풀백(범주론)

범주론에서 수학의 한 분야인 풀백(섬유 제품, 섬유 제품, 섬유 제품, 섬유 제품 또는 카르테시안 사각형이라고도 함)은 공통 코드인 X → Z와 g : Y → Z의 두 가지 형태변수로 구성된 도표의 한계다.풀백은 종종 쓰여진다.

P = X ×_Z Y

그리고 두 개의 자연 형태 P → X → P → Y를 갖추고 있다.두 가지 형태변수 f와 g의 풀백은 존재할 필요가 없지만, 있다면 그것은 본질적으로 두 형태변수에 의해 고유하게 정의된다.많은 상황에서 X ×_Z Y는 X에 X가 있는 원소(x, y)와 Y가 있는 원소(x, y)의 쌍으로 구성되어 있다고 직관적으로 생각할 수 있다.일반적 정의에는 보편적 특성이 사용되는데, 이는 기본적으로 풀백이 주어진 두 가지 형태론을 정류적 사각형으로 완성하는 "가장 일반적인" 방법이라는 사실을 나타낸다.null

풀백의 이중 개념은 푸시아웃이다.null

보편적 재산

명시적으로, 형태론 f와 g의 풀백은 물체 P와 두 개의 형태론 p : P₁ → X 및 p : P₂ → Y로 구성된다.

통근하다또한 풀백(P, p₁, p₂)은 이 다이어그램과 관련하여 보편적이어야 한다.^[1]즉, Q₁ : Q → X 및 Q₂ : Q → Y가 f q₁ = g q를₂ 가진 형태론인 다른 트리플(Q, Q, Q₁₂)에 대해서는 다음과 같은 고유한 u : Q → P가 존재해야 한다.

${\displaystyle p_{1}\disput u=q_{1},\qquad p_{2}\disput u=q_{2}.}$

이 상황은 다음과 같은 대응 도표에 설명되어 있다.null

모든 보편적인 구조와 마찬가지로, 풀백은 존재한다면, 이소모르퍼리즘에 따라 독특하다.실제로 같은 코스판 X → Z ← Y의 두 개의 풀백(A, a, a₁, a₂, a)과 (B₁, b, b₂)로 볼 때 풀백 구조를 존중하는 A와 B 사이에 독특한 이형성이 존재한다.null

풀백 및 제품

풀백은 제품과 비슷하지만 동일하지는 않다.어떤 사람은 형태 f와 g가 존재한다는 것을 "잊어버리고" 물체 Z가 존재한다는 것을 잊음으로써 제품을 얻을 수 있다.그 다음 하나는 두 물체 X와 Y만 포함하는 이산형 범주로 남겨지고 그 사이에 화살표가 없다.이 이산형 범주는 일반 바이너리 제품을 구성하기 위한 인덱스 세트로 사용될 수 있다.따라서 풀백은 일반(카르트) 제품으로 생각할 수 있지만, 추가적인 구조로 생각할 수 있다.Z, f, g를 「잊어버리는」 대신, Z를 단말 물체(존재한다고 가정)로 특화시켜 「트라이버라이징」할 수도 있다.f와 g는 그 후에 독특하게 결정되어 어떠한 정보도 가지고 있지 않으며, 이 코스판의 풀백은 X와 Y의 산물이라고 볼 수 있다.

예

정류 링

(정체성을 가진) 정류 링의 범주에서 풀백을 섬유제품이라고 한다.A, B, C를 (정체성을 가진) 교감 고리(정체성을 가진)로 하고 α : A → C와 β : B → C(정체성을 보존하는) 고리 동형성(정체성을 보존하는)이 되도록 한다.그러면 이 다이어그램의 풀백이 존재하며, 다음에 의해 정의된 제품 링 A × B의 서브링에 의해 주어진다.

${\displaystyle A\times _{C}B=\left\{(a,b)\in A\times B\;{\big }\;\alpha(a)=\b)\beta\right\}}}}}$

형태와 함께.

