오일러-라그랑주 방정식

변분법과 고전역학의 미적분학에서 오일러-라그랑주 방정식은^[1] 주어진 작용함수의 정지점이 되는 2차 상미분 방정식 체계입니다. 이 방정식들은 1750년대에 스위스 수학자 레온하르트 오일러와 이탈리아 수학자 조셉 루이 라그랑주에 의해 발견되었습니다.

미분 가능한 함수는 국소 극한에서 정지되어 있기 때문에 오일러-라그랑주 방정식은 어떤 함수가 주어지면 함수를 최소화하거나 최대화하는 함수를 찾는 최적화 문제를 해결하는 데 유용합니다. 이것은 미분 가능한 함수가 국소 극한에 도달하는 어떤 지점에서도 도함수는 0이라고 말하는 미적분학의 페르마의 정리와 유사합니다. 라그랑주 역학에서 해밀턴의 정지 작용의 원리에 따라 물리계의 진화는 계의 작용에 대한 오일러 방정식의 해에 의해 설명됩니다. 이런 맥락에서 오일러 방정식은 일반적으로 라그랑주 방정식이라고 불립니다. 고전역학에서는 ^[2]뉴턴의 운동 법칙과 동일하며, 실제로 오일러-라그랑주 방정식은 뉴턴의 법칙과 동일한 방정식을 생성할 것입니다. 이는 힘 벡터가 특히 복잡한 시스템을 분석할 때 특히 유용합니다. 어떤 일반화 좌표 체계에서도 동일한 형태를 취하며, 일반화에 더 적합하다는 장점이 있습니다. 고전적인 장 이론에는 장의 역학을 계산하는 유사한 방정식이 있습니다.

역사

오일러-라그랑주 방정식은 1750년대에 오일러와 라그랑주가 오토크로인 문제에 대한 연구와 관련하여 개발되었습니다. 이것은 가중된 입자가 시작점과 무관하게 고정된 시간에 고정된 지점으로 떨어질 곡선을 결정하는 문제입니다.

라그랑주는 1755년에 이 문제를 풀었고 그 해결책을 오일러에게 보냈습니다. 둘 다 라그랑주의 방법을 더욱 발전시켜 역학에 적용함으로써 라그랑주 역학이 탄생하게 되었습니다. 그들의 대응은 결국 1766년 오일러 자신이 만든 용어인 변량의 미적분학으로 이어졌습니다.^[3]

진술

$(X,L)$ $(X,L)$ $(X, L)$ 을 n $n$ 자유도를 갖는 $n$ 실제 동적 시스템이라고 가정합니다 $(X,L)$ . 여기서 $X$ $X$ 는 구성 $L=L(t,{\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {v}})$ 이고 L = L $L=L(t,{\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {v}})$ $q,$ v) {\displaystyle L = L(t, {\boldsymbol {q}}, {\boldsymbol {v}} 라그랑지안 ${\boldsymbol {q}}\in X,$ 즉 q ∈ X와 같은 매끄러운 실수 함수입니다. ${\boldsymbol {q}}\in X,$ and ${\boldsymbol {v}}$ is an $n$ -dimensional "vector of speed". (For those familiar with differential geometry, $X$ is a smooth manifold, and $L:{\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },$ ${\displaystyle L:{\mathbb {R}}_{t}\times TX\to {\mathbb {R}},$ 여기서 $L:{\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },$ $TX$ $TX$ 는 $TX$ $X).$ 의 접선 번들입니다 $X).$ ${\displaystyle X).$ $}$

${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ${\displaystyle {\cal {P}}(a,$ b, ${\boldsymbol {x}}_{a$ }, ${\boldsymbol {x}_{b})}$ 를 매끄러운 경로 ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ 이라고 하자 ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ [ ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ b ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ → ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}:$ [ $a,$ $b]$ ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ $(a)$ ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ $=$ x $a$ $displaystyle {\boldsymbol$ { $q}}($ ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ ) $=$ ${\$ boldsymbol {x}_{a}} 및 q(b) $=$ x b. {\displaystyle {\boldsymbol {q}(b) $=$ {\boldsymbol {x}_{b}입니다 $.$ $}$

액션 함수 $S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ : $S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ ( $S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ b $S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ x $S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ $S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ $S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ ) → $S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ $S:{\cal {P}$ ( $a,$ b, ${\boldsymbol {x}}_{a$ }, ${\boldsymbol {x}}_{b})\ to \mathbb {R}}$ 은 다음을 통해 정의됩니다.

