스피너 구형 고조파들과 혼동해서는 안 된다.
수학 의 주제인 특별한 함수 에서 스핀 가중 구면 고조파 는 표준 구면 고조파 의 일반화이며, 일반적인 구면 고조파와 마찬가지로 구면 고조파도 함수에 해당한다.일반적인 구형 고조파와는 달리 스핀 가중 고조파는 스칼라장 이 아닌 U(1 게이지장 이며 수학적으로 복잡한 선다발 에서 값을 취한다. 스핀 가중 고조파도 일반 구형 고조파처럼 도 l 로 구성되지만 추가 U (1) 대칭을 반영하는 추가 스핀 가중치 가 있다. 고조파의 특별한 기초는 라플라스 구형 고조파 Y lm Y lm l 과 m 은 표준 라플라스 구형 고조파에서 익숙한 일반적인 파라미터다. 이 특별한 기초에서, 극축의 선택은 U (1) 게이지의 모호성을 고정하기 때문에 스핀 가중 구면 고조파들은 실제 함수로 나타난다. 스핀 가중 구면 고조파는 스핀 상승 및 하강 연산자 를 적용하여 표준 구면 고조파로부터 얻을 수 있다. 특히 스핀 중량 0 의 스핀 가중 구형 고조파는 단순히 표준 구형 고조파일 뿐이다.
0 Y l m = Y l m . {\displaystyle {}_{0}Y_{lm}= Y_{lm}\ .} 스핀 가중 구면 고조파 공간은 로렌츠 그룹의 표현 이론 과 관련하여 처음 확인되었다(Gelfand, Minlos & Shapiro 1958 ). 이후 뉴먼&펜로즈(1966) 에 의해 독립적으로 재발견되어 중력방사선 을 기술하기 위해 적용되었고, 다시 우앤양(1976) 에 의해 디락 단극연구 에서 이른바 '모노폴 조화'라고 불리게 되었다. null
스핀 가중 함수 구 S 2 3차원 유클리드 공간 R 3 내장된 것으로 간주한다. 구체의 점 x x 접선 벡터 의 양방향 맞춤법 기반 은 다음과 같은 벡터의 쌍 a ,b
x ⋅ a = x ⋅ b = 0 a ⋅ a = b ⋅ b = 1 a ⋅ b = 0 x ⋅ ( a × b ) > 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {x} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &=1\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {x} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )&>0,\end{aligned}}} 여기서 첫 번째 쌍의 방정식은 a b x 쌍 a b가 단위 벡터 기술 a 와 b가 직교한다는 펜ultimate 방정식, 그리고 (x ,b )R 3 오른손잡이 기초라고 기술한다.
스핀-가중 s 함수 f 는 S 2 점 x x
f ( x , ( cas θ ) a − ( 죄를 짓다 θ ) b , ( 죄를 짓다 θ ) a + ( cas θ ) b ) = e i s θ f ( x , a , b ) {\displaystyle f{\bigl (}\mathbf {x} ,(\cos \theta )\mathbf {a} -(\sin \theta )\mathbf {b} ,(\sin \theta )\mathbf {a} +(\cos \theta )\mathbf {b} {\bigr )}=e^{is\theta }f(\mathbf {x} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )} 각 회전각 θ 에 대하여.
Eastwood & Tod(1982 )에 이어, 모든 스핀-가중 s 함수의 집합을 B 나타낸다 .구체적으로는 복잡한 스케일링 하에서 다음과 같은 동질성 법칙을 충족하는 C 2 \{0f 로 이해된다.
f ( λ z , λ ¯ z ¯ ) = ( λ ¯ λ ) s f ( z , z ¯ ) . {\displaystyle f\left(\da z,{\\overline {\bar}\z}\right)=\leftp\frac {\overline {\\bar}}^{s}f\{\bar {z}\right)^{s}f. } s 가 반정수라는 것이 말이 된다.null
추상적으로 B (s )복잡한 투영선 CP 1 세레 트위스트 의 반홀로모픽 벡터 번들 2s) 벡터 번들 에 이형성 이다. 후자 번들의 섹션은 C 2 \{0만족 하는 함수 g이다.
g ( λ z , λ ¯ z ¯ ) = λ ¯ 2 s g ( z , z ¯ ) . {\displaystyle g\왼쪽(\data z,{\overline {\bar}}}{\bar {z}\오른쪽) ={\overline{\bar}}^{2s}g\왼쪽(z,{\bar {z}\오른쪽). } 그러한 g 를 감안하여 은둔자 형태의 적절한 힘에 곱하여 스핀-가중 s 함수를 산출할 수 있다.
