구면 진자

구면 진자: 각도와 속도.

물리학에서 구형 진자는 진자의 더 높은 차원의 유사체이다.그것은 구면에서 마찰 없이 움직이는 질량 m으로 구성되어 있다.질량에 작용하는 유일한 힘은 구와 중력으로부터의 반응이다.

문제의 구면 기하학 때문에 구면 좌표를 사용하여 질량 위치를 (r, θ, θ)로 기술한다.여기서 r은 고정된다.r=l이다.

라그랑주 역학

Lagrangian $L=T-V$ $L=T-V$ T - $L=T-V$ $=$ T - V （ \ $display style$ L = $T$ = T $L=T-V$ - V ） $L=T-V$ v v （ \ $displaystyle$ L= T - V $L=T-V$ ）の $T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ v v t （ \ displaystyle L = $T$ - V $）の$ $V$ of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of of $T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ of of 1 1 1 1 1 of 여기에서는 다이어그램에 표시된 규칙에 따라

\displaystyle x=l\sin \theta \cos \phi }

\displaystyle y=l\sin \theta \sin \phi }

z=l(1-\cos \theta )

z=l(1-\cos \theta )

(

z=l(1-\cos \theta )

1 -

z=l(1-\cos \theta )

z=l(1-\cos \theta )

)

{\

z=l(1-\cos \theta )

displaystyle

z

=l

( 1 - \

cos

\

theta

)

z=l(1-\cos \theta )

} 。

다음으로, 이 좌표들의 시간 도함수를 취하여 축을 따라 속도를 구한다.

({displaystyle {x}}=l\cos \cos \phi},{\dot {theta }}-l\sin \theta \sin \phi },{\dot {phi }

{y}=l\cos \theta \sin \phi},{\dot {theta }+l\sin \theta \cos \phi },{\dot {phi }

{\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}

{\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}

{\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}

sin

=

l sin

{\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}

display

displaystyle

{ dot {

{\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}

z } = l \

sin

\

theta

} 、 { \ dot { \

theta }

{\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}

따라서,

\displaystyle v^{2}={\dot {y}^{2}+{\dot {z}^2}=l^{2}\left\dot\{theta }^{2}+\sin ^2}\theta,{\dot {phi }^{2}\right}

그리고.

({displaystyle T=tfrac {1}{2})mv^{2}=tfrac {1}{2}\left tfrack {2}\dot {\theta }{2}+\sin ^{2}\theta },{\dot {\phi } {2}\right})

({displaystyle V=mg,z=mg,l(1-\cos \theta)}

라그랑지안은, 일정한 부분을 제거한 채로^[1],

L=mglfrac {1}{2}ml^{2}\left\dot {\theta }^{2}+\sin ^{2}\theta \(\dot {\phi }}^{2

극각 $\theta$ θ(\displaystyle \ $theta)$ 를 포함하는 오일러-라그랑주 방정식

{d} {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac = 0

주다

{\frac {d}{dt}\left(ml^{2}{\dot {theta }}-ml^{2}\sin \theta,{\dot {phi }}^{2}+mgl\sin \theta =0

그리고.

{ddot {theta }=\sin \theta \cos \theta {dot {phi }^{2}-{\frac {g}}\sin \theta

${\dot {\phi }}=0$ ${\dot {\phi }}=0$ ${\dot {\phi }}=0$ { style \ $display$ \ $dot$ \ $phi$ } $= 0일$ 때 방정식은 단순 중력 진자의 움직임에 대한 미분 방정식으로 감소합니다.