S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.

$경로$ ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ∈ ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ ( ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ , ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ b, $,$ x b) ${\displaystyle {\boldsymbol$ { $q}}\in {\cal$ { $P}}(a$ , b, ${\boldsymbol$ { $x}}$ _{a}, ${\boldsymbol {x$ }_{b})}는 S ${\displaystyle$ S $}$ 의 $S$ 이며, 다음과 같은 경우에만 해당됩니다.

${\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}(t))-{\frac {\mathrm {d} t}{\partial L}{\partial {\dot {q}^{i}}(t,{\boldsymbol {q}}(t)=0,\quad i=1,\n$

여기서 ${\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ ˙(t) ${\displaystyle$ {\ $dot {\boldsymbol$ {q}}(t)}(t)는 ${\boldsymbol {q}}(t).$ q $(t$ )의 시간 ${\boldsymbol {q}}(t).$ 입니다. ${\displaystyle {\boldsymbol$ {q}}(t). $}$ 우리가 정지점이라고 말할 때 ${\boldsymbol {q}}(t).$ , 우리는 ${\boldsymbol {q}}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol$ {q $}}$ 의 작은 섭동에 $S$ $대한$ S {\ $displaystyle$ S}의 정지점을 의미합니다 ${\boldsymbol {q}}$ 더 엄격한 세부 사항은 아래 증명을 참조하십시오.

1차원 오일러-라그랑주 방정식의 유도

수학에서 고전적인 증명 중 하나는 1차원 오일러-라그랑주 방정식의 유도입니다. 그것은 변주의 미적분학의 근본적인 보조에 의존합니다.

$f(a)=A$ 조건 f( $f(a)=A$ = A $f(a)=A$ displaystyle f( $f(a)=A$ )=을 만족하는 함수 $f$ ${\$ $displaystyle$ f $}$ 를 구하고자 합니다. $A$ $f(b)=B$ $=$ ${\$ displaystyle f(b) $=$ B}, 기능을 극단화하는

J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .

$L$ 는L {\ $displaystyle L}$ 이 $L$ 연속적으로 미분 가능하다고 가정합니다.^[4] 더 약한 가정을 사용할 수 있지만 증명이 더 어려워집니다.^{[citation needed]}

$f$ $f$ 가 경계 조건에 따라 함수 대상을 $f$ 극단화하는 경우, 그런 다음 $경계$ 값을 보존하는 $f$ f $f$ 의 약간의 섭동은 $J$ ${\displaystyle$ $J$ $}$ 을( $J$ $f$ ${\displaystyle$ f $}$ 이 $f$ 최소화기인 경우) 증가시키거나 J $J$ 을( $J$ $f$ $f$ 이 $f$ 최대화기인 경우) 감소시켜야 합니다.

$f+\varepsilon \eta$ + $f+\varepsilon \eta$ ε η {\displaystyle $f+\varepsilon$ \eta}를 f $displaystyle$ f}의 그러한 $\varepsilon \eta$ ε η {\displaystyle $\$ $f$ $\$ eta}의 결과라고 하자, 여기서 $\varepsilon$ ε ${\displaystyle$ \varepsilon }이 $($ 가) $\eta$ η ${\$ displaystyle \eta }은 $\eta (a)=\eta (b)=0$ η(a) = $\eta (a)=\eta (b)=0$ η $($ b) = 0 {\displaystyle \eta (a) =\eta (b) = 0}을 $\eta (a)=\eta (b)=0$ 하는 미분 가능 $\eta (a)=\eta (b)=0$ 입니다. 그런 다음 정의합니다.

\Phi(\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta(x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x)\,\mathrm {d} x\

이제 ε에 대한 $\Phi$ φ ${\$ displaystyle \Phi}의 총 도함수를 계산하고자 합니다.

