분할원법

수학에서 분할원법은 다항식의 수치적 인자화 및 궁극적으로는 그 복잡한 뿌리를 찾기 위한 숫자 알고리즘이다.그것은 아놀드 쇤게가 1982년 논문에서 소개한 연산 복잡성 측면에서 대수학의 근본적인 정리(기술보고서, Mathethisches Institute der Universitetht Tübingen)이다.1998년 빅터 팬에 의해 수정된 알고리즘이 제시되었다.마그마와 PARI/GP 컴퓨터 대수 시스템에 대한 구현은 1996년 자비에르 구르돈에 의해 제공되었다.

일반 설명

분할원 방법의 근본적 개념은 복합 분석 방법, 보다 정밀하게 잔여 정리를 사용하여 다항식의 인자를 구성하는 것이다.이러한 방법을 사용하면 조각처럼 매끄러운 경계가 있는 복합 평면의 모든 영역에 대해 $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ 주어진 $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ p $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ ) $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ = $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ n $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ + $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ - $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ - $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ x n - $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ + $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ + $p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}$ 0 ${\$ 의 인자를 구성할 수 있다.그러한 요인의 대부분은 사소한 것이 될 것이다. 그것은 지속적인 다항식이다.p(x)의 뿌리를 포함하는 지역만이 p(x)의 뿌리를 정확히 자신의 뿌리로 가지고 있는 비독점적 요인을 발생시켜 다중성을 보존한다.

이 방법의 수치적 실현에서는 복합 평면의 디스크 D(c,r)(중앙 c, 반지름 r)를 영역으로 사용한다.디스크의 경계 원은 p(x)의 루트 집합을 두 부분으로 나누어서, 따라서 방법의 명칭이다.주어진 원반에는 해석 이론에 따른 근사적 요인을 계산하고 뉴턴의 방법을 사용하여 그것들을 재조정한다.수치적 불안정성을 피하기 위해 모든 루트가 디스크의 경계 원으로부터 잘 분리되도록 요구해야 한다.따라서 양호한 분할 원을 얻으려면 큰 상대폭 R/r을 가진 자유형 고리 A(c,r,R) (중앙 c, 내부 반지름 r, 외부 반지름 R)에 삽입해야 한다.

발견된 인자에 대해 이 과정을 반복하면, 필요한 정밀도에서 마침내 다항식의 근사적 인자화에 도달한다.인자는 잘 격리된 0을 나타내는 선형 다항식 또는 0의 군집을 나타내는 고차 다항식이다.

해석시공내역

뉴턴의 정체성은 복잡한 숫자의 튜플의 초기 대칭적 다항식과 그 힘의 합 사이의 편향적 관계다.따라서 다항식의 계수를 계산할 수 있다.

{\displaystyle p(x)=x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}=(x-z_{1})\cdots(x-z_{n}})

0의 힘의 합에서 (혹은 그것의 한 요소)

t_{m}=z_{1}^{m}+\cdots +z_{n}^{m}

t_{m}=z_{1}^{m}+\cdots +z_{n}^{m}

=

t_{m}=z_{1}^{m}+\cdots +z_{n}^{m}

t_{m}=z_{1}^{m}+\cdots +z_{n}^{m}

+

t_{m}=z_{1}^{m}+\cdots +z_{n}^{m}

+ z

t_{m}=z_{1}^{m}+\cdots +z_{n}^{m}

m

{\

1}^{

m}+\cdots +z_{n}^{m

m=0,1,\dots ,n

=

m=0,1,\dots ,n

1,

m=0,1,\dots ,n

m=0,1,\dots ,n

{\displaystym m=0,1,\n

},\

n}

공식 파워시리즈의 다음의 정체성에서 u의 힘을 비교함으로써 얻어지는 삼각체계를 해결함

a_{n-1}+2\,a_{n-2}\,u+\cdots +(n-1)\,a_{n-2}\,u^{n-2}\,a_{0}\,u^{n-1

=-(1+a_{n-1}\,u+\cdots +a_{1}\,u^{n-1}+a_{0}\,u^{n})\cdot (t_{1}+t_{2}\,u+t_{3}\,u^{2}+\dots +t_{n}\,u^{n-1}+\cdots ).

$G\subset \mathbb {C}$ $G\subset \mathbb {C}$ $G\subset \mathbb {C}$ ${\$ 이(가) 조각처럼 매끄러운 경계 C를 가진 도메인이고 $G\subset \mathbb {C}$ , p(x)의 0이 경계 C에 있지 않고 쌍으로 구별되는 경우, 잔존 미적분학의 잔존 정리로부터 얻는다.

{\frac {1}{2\pi \,i}}\oint _{C}{\frac {p'(z)}{p(z)}}z^{m}\,dz=\sum _{z\in G:\,p(z)=0}{\frac {p'(z)z^{m}}{p'(z)}}=\sum _{z\in G:\,p(z)=0}z^{m}.

이 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로의 정체는 또한 승수를 가진 0을 지탱한다.뉴턴의 정체성을 이용하여 그 인자를 그 힘의 합으로부터 계산할 수 있다.

f(x):=\prod _{z\in G:\,p(z)=0}(x-z)

G 내 p(x)의 0에 해당하는 p(x)의 p(x)의. 다항분할에 의해 p(x) = f(x)g(x)의 두 번째 인자 g(x)도 얻는다.