P ( z , z ¯ ) = z ⋅ z ¯ . {\displaystyle P\왼쪽(z,{\bar {z}\오른쪽)=z\cdot {\bar {z}. } 구체적 Pg 는−s 스핀-가중 s함수 다.일반적인 동질 함수에 대한 스핀 가중 함수의 연관성은 이형성이다. null
연산자 ð 스핀 중량 번들 B 차동 연산자 ð (eth ) 가 장착된다. 이 운영자는 기본적으로 돌벌 운영자 로, 적절한 식별이 이루어진 후,
∂ : O ( 2 s ) ¯ → E 1 , 0 ⊗ O ( 2 s ) ¯ ≅ O ( 2 s ) ¯ ⊗ O ( − 2 ) . {\displaystyle \partial :{\mathbf{O}}}}}}}}\to {\mathbf{E}}}}\time {\mathbf {O}}}}}\overline {\mathbf {O}}}}}\time \mathbf {O}-}-}-}}}-}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}-}}}}}}}}}}}}}"times2} 따라서 B ,
ð f = 반항하다 P − s + 1 ∂ ( P s f ) {\displaystyle \eth f\{\stackrel {\def}{}}\ P^{-s+1}\partial \left(P^{s}f\오른쪽)} 스핀-가중 1 의 함수를 정의한다.
스핀 가중 고조파 기존의 구형 고조파들이 구상에서 라플라스-벨트라미 연산자 의 고유 기능인 것처럼, 스핀-중량 고조파도 스핀-중량 s 함수의 번들 E (s ) null
함수로 표현 스핀 가중 고조파는 일단 구의 한 점이 북극의 역할을 하도록 선택되면 구의 함수로 표현될 수 있다. 정의에 따르면 스핀 가중치 η 은 극을 통해 회전하는 동안 변환된다.
η → e i s ψ η . {\displaystyle \eta \rightarrow e^{is\reason }\eta .} 표준 구형 좌표에서 작업하면서 함수 function 에 작용하는 특정 연산자 operator 을 다음과 같이 정의할 수 있다.
ð η = − ( 죄를 짓다 θ ) s { ∂ ∂ θ + i 죄를 짓다 θ ∂ ∂ ϕ } [ ( 죄를 짓다 θ ) − s η ] . {\displaystyle \eth \eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\eta \right]. } 이것은 우리 에게 and과 of 의 또 다른 기능을 제공한다. ( 연산자 ð 은 사실상 구체의 공변량 파생 연산자다.) null
새로운 함수 ðη 의 중요한 특성은 만약 η 이 스핀 중량 s 를 가졌을 경우, ðη 은 스핀 중량 s 1 을 가졌다는 것이다. 따라서 연산자는 함수의 스핀 무게를 1만큼 올린다. 마찬가지로, 함수 스핀 중량을 1만큼 낮추는 연산자 ð
ð ¯ η = − ( 죄를 짓다 θ ) − s { ∂ ∂ θ − i 죄를 짓다 θ ∂ ∂ ϕ } [ ( 죄를 짓다 θ ) s η ] . {\displaystyle {\bar {\eth }}\eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{s}\eta \right]. } 스핀 가중 구면 고조파는 일반적인 구면 고조파 측면 에서 다음과 같이 정의된다.
s Y l m = { ( l − s ) ! ( l + s ) ! ð s Y l m , 0 ≤ s ≤ l ; ( l + s ) ! ( l − s ) ! ( − 1 ) s ð ¯ − s Y l m , − l ≤ s ≤ 0 ; 0 , l < s . {\displaystyle {}_{s} Y_{lm}={\begin{case}{\sqrt {\frac {(l-s)! }{{(l+s)! }}}\\eth ^{s}Y_{lm}&0\leq s\leq l;\\\\\\sqrt {\frac{(l+s)! }{{(l-s)! }}}\ \좌(-1\우)^{s}{\bar {\eth }^{-s}Y_{lm},&-l\l\leq s\leq 0;\0,&l<s .\case}}}}}}}} 그러면 lm s 로 변환하는 특성을 갖는다.
그 밖의 중요한 특성은 다음과 같다.