마찬가지로 $(\displaystyle\phi$ 를 포함하는 오일러-라그랑주 방정식,

\displaystyle \frac {d} {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac = 0}

주다

{\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0

{\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0

t

{\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0

(

{\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0

{\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0

{\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0

{\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0

{\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0

)

=

{\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0

( \

displaystyle

{

frac

{

d

} {

dt

} \

sin

^ { 2

{\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0

} \

sin

^ { 2 } \

theta

\

cdot \ phi

}

= 0

} 。

마지막 방정식은 수직 축 주위의 각 $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ 인 L $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ ⁡ × $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ × $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ display $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ \ $displaystyle$ \ $mathbf$ { $L } _$ { $z } = l\sin$ \ $theta \times ml$ \sin \theta }, {\ $dot$ { $phi$ }}}}가 $|\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}$ 보존됨을 보여줍니다. $ml^{2}\sin ^{2}\theta$ $ml^{2}\sin ^{2}\theta$ $ml^{2}\sin ^{2}\theta$ $ml^{2}\sin ^{2}\theta$ $ml^{2}\sin ^{2}\theta$ 2 $ml^{2}\sin ^{2}\theta$ {\ $（$ { $displaystyle$ ml $^{2}\sin$ ^{ $2}\theta$ } ）는 $ml^{2}\sin ^{2}\theta$ 아래의 해밀턴 공식에서 역할을 합니다.

$【\displaystyle \phi】$ 의 $\phi$ 진화를 결정하는 2차 미분방정식은 다음과 같다.

sin

-

{\ddot {\phi }}\,\sin \theta =-2\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\phi }}\,\cos \theta

-

cos cos

、 {

displaystyle

\

dot

\ phi } , \

sin

\ theta

=

- 2, { \

dot

\ theta } , { \

dot

\ theta

{\ddot {\phi }}\,\sin \theta =-2\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\phi }}\,\cos \theta

} , { \

cos

\ theta

{\ddot {\phi }}\,\sin \theta =-2\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\phi }}\,\cos \theta

。

라그랑지안에 존재하지 않는 $(\displaystyle\phi$ 는 순환 좌표이며, 이는 공역 운동량이 운동 상수임을 의미합니다.

원추형 진자는 $=$ $(디스플레이$ 스타일 {\ $theta$ }) 및 $($ 스타일 ${\phi$ }}) $이$ ${\dot {\phi }}$ 시간에 의존하지 않는 상수인 특수 솔루션을 말합니다.

해밀턴 역학

해밀턴호는

\displaystyle H=P_{\theta}{\dot {\theta}}+P_{\phi}{\dot {\phi }}-L}

여기서 켤레 모멘타는

P_{\theta } = partial {\dot {\theta }} =ml^{2}\cdot {\theta

그리고.

P

\theta \cdot \dot \phi }

P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \cdot {\dot {\phi }}

좌표와 순간의 관점에서 보면

H=\underbrace {\frac {1}{2}+{\frac {1}{2}+{2}+{2}\sin^{2}\the ta {\phi }{2}\{right}_{T}+{bigcos}{g

해밀턴 방정식은 4개의 1차 미분 방정식에서 좌표와 모멘타의 시간 진화를 제공할 것이다.

{\theta }= {P_{\theta} \over ml^{2}

({displaystyle {dot {phi }}={P_{\phi }\over ml^{2}\sin ^{2}\theta })

{P_{\theta}}={P_{\phi}^{2}\over ml^{3}\theta}\cos \theta - mgl\sin \theta

{P_{\phi }}=0

$P_{\phi }$ P $P_{\phi }$ { \ $displaystyle$ P _ { \ $phi }$ }는 $P_{\phi }$ 움직임의 상수입니다.그것은 수직축 ^{[dubious – discuss]}주위에 있는 시스템의 회전 대칭의 결과입니다.

궤적

구형 추의 궤적.

구면상의 질량의 궤적은 총 에너지 표현으로부터 얻을 수 있다.

E=\underbrace {\frac {1}{2}+{\frac {1}{2}+{2}+{2}\sin^{2}\theta {{dot {phi }{2}\right}_{T}+{bigcos}{g

$L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}$ $L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}$ z $L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}$ $L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}$ l $L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}$ $L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}$ 2 $L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}$ $L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}$ display display display $（$ \ $displaystyle L$ _ {z } = $ml^{2}\sin$ ^{ $2}\!$ \^[1] $theta \,{\dot {phi$ }}는 $L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}$ 시간과 무관한 운동 상수입니다 $.$ 이것은 중력이나 구로부터의 반응이 이 각운동량의 구성요소에 영향을 미치는 방향으로 작용하지 않기 때문에 사실이다.