${\displaystyle \colon A\time _{C}B\to A,\qquad \alpha '\colon A\time_{C}B}$

given by ${\displaystyle \beta '(a,b)=a}$ and ${\displaystyle \alpha '(a,b)=b}$ for all ${\displaystyle (a,b)\in A\times _{C}B}$. We then have

$\displaystyle \cHB \cHB \cHB \cHB \cHB '.}$

그룹 및 모듈

위의 정류 링의 예와 완전히 유사하게, 모든 풀백이 어떤 고정 링 위에 있는 그룹의 범주와 모듈의 범주에 존재한다는 것을 보여줄 수 있다.null

놓다

세트 카테고리에서 함수 f : X → Z, g : Y → Z의 풀백은 항상 존재하며 집합에 의해 주어진다.

$X\time _{Z}Y=\{(x,y)\in X\time Y f(x)=g(y)\}=\bigcup _{z\in f(X)\cap g(Y)}f^{-1}[\z\}]\time g^{-1}[\z\}}],},},}$

투영 지도 π과₁ X ×_Z Y에 대한 π의₂ 제한과 함께.

또는 Set에서 비대칭적으로 풀백을 볼 수 있다.

$X\time _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\coprod _{y\in Y}f^{1}[\{g(y)\}]}}$

여기서 $\coprod {\displaystyle }$ ${\displaystyle \coprod }$은(는) 집합의 분리 결합이다(f resp. g가 주입되지 않는 한 관련 집합은 자체 분리되지 않는다).첫 번째 경우, 투영 π은₁ X 지수를 추출하는 반면 π은₂ 지수를 잊어버려 Y의 요소를 남긴다.

이 예는 풀백을 특징짓는 또 다른 방법에 동기를 부여한다: 형태론 f ∘ p₁₂, g ∘ p : X : X × Y → Z의 등가제로서, 여기서 X × Y는 X와 Y의 2진법이고 p와 p는₁₂ 자연 투영이다.이것은 풀백이 바이너리 제품과 이퀄라이저와 함께 모든 범주에 존재한다는 것을 보여준다.사실, 한계에 대한 존재 정리에 의해, 모든 유한한 한계는 이진 제품과 이퀄라이저를 가진 범주에 존재한다. 동등하게, 모든 유한한 한계는 단자 객체 및 풀백을 가진 범주에 존재한다(이진 제품 = 단자 객체에서의 풀백, 그리고 이퀄라이저가 이진 제품을 포함하는 풀백이라는 사실에 의해).null

섬유다발

풀백의 또 다른 예는 풀백 번들 이론에서 온다: 번들 맵 : : E → B와 연속 맵 f : X → B로 볼 때 풀백(연속 맵으로 위상적 공간 범주에 형성됨) X ×_B E는 풀백 번들이라 불리는 X 위에 있는 섬유 번들이다.관련 정류 도표는 섬유 묶음의 형태론이다.null

사전 이미지 및 교차점

기능에 따른 세트의 사전 설정은 다음과 같이 풀백(pullback)으로 설명할 수 있다.

f : A → B, B₀ ⊆ B. g를 포함 지도₀ B ↪ B가 되게 한다.그런 다음 preimage⁻¹ f[B₀]가 preimage f[B]와 함께 f와 g(세트 내)의 풀백을 준다.

f⁻¹[B₀] ↪ A

f to f⁻¹[B₀]의 제한

f⁻¹[B₀] → B₀.

이 예 때문에, 일반적인 범주에서 형태론 f와 단형주의 g의 풀백은 g가 지정한 서브 오브젝트의 f 아래에 있는 "premage"로 생각할 수 있다.마찬가지로, 두 개의 단형성의 후퇴는 두 개의 하위 객체의 "간격"으로 생각할 수 있다.null

최소공통배수

양의 정수 Z의₊ 승수 단모형을 하나의 객체를 가진 범주로 간주한다.이 범주에서, 두 양의 정수 m와 엔의 하락은 단지 한쌍(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}m의 분자 둘 다 최소 공배수와 n..mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆬLCM(m, n)/m, LCM(m, n)/n),같은 쌍이 푸시 아웃이기도 하다.null

특성.