ð ( s Y l m ) = + ( l − s ) ( l + s + 1 ) s + 1 Y l m ; ð ¯ ( s Y l m ) = − ( l + s ) ( l − s + 1 ) s − 1 Y l m ; {\displaystyle {\displaysty}\eth \left({}_{s} Y_{lm}\오른쪽) &=+{\sqrt {(l-s)(l+s+1) }}\,{}_{s+1}Y_{lm};\\\\bar {\eth}\왼쪽({}_{s}) Y_{lm}\오른쪽)&=-{\sqrt {(l+s)(l-s+1)}}\,{}_{s-1}Y_{lm};\end{aigned}}}}}}} 직교성 및 완전성 고조파는 전체 구체에서 직교한다.
∫ S 2 s Y l m s Y ¯ l ′ m ′ d S = δ l l ′ δ m m ′ , {\displaystyle \int_{S^{2}}:{}_{s} Y_{lm}\,{}_{s}{\bar {Y}_{l'm'}\,dS=\delta _{ll'}\delta _{mm'}}} 그리고 완전한 관계를 만족시킨다.
∑ l m s Y ¯ l m ( θ ′ , ϕ ′ ) s Y l m ( θ , ϕ ) = δ ( ϕ ′ − ϕ ) δ ( cas θ ′ − cas θ ) {\displaystyle \sum _{lm}{{lm}{\bar {Y}_{lm}\left(\theta ',\phi '\오른쪽) {}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\delta \left(\phi '-\phi \right)\delta \left(\cos \toes \the \right)} 계산하기 이러한 고조파들은 몇 가지 방법으로 명시적으로 계산할 수 있다. 분명한 재귀 관계는 상승 또는 하강 연산자를 반복적으로 적용함으로써 발생한다. 직접 계산을 위한 공식은 골드버그 외 연구진(1967) harvtxt 오류 에 의해 도출되었다: 대상 없음: CITREFGoldbergMacfarlaneNewmanHlich1967 (도움말 ). 그들의 공식은 콘돈-을 위해 오래된 선택을 사용한다는 것에 주목하라. 쇼트리 단계 .예를 들어, 아래에서 선택한 협약은 Mathematica와 일치한다. null
골드버그 등 공식의 유용성은 다음과 같다.
s Y l m ( θ , ϕ ) = ( − 1 ) m ( l + m ) ! ( l − m ) ! ( 2 l + 1 ) 4 π ( l + s ) ! ( l − s ) ! 죄를 짓다 2 l ( θ 2 ) × ∑ r = 0 l − s ( l − s r ) ( l + s r + s − m ) ( − 1 ) l − r − s e i m ϕ 요람을 달다 2 r + s − m ( θ 2 ) . {\displaystyle {}_{s} Y_{lm}(\theta ,\phi )=\왼쪽(-1\오른쪽) ^{m}{\sqrt {\frac {(l+m)!(l-m)!(2l+1)}{4\pi(l+s)!(l-s)!(l-s)! }}}\sin ^{2l}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\times \sum _{r=0}^{l-s}{l-s \choose r}{l+s \choose r+s-m}\left(-1\right)^{l-r-s}e^{im\phi }\cot ^{2r+s-m}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\,. } 임의의 스핀 가중 구면 고조파를 계산하기 위해 이 공식을 사용하는 Mathematica 노트북은 여기 에서 찾을 수 있다. null
여기서 단계 규칙을 적용하면:
s Y ¯ l m = ( − 1 ) s + m − s Y l ( − m ) s Y l m ( π − θ , ϕ + π ) = ( − 1 ) l − s Y l m ( θ , ϕ ) . {\displaystyle {\begin{ligned}{}_{s}{\bar {Y}_{lm}&=\\ls}{s+m}{s}{s}{-s}Y_{l(-m)\{}_{s} Y_{lm}(\pi -\theta ,\pi +\pi )&=\왼쪽(-1\오른쪽) ^{l}{}_{-s}Y_{lm}(\theta ,\phi ) \end{정렬}}} 처음 몇 개의 스핀 가중 구면 고조파 처음 몇 개의 정형화된 스핀 가중 구면 고조파에 대한 분석 식:
스핀-가중 s = 1 , 도 1 Y 10 ( θ , ϕ ) = 3 8 π 죄를 짓다 θ 1 Y 1 ± 1 ( θ , ϕ ) = − 3 16 π ( 1 ∓ cas θ ) e ± i ϕ {\displaystyle {\reasoned}{}{}_{1} Y_{10}(\theta ,\phi )&={\sqrt {\3}{8\pi }}\,\sin \theta \\{}_{1} Y_{1\pm 1}(\theta ,\phi )&=-{\sqrt {3}{16\pi }}(1\mp \cos \theta )\,e^{\pm i\phi }\ended}}}}}}} 위그너 회전 행렬과의 관계 D − m s l ( ϕ , θ , − ψ ) = ( − 1 ) m 4 π 2 l + 1 s Y l m ( θ , ϕ ) e i s ψ {\displaystyle D_{-ms}^{l}(\phi ,\theta ,-\psi )=\왼쪽(-1\오른쪽) ^{m}{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}{}{}_{s} Y_{lm}(\theta ,\phi )e^{is\psi }}} 이 관계를 통해 스핀 고조파는 D-매트릭스 의 재귀 관계를 사용하여 계산할 수 있다. null
삼중 적분 s 1 s 2 s 3 0 인 경우 삼중 적분은 3-j 기호 로 주어진다.