이런 이유로

E=milfrac {1}{2}ml^{2}{\dot {\theta }^{1}{2}{\frac {L_{z}^2}\sin ^{2}}-mgl\cos \theta

\displaystyle \frac {d\theta }{dt}\right}^{2}=blac {2}{lfrac {1}{2}{\frac {L_{z}{2}{ml^{2}\sin ^2}\ta }+glcos}\left

$\theta$ 값은 $§(\displaystyle \theta)$ 의 첫 번째^[1] 종류의 타원 적분으로 이어집니다.

t(\theta)=sqrt {\tfrac {1}ml^{2}\int \left [E-{\frac {1}{2}{\sin ^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\frcos {1}{frac {\frc

$\phi$ 번째 종류의 타원 적분 {\ $\phi$ {\ $displaystyle \phi$ }

θ

ta }

。

각도 $\theta$ (\ $displaystyle \theta)$ 는 $\theta$ ^[1]위도의 두 원 사이에 있습니다.

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

>

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

z

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

2

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

2

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

-

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

{\ {\

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

display

E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta

display displaydisplay （ \

display

E > { \

frac

{ {

}

{ {

}

{ \

frac

{

L

_ {

z

} {2} \

sin ^{2}

^{

2}

} -

mgl

\ cos \

theta

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c ^d Landau, Lev Davidovich; Evgenii Mikhailovich Lifshitz (1976). Course of Theoretical Physics: Volume 1 Mechanics. Butterworth-Heinenann. pp. 33–34. ISBN 0750628960.

추가 정보

Weinstein, Alexander (1942). "The spherical pendulum and complex integration". The American Mathematical Monthly. 49 (8): 521–523. doi:10.1080/00029890.1942.11991275.
Kohn, Walter (1946). "Countour integration in the theory of the spherical pendulum and the heavy symmetrical top". Transactions of the American Mathematical Society. 59 (1): 107–131. doi:10.2307/1990314. JSTOR 1990314.
Olsson, M. G. (1981). "Spherical pendulum revisited". American Journal of Physics. 49 (6): 531–534. Bibcode:1981AmJPh..49..531O. doi:10.1119/1.12666.
Horozov, Emil (1993). "On the isoenergetical non-degeneracy of the spherical pendulum". Physics Letters A. 173 (3): 279–283. Bibcode:1993PhLA..173..279H. doi:10.1016/0375-9601(93)90279-9.
Richter, Peter H.; Dullin, Holger R.; Waalkens, Holger; Wiersig, Jan (1996). "Spherical pendulum, actions and spin". J. Phys. Chem. 100 (49): 19124–19135. doi:10.1021/jp9617128.
Shiriaev, A. S.; Ludvigsen, H.; Egeland, O. (2004). "Swinging up the spherical pendulum via stabilization of its first integrals". Automatica. 40: 73–85. doi:10.1016/j.automatica.2003.07.009.
Essen, Hanno; Apazidis, Nicholas (2009). "Turning points of the spherical pendulum and the golden ratio". European Journal of Physics. 30 (2): 427–432. Bibcode:2009EJPh...30..427E. doi:10.1088/0143-0807/30/2/021.
Dullin, Holger R. (2013). "Semi-global symplectic invariants of the spherical pendulum". Journal of Differential Equations. 254 (7): 2942–2963. doi:10.1016/j.jde.2013.01.018.

[:0-1] Landau, Lev Davidovich; Evgenii Mikhailovich Lifshitz (1976). Course of Theoretical Physics: Volume 1 Mechanics. Butterworth-Heinenann. pp. 33–34. ISBN 0750628960.

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