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f(x)+\varepsilon \eta (x)}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f(x)+\varepsilon \eta(x)}}(x,f(x)+\varepsilon \eta(x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x)\right]\mathrm {d} x\.\end{aligned}

세 번째 줄은 $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 이( ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0$ ) $\varepsilon$ ε ${\$ displaystyle $\varepsilon$ \varepsilon }, ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0$ ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0$ x d ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0$ ε = 0 ${\$ displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }} = 0}에 의존하지 않는다는 사실에서 비롯됩니다.

ε = $\Phi$ $0 {\$ displaystyle \varepsilon = 0}일 때 φ {\displaystyle \Phi}는 극값을 가지므로,

\left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right _{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)\,\right]\,\mathrm {d} x=0\

다음 단계는 적분기의 두 번째 항에서 부품별 적분을 사용하여 산출합니다.

\int_{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x))-{\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}{\partial f'}(x,f(x),f'(x)\right]\eta(x)\,\mathrm {d} x+\left[x]{\frac {\partial L}{\partial f'}(x,f(x),f'(x)\right]_{a}^{b}=0\.

경계 조건 $\eta (a)=\eta (b)=0$ η (a) = η $\eta (a)=\eta (b)=0$ (b $\eta (a)=\eta (b)=0$ = $0 {\displaystyle$ \eta (a) =\eta (b) = 0}을 사용하여,

\int_{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\mathrm {d} x}{\frac {\f(x)}{\partial f'}(x,f(x),f'(x)\right]\eta(x)\,\mathrm {d} x=0\.

이제 변분 미적분학의 기본 보조정리를 적용하면 오일러-라그랑주 방정식이 나옵니다.

{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x)-{\mathrm {d}}{\mathrm {d} x}{\partial L}{\partial f'}(x,f(x)=0\,

1차원 오일러-라그랑주 방정식의 대안적 유도

주어진 함수

J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t

C^{1}([a,b])

조건

y(a)=A

=

y(a)=A

{\

displaystyle y(

C^{1}([a,b])

= C

C^{1}([a,b])

1

C^{1}([a,b])

([

a

,

b]) {\displaystyle

C^{1

}

([a,

b

]}

에서

A}

와

y(b)=B

=

B

{\

displaystyle y(b)

=

y(b)=B

}, n {\displaystyle n}개의 세그먼트가 있는 다각형 선으로 극한 곡선을 근사하고 세그먼트 수가 임의로 커짐에 따라 한계까지 통과하는 방식으로 진행합니다.

Divide the interval $[a,b]$ into $n$ equal segments with endpoints $t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b$ and let $\Delta t=t_{k}-t_{k-1}$ . Rather than a smooth function $y(t)$ we consider the polygonal line with vertices $(t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})$ , where $y_{0}=A$ and $y_{n}=B$ . Accordingly, 우리의 함수는 $n-1$ 에 의해 $n-1$ n - 1 {\displaystyle $n-1}$ 변수의 $n-1$ 실수 함수가 됩니다.

J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta.

$t_{0},\ldots ,t_{n}$ 점 $t_{0},\ldots ,t_{n}$ $t_{0},\ldots ,t_{n}$ t ${\$ 에 정의된 이 새로운 함수의 극값은 다음과 같은 점에 해당합니다 $t_{0},\ldots ,t_{n}$ .

{\frac {\partial J(y_{1},\ldots,y_{n}}}{\partial y_{m}}=0.

$y_{m}$ {\ $displaystyle y_{m}}$ 의 변화는 m에서뿐만 아니라 m-1에서도 L에 영향을 $y_{m}$ 미칩니다.

L({\text{3rd 인수}})\left ({\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta_{m})}{\Delta}\right)=L\left({\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}},L\left({\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}

편미분 평가

{\fric {\partial J}{\partial_{m}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).

위 식을 $\Delta t$ δ t {\displaystyle $\Delta$ }로 나누면 다음과 같습니다.

