 일반적으로 이등화현상이 되도록 강요하는 것보다 약하다.^[2]

참고 항목

• 단순 국산화

참조

Gabriel, Pierre; Zisman, Michel (1967). Calculus of fractions and homotopy theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-03777-6. MR 0210125.