∫ S 2 s 1 Y j 1 m 1 s 2 Y j 2 m 2 s 3 Y j 3 m 3 = ( 2 j 1 + 1 ) ( 2 j 2 + 1 ) ( 2 j 3 + 1 ) 4 π ( j 1 j 2 j 3 m 1 m 2 m 3 ) ( j 1 j 2 j 3 − s 1 − s 2 − s 3 ) {\displaystyle \int_{S^{2}}\,{}_{s_{1}:{1} Y_{j_{1}m_{1}:{1}:{1}\,{}_{s_{2}} Y_{j_{2}m_{2}}\,{}_{s_{3}}} Y_{j_{3}m_{3}}}={\sqrt {\frac {\frac {\좌측(2j_{1}+1\우측)\좌측(2j_{2}+1\우측)\좌측(2j_{3}+1\우측)}{4\begin{pmatrix}j_j_j_{{1}j_{{{1}j_{{{{1}j_{1}j_{{1}j_{1}j_{1}j_{{1}{1}j_{ }}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}\m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\nd{pmatrix}}{\nd{pmatrix}j_{1}}{1}}}}{\nd{pmatrix}j_{1} }}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}}}} 참고 항목 참조 Dray, Tevian (May 1985), "The relationship between monopole harmonics and spin-weighted spherical harmonics" , J. Math. Phys. , American Institute of Physics, 26 (5): 1030–1033, Bibcode :1985JMP....26.1030D , doi :10.1063/1.526533 Eastwood, Michael; Tod, Paul (1982), "Edth-a differential operator on the sphere", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 92 (2): 317–330, Bibcode :1982MPCPS..92..317E , doi :10.1017/S0305004100059971 Gelfand, I. M. ; Minlos, Robert A. ; Shapiro, Z. Ja. (1958), Predstavleniya gruppy vrashcheni i gruppy Lorentsa, ikh primeneniya , Gosudarstv. Izdat. Fiz.-Mat. Lit., Moscow, MR 0114876 맥밀런 출판사. Goldberg, J. N.; Macfarlane, A. J.; Newman, E. T.; Rohrlich, F.; Sudarshan, E. C. G. (November 1967), "Spin-s Spherical Harmonics and ð" , J. Math. Phys. , American Institute of Physics, 8 (11): 2155–2161, Bibcode :1967JMP.....8.2155G , doi :10.1063/1.1705135 (참고: 위에서 언급한 바와 같이, 본 문서는 더 이상 표준이 아닌 콘돈-숏리 단계에 대한 선택을 사용한다.) Newman, E. T. ; Penrose, R. (May 1966), "Note on the Bondi-Metzner-Sachs Group" , J. Math. Phys. , American Institute of Physics, 7 (5): 863–870, Bibcode :1966JMP.....7..863N , doi :10.1063/1.1931221 Wu, Tai Tsun; Yang, Chen Ning (1976), "Dirac monopole without strings: monopole harmonics", Nuclear Physics B , 107 (3): 365–380, Bibcode :1976NuPhB.107..365W , doi :10.1016/0550-3213(76)90143-7 , MR 0471791 
![{\displaystyle \eth \eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\eta \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f8188c1c613b276d770e4931233d372a105bc5)
![{\displaystyle {\bar {\eth }}\eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{s}\eta \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4912826e9027192e1f47f0831d20165da15212bf)