{\frac {\partial J}{\partial_{m}\Delta}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],

이 식의 우변에서 δ t → 0

displaystyle \Delta\

to 0}으로 극한을 취하면 다음과 같이 됩니다.

L_{y}-{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.

이전 식의 좌변은 $기능 J$ $J$ displaystyle J $}$ 의 기능 $\delta J/\delta y$ δ $\delta J/\delta y$ J / δy {\ $displaystyle$ \delta J/\delta}입니다. 미분 가능한 기능이 어떤 기능에서 극값을 갖기 위한 필요 조건은 해당 기능에서의 기능 도함수가 사라지는 것입니다. 이것은 마지막 방정식에 의해 주어집니다.

예

표준적인 예로는 y(a) = c 및 y(b) = d인 구간 [a, b]에서 실수 값 함수 y(x)를 찾는 것이 있습니다. 이 경우 y로 추적된 곡선을 따라 경로 길이가 가능한 한 짧습니다.

{\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,

적분 함수는 ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$ ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$ y ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$ = ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$ + ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$ y ′ 2 {\textstyle L(x, y, y') = {\sqrt {1+y'^{2}}}입니다.

L의 편미분은 다음과 같습니다.

{\frac {\partial L(x,y,y')}{\partialy'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial}=0.

이들을 오일러-라그랑주 방정식에 대입하면,

{\begin{aligned}{\mathrm {d}}{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}

즉, 함수는 일정한 1차 도함수를 가져야 하므로 그래프는 직선입니다.

일반화

도함수가 높은 단일 변수의 단일 함수

함수의 정지값

I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}

오일러-라그랑주 방정식에서^[5] 구할 수 있습니다.

{\cfrac {\partial {\mathcal {L}}{\partial f}-{\cfrac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\왼쪽 ({ac {\cfr {\mathcal {L}}}{\부분 f^{(k)}}}\right)=0

함수 자체 및 첫 $k-1$ $k-1$ 도함수에 대한 고정된 경계 조건에서(즉, $f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}$ f $f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}$ $f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}$ ∈ { $k-1$ } {\ $displaystyle f^{(i)},i\$ in \{ $0,...,$ k-1\}). 가장 높은 도함수 $f^{(k)}$ ${\$ 의 끝점 값은 유연하게 $f^{(k)}$ 유지됩니다.

단일 도함수를 갖는 단일 변수의 여러 함수

문제가 발생하면 함수의 극값을 정의하는 단일 독립 변수( $x {\displaystyle$ x $x$ 의 여러 함수( $f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$ $f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$ $f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$ $f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$ f $f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$ ${\$ 를 찾는 것이 포함됩니다.

I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}

그렇다면 대응하는 오일러-라그랑주 방정식은^[6]

{\begin{aligned}{\mathcal {L}}{\partial f_{i}}-{\frac {\mathrm {d}}-{\mathrm {d} x}}-\left ({ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}-{\partial f_{i'}}-\right)=0;\partial i=1,2,...,m\end{aligned}

단일 도함수를 갖는 여러 변수의 단일 함수

다차원 일반화는 n개의 변수에 대한 함수를 고려하는 것에서 비롯됩니다. ω ${\displaystyle$ \Omega } 가 표면일 경우

I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}

f 가 편미분 방정식을 만족하는 경우에만 극한화됩니다.

{\frac {\partial {\mathcal {L}}{\partial f}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}\left ({ {\partial {\mathcal {L}}{\partial f_{j}}\right)=0.

n = 2이고 ${\mathcal {I}}$ 인 ${\mathcal {I}}$ I {\ $displaystyle$ {\ $mathcal$ {I $}}$ 가 에너지 함수일 때, 이것은 비누막 최소 표면 문제로 이어집니다.