• 단자 객체 T가 있는 범주에서 풀백 X ×_T Y는 그냥 일반 제품 X × Y이다.^[2]
• 풀백(pullback) 하에서는 단형성이 안정적이다. 도표상의 화살표 f가 단형이라면, 화살표 p도₂ 그렇다.마찬가지로 g가 모닉이라면 p도₁ 마찬가지다.^[3]
• 이소모르프스 또한 안정적이며, 따라서 예를 들어 어떤 지도 Y → X에 대해서도 X ×_X Y ≅ Y (잠시 지도 X → X가 정체인 경우)가 된다.
• 아벨 범주에서는 모든 풀백이 존재하며,^[4] 다음과 같은 의미로 커널을 보존한다.

풀백 도표, 그렇다면 유도 형태론 ker(p₂) → ker(f)는 이형성이며,^[5] 유도 형태론 ker(p₁) → ker(g)도 마찬가지다.따라서 모든 풀백 다이어그램은 모든 행과 열이 정확한 다음 형식의 대응 다이어그램을 제공한다.

${\displaystyle{\begin{배열}{ccccccc}&,&&&0&,&0\\&,&&&\downarrow&&\downarrow \\&,&&&L&, =&.L\\&,&&&\downarrow&&\downarrow \\0&, \rightarrow&K&, \rightarrow&.P&, \rightarrow&Y\\&,&\parallel&&\downarrow&&\downarrow \\0&, \rightarrow&K&, \rightarrow&X&, \rightarrow&Z\end{배열}}}.$

나아가 아벨론 범주에서 X → Z가 경구형이라면 그 풀백 P → Y, 대칭적으로 Y → Z가 경구형이라면 그 풀백 P → X. 이런 상황에서는 풀백 사각형도 역시 푸시아웃 사각형이다.^[6][7]

• 자연 이형성(A×_CB)×_BD ≅ A×_CD가 있다.명시적으로 이는 다음을 의미한다.
  • 지도 f : A → C, g : B → C, h : D → B가 주어지고
  • f와 g의 풀백은 r : P → A와 s : P → B에 의해 주어지고
  • s와 h의 풀백은 t : Q → P, u : Q → D ,
  • f와 gh의 풀백은 rt : Q → A, u : Q → D로 주어진다.

그래픽적으로 이것은 두 개의 풀백 사각형이 나란히 배치되고 하나의 형태론을 공유하는 것을 의미하며, 내부의 공유 형태주의를 무시할 때 더 큰 풀백 사각형을 형성한다.

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}Q&{\xrightarrow {t}}&P&{\xrightarrow {r}}&A\\\downarrow _{u}&&\downarrow _{s}&&\downarrow _{f}\\D&{\xrightarrow {h}}&B&{\xrightarrow {g}}&C\end{array}}}$

• 풀백과 제품이 있는 모든 범주는 이퀄라이저를 가지고 있다.

약한 풀백

cospan X → Z y Y의 약한 풀백은 약하게만 보편적인 cospan 위의 원뿔, 즉 위의 mediation morphism u : Q → P가 고유할 필요는 없다.null

참고 항목

• 차동 형상의 풀백
• 관계 대수학에서의 에퀴조인
• 계획의 섬유 제품

메모들

참조

• 아다멕, 지지, 에를리히, 호르스트, 앤 스트래커, 조지 E; (1990).추상 및 구체적 범주(4.2)MB PDF).원래 public.존 와일리 & 선즈.null ISBN0-471-60922-6(현재 무료 온라인판).
• Cohn, Paul M.; Universal Ma.네덜란드 레이델 출판사, ISBN 90-277-1213-1 (원래 1965년, 하퍼 & 로에 의해 출판됨)
• Mitchell, Barry (1965). Theory of Categories. Academic Press.

외부 링크

• 유한 집합 범주에 풀백의 예를 생성하는 대화형 웹 페이지.조슬린 페인이 썼어
• nLab에서 풀백