스파크(수학)

수학에서 더 $구체적$으로 선형대수학에서 m ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\times n}$ 행렬$$ A ${\displaystyle A}$의 스파크는 선형 종속적인 A ${\displaystyle A}$에 k ${\displaystystyle k}$ 열$$ 집합이 존재할 정도로$$ 가장 작은 $정수{\displaystyle }$ k ${\displaysty k}$이다.모든 열이 선형적으로 독립된 경우, ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$k (${\displaystyle A}$ )$${\$displaystyle \mathrmatrm {spark}$ ($A)}$은(는) 행 수보다 1 더 많은 값으로 정의된다$$.매트릭스 스파크의 개념은 오류 수정 코드, 압축 감지 및 매트로이드 이론에서 응용 프로그램을 찾아내고 선형 방정식 시스템에 대한 해법의 최대 첨사성을 위한 간단한 기준을 제공한다.

매트릭스의 스파크는 계산하기 어려운 NP이다.

정의

형식적으로 매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 스파크는 다음과 같이 정의된다$$.

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$은(는) 0이 아닌 벡터이고${\displaystyle }$and ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$\$d\ _{0}$은(는) 0이 아닌 계수 수를 나타낸다.^[1]동등하게, 매트릭스 $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$의 스파크는 가장$$ 작은 $회로{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$의 크기($A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A_{C}x=0}})$이다^[1].$$

모든 열이 선형적으로 독립된 경우 $s{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ (${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \mathrm$ {$spark} (A)}$은${\displaystyle (}$는) 일반적으로$$m + 1 {\$displaystyle m+1}($$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 m 행이 있는 경우)로 정의된다$$.$$^[2][3]

대조적으로 행렬의 순위는 가장 큰 $숫자{\displaystyle }$ $k{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle k}$이며, A ${\displaystyle A}$의 $일부{\displaystyle }$ k {\$displaystyle k}$ 열 세트는 선형$$ 독립적이다.^{[citation needed]}

예

$다음{\displaystyle }$ 행렬 A {\$displaystyle$ A}을$(를)$ 고려하십시오$.$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&0&1\1&0&2\1&0&2\1&0&3&4\end{bmatrix}}}$

이 행렬의 스파크는 다음과 같은 이유로 3과 같다.

• 선형 종속적인$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 열 집합은 없다.
• 선형 종속적인$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 두 열 집합은 없다.
• 그러나 선형 종속적인$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 세 개의 컬럼이 있다.The first three columns are linearly dependent because ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2\\2\\2\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{3}}{\b$$egin{pmatrix}0\\0\\\0\\\-3\end{pmatrix}={\\pmatrix}0\\0\end{pmatrix$

특성.

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n\geq$ m$\}$인 경우, 다음 단순 속성은 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \times }$ n ${\displaystyle m\times$ n$} 행렬$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 스파크를 유지한다$.$

• ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ (${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= m${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle r\mathrm{}}$ a ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$ (${\displaystyle }$A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \matrm {spark}(A)=m+1\Rightarrow \matrum {rank}(A)=m$$\}($스파크가 ${\displaystyle \mathrm{m}}$+ 1 ${\displaystystym m+1}$이면 행렬이 전체 순위를 갖는다.)
• ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$ (${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm$ {$spark}(A)=1} 행렬$에 0 열이 있는 경우에만 해당된다$$.
• ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle k}$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle r\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrmat {spark} (A)\leq \mathrmatrm {rank} (A)+1$^{[citation needed]}

희소성 용액의 고유성 기준

스파크는 선형 방정식 시스템의 희박한 용액의 고유성에 대한 간단한 기준을 제시한다.^[4]일차 방정식 시스템}. x)b{\displaystyle A\mathbf{)}=\mathbf{b}을 감안할 때 만약 이 시스템 대한 해결책을 했다{\displaystyle \mathbf{)}}을 충족 ‖)‖ 0<>매우 p는 rk(A)2{\displaystyle)\mathbf{)}\와 같이 _{0}<,{\frac{\mathrm{스파크}(A)}{2}}}, 이 해결 방법은sparsest possibl.esolunion. 여기서 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \Vert {}_{}}$ 0 ${\$은 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ x ${\$0이 아닌 항목 수를 나타낸다$$$.$

사전 일관성 측면에서 하한

행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 열이 단위 표준으로 정규화되면$$ 사전 일관성 측면에서 스파크를 낮출 수 있다.^[5][2]

${\displaystyle \mathrm {spark}(A)\geq 1+{\frac {1}{\mu(A)}}}}$

여기에서 사전 일관성 $\mu {\displaystyle (A}$) ${\displaystyle \mu(A)}$은 두 열 간의 최대 상관 관계로 정의된다$$.

${\displaystyle \mu (A)=\max _{m\neq n} \langle a_{m},a_{n}\rangle =\max _{m\neq n}{\frac { a_{m}^{\intercal }a_{n} }{ a_{m} _{2} a_{n} _{2}}}}$.

적용들

선형 코드의 최소 거리는 패리티 검사 매트릭스의 스파크와 같다.

스파크의 개념은 다양한 추정 기법의 안정성과 일관성을 보장하기 위해 측정 매트릭스의 스파크에 대한 요건이 사용되는 압축 감지 이론에도 사용된다.^[6]매트로이드 이론에서도 행렬의 기둥과 연관된 벡터 매트로이드의 둘레로 알려져 있다.매트릭스의 스파크는 계산하기 어려운 NP이다.^[1]

참조