단일 도함수를 갖는 여러 변수의 여러 함수

결정해야 할 몇 가지 알 수 없는 함수와 다음과 같은 여러 변수가 있는 경우

I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}

오일러-라그랑주 방정식 체계는^[5]

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\({ x_{j}}}\left partial {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}{\partial f_{2}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}\left ({ {\frac {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}\right) &=0_{2}\\\\vdots \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\mathcal {L}}{\부분 f_{m}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x_{j}}\left ({\frac {\mathcal {L}}}{\\partial f_{m,j}}\right) &=0_{m}.\end{align}}

도함수가 높은 두 변수의 단일 함수

두 변수 x와₁ x에₂ 의존하는 결정해야 할 단 하나의 미지수 함수 f가 존재하고 함수가 f의 n차 높은 도함수에 의존하는 경우

{\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}

그렇다면 오일러-라그랑주 방정식은^[5]

{\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}{\partial}}&-{\frac {\partial x_{1}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}{\partial f_{1}}\right)-{\frac {\partial x_{2}}\left({\frac {\partial f_{2}}\right)+{\frac {\partial x_{1}^{2}}\left({\frac {\partial {\partial {mathcal {L}}\left) {L}}}{\partial f_{11}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}\left({\frac {\partial x_{1}\partial x_{2}}\left({\partial f_{12}}\right)+{\frac {\partial x_{2}^{2}}\left({\frac {\partial x_{2}}\right)\&-\dots +(-1)^{n}{\n}{\frac {\partial ^{n}}\left({\frac {\partial x_{2}}}\right)\-\dots {\n}{\partial x_{2}^{n}}\left({\frac {\partial {\partial {\partial {\mathcal {\n}}}\left({\frac {\partial {\partial {\mathcal {\mathcal {n}})}\rft({\frac {\partial {\partial {\partial {\mathcal {}}\right)\&-\dots +(-1)}}{\n}{\n}{\partial ^{n}}\left({\frac {\partial x_{2}^{n}}} {L}}{\partial f_{22\dots 2}}\right)=0\end{aligned}}

다음과 같이 간단히 표현할 수 있습니다.

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\부분 f}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}(-1)^{\frac {\mu _{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}\왼쪽 ({ {\mathcal {L}}}{\부분 f_{\mu _{1}}\dots \mu _{j}}}\오른쪽)=0

$\mu _{1}\dots \mu _{j}$ 서 $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ … μ j ${\displaystyle \mu_{1}\$ dots $\mu_{$ j}는 변수의 수에 걸쳐 있는 지수, 즉 1에서 2까지입니다. $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ 서 μ $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ … $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ ${\$ 인덱스의 $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ 는 μ $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ 1 ≤ $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ 2 $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ … ≤ $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ {\ $displaystyle$ \ $mu_{1}\leq$ \ $mu_{2}\leq$ \ $dots$ \ $leq \mu_{j$ }를 $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ 여러 번 세는 것을 피하기 위해, 예를 들어 $f_{12}=f_{21}$ $f_{12}=f_{21}$ = f $f_{12}=f_{21}$ {\displaystyle f_{12} = f_{21}}은 이전 식에서 한 번만 나타납니다.

도함수가 더 높은 여러 변수의 여러 함수

결정해야 할 p개의₁ 미지수 f가_i m개의 변수 x에 의존하는 경우... x와_m 함수가 f의_i n차까지의 상위 도함수에 의존하는 경우,

{\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu_{1}\mu_{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu_{1}}\partial x_{\mu_{2}}\;,\;;\;\dots \end{aligned}}

$\mu _{1}\dots \mu _{j}$ 서 $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ … μ j ${\displaystyle \mu_{1}\$ dots $\mu_{$ j}는 변수의 수에 걸쳐 있는 지수로, 1에서 m까지입니다. 그렇다면 오일러-라그랑주 방정식은

{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\부분 f_{i}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{\frac {\mu _{j}}{\partial  x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}\왼쪽 ({ {\mathcal {L}}}{\부분 f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}\right)=0

$\mu _{1}\dots \mu _{j}$ $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ … $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ j ${\displaystyle \mu_{1}\$ dots $\mu_{$ j}}에 대한 합계는 이전 하위 섹션과 마찬가지로 동일한 $f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}$ , $f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}$ 1 $f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}$ 2 = $f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}$ f $,$ μ 2 μ 1 {\displaystyle f_{i,\mu_{1}\mu _{2} = f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}를 여러 번 세는 것을 피합니다. 이것은 더 간결하게 표현할 수 있습니다.

\sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}^{j}\left ({ {\frac {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}\right)=0

다양체에 대한 일반화

Let $M$ be a smooth manifold, and let $C^{\infty }([a,b])$ denote the space of smooth functions $f\colon [a,b]\to M$ . Then, for functionals ${\displaystyle S\colon C^{\infty }([a,$ $b])\에서$ 형식의 \ $mathbb$ { $R}$ 로

S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t

where $L\colon TM\to \mathbb {R}$ is the Lagrangian, the statement $\mathrm {d} S_{f}=0$ is equivalent to the statement that, for all $t\in [a,b]$ , each coordinate frame trivialization ${\displaystyle (x^{i},$ 이웃 ${\dot {f}}(t)$ $˙$ (t) ${\displaystyle {\dot {$ f}}(t)}의 X $^{i}}$ 는 $\dim M$ 과 같은 $딤$ $⁡$ $M {\displaystyle$ \dim M} 식을 생성합니다.

\forall i:{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}{\bigg}_{{\dot {f}(t)}

오일러-라그랑주 방정식은 좌표가 없는 형태로 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

{\mathcal {L}}_{\Delta}\theta _{L}=dL

여기서 $\theta _{L}$ θ L ${\displaystyle \theta$ _{L}는 $라그랑지안$ L ${\displaystyle$ L}에 해당하는 표준 모멘트 1-form입니다. 시간 변환을 생성하는 벡터 필드는 δ ${\displaystyle$ \Delta }로 표시되고 $\Delta$ ${\mathcal {L}}$ 는 L {\ $displaystyle$ {\mathcal {L}}로 ${\mathcal {L}}$ 표시됩니다. 로컬 차트 $(q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })$ $(q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })$ $(q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })$ ˙ α) ${\displaystyle(q^{\$ alpha})를 사용할 수 있습니다. ${\dot {q}}^{\alpha })}$ in which $\theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }$ and ${\displaystyle \Delta :={\frac {d}{dt}}={\dot {q}}^{\alpha$ $}{\frac {\partial$ q $^{\alpha }}+{\ddot {q}}^{\alpha }{\frac$ {\ $partial }{\$ dot { $q}}^{\alpha$ }}} 그리고 $\Delta :={\frac {d}{dt}}={\dot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial q^{\alpha }}}+{\ddot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}$ Lie 도함수에 대한 좌표식을 $사용$ 하여 오일러 라그랑주 방정식의 좌표식과 동등성을 확인합니다. 좌표 자유 형식은 특히 오일러 라그랑주 방정식의 기하학적 해석에 적합합니다.

참고 항목

메모들

^ Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7.
^ Goldstein, H.; Poole, C.P.; Safko, J. (2014). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison Wesley.
^ Wayback Machine에 보관된 Lagrange의 짧은 전기 2007-07-14
^ Courant & Hilbert 1953, 184쪽
^ ^a ^b ^c Courant, R; Hilbert, D (1953). Methods of Mathematical Physics. Vol. I (First English ed.). New York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.
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참고문헌

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Gelfand, Izrail Moiseevich (1963). Calculus of Variations. Dover. ISBN 0-486-41448-5.
루비섹, T.: 변량의 미적분학. 17장 인: 물리학자를 위한 수학적 도구. (Ed. M. Greenfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7, 페이지 551-588.

[1] Fox, Charles (1987). An introduction to the calculus of variations. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-65499-7.

[Goldstein-2] Goldstein, H.; Poole, C.P.; Safko, J. (2014). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison Wesley.

[3] Wayback Machine에 보관된 Lagrange의 짧은 전기 2007-07-14

[CourantP184-4] Courant & Hilbert 1953, 184쪽

[Courant-5] Courant, R; Hilbert, D (1953). Methods of Mathematical Physics. Vol. I (First English ed.). New York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.

[Weinstock-6] Weinstock, R. (1952). Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering. New York: McGraw-Hill.

[7] José; Saletan (1998). "Classical Dynamics: A contemporary approach". Cambridge University Press. ISBN 9780521636360. Retrieved 2023-09-12.

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