일반적으로 사용되는 영역은 복잡한 평면의 원이다.각 원은 f(x)와 g(x) 요인에서 다항식 p(x)의 분할을 높인다.서로 다른 원을 사용하는 인자에 대해 이 절차를 반복하면 더 미세하고 미세한 인자가 생성된다.이 재귀는 모든 요인이 선형 다항식의 비종교적 힘이 되는 상태에서 한정된 수의 적절한 분할 후에 멈춘다.

이제 과제는 이 분석 절차를 실행 시간이 좋은 수치 알고리즘으로 변환하는 것이다.통합은 다항식 p(x)와 p'(x)의 평가를 위해 빠른 푸리에 변환을 사용하는 수치 통합 방법의 유한 합계에 의해 근사치가 된다.결과가 나타나는 다항식 f(x)는 근사 요인일 뿐이다.0이 G 내부 p의 0에 가깝고 그것에만 가깝도록 하려면 p의 모든 0이 지역 G의 경계 C에서 멀리 떨어져 있어야 한다.

기본 수치 관측

(Schönhage 1982) p $p\in \mathbb {C} [X]$ $p\in \mathbb {C} [X]$ [ $p\in \mathbb {C} [X]$ $p\in \mathbb {C} [X]$ $p\in \mathb {C}[X]$ 을(를) 반지름 1/2 원 안에 k 0이 있고 반지름 2 원 외부에 나머지 n-k 0이 있는 n의 다항식 n이 되도록 $p\in \mathbb {C} [X]$ 한다.N=O(k)가 충분히 큰 경우, N 점을 사용한 등고선 통합의 근사치는 f 0 $f_{0}$ {\ $displaystyle f_{0}$ 인자에 $f_{0}$ 오차가 있는 $f_{0}$ 를 초래한다.

‖

\|f-f_{0}\|\leq 2^{2k-N}\,nk\,100/98

- f

\|f-f_{0}\|\leq 2^{2k-N}\,nk\,100/98

\|f-f_{0}\|\leq 2^{2k-N}\,nk\,100/98

2

\|f-f_{0}\|\leq 2^{2k-N}\,nk\,100/98

- N

\|f-f_{0}\|\leq 2^{2k-N}\,nk\,100/98

\|f-f_{0}\|\leq 2^{2k-N}\,nk\,100/98

/

\|f-f_{0}\|\leq 2^{2k-N}\,nk\,100/98

{\

displaystyle \

f_

{0}\

leq 2

^{2k-N}\,nk\,100/98

여기서 다항식의 규범은 그 계수의 모듈리의 합이다.

다항식의 0은 계수에 연속적이므로 N을 충분히 크게 선택하여 $f_{0}$ 0 ${\$ 의 0을 f의 0과 원하는 만큼 $f_{0}$ 가깝게 만들 수 있다.그러나 뉴턴 방법을 사용하면 이 근사치를 더 빨리 개선할 수 있다.p를 나머지 값으로 나누면 나머지 인자 g의 $g_{0}$ 근사 $g_{0}$ 0 ${\$ 이 산출된다.지금

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

-

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

=

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

( f

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

- f

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

)

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

+

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

(

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

-

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

)

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

+

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

(

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

-

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

)

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

(

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

-

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})g_{0}+(g-g_{0})f_{0}+(f-f_{0})(g-g_{0})

)

{\displaystyle p-f_{0}g_{0}=(f-f_{0})={0

}g_

{0}+(g_{0

})+{0

}+(f-g_{0

0},{0},{0},{0},{0},{0},{0},{0

})

so discarding the last second order term one has to solve $p-f_{0}g_{0}=f_{0}\Delta g+g_{0}\Delta f$ using any variant of the extended Euclidean algorithm to obtain the incremented approximations $f_{1}=f_{0}+\Delta f$ and $g_{1}=g_{0}+\Delta g$ $g_{1}=g_{0}+\Delta g$ $g_{1}=g_{0}+\Delta g$ $g_{1}=g_{0}+\Delta g$ + $g_{1}=g_{0}+\Delta g$ $g_{1}=g_{0}+\Delta g$ $g_{1}=g_{0}+\Delta g$ .이는 선택한 정밀도에 비례하여 증가가 0이 될 때까지 반복된다.

그래페 반복

이 방법에서 중요한 단계는 p의 0이 없고 p의 0이 바깥쪽과 거의 같은 수의 p의 0을 포함하는 복잡한 평면에서 상대폭 4의 환율을 찾는 것이다.이 특성의 어떤 고리도 다항식의 번역과 축척에 의해 원점 주위의 반지름 1/2과 2 사이의 고리 모양으로 변형될 수 있다.그러나 모든 다항식이 그렇게 분열된 환율을 인정하는 것은 아니다.

이러한 상황을 개선하기 위해 Graeffe 반복을 적용한다.그것은 일련의 다항식들을 계산한다.

p_{0}=p,\qquad p_{j+1}(x)=-1)^{\p_{j}({\sqrt{x}})\,p_{j}(-{\sqrt{x}),},},

여기서 p $p_{j}(x)$ ( $){\displaystyle p_{j}(x)}$ 의 루트는 $2^{j}$ 다항식 p의 루트의 $2^{j}$ j ${\$ -thdiadic $2^{j}$ power이다.By splitting $p_{j}(x)=e(x^{2})+x\,o(x^{2})$ into even and odd parts, the succeeding polynomial is obtained by purely arithmetic operations as ${\displaystyle p_{j+1}(x)=(-1)^{\deg p}(e(x)^{2}-x\,$ $o(x)^{2}}$ .뿌리의 절대모듈리 비율은 같은 힘 $2^{j}$ ${\$ 2 $^{j}$ 만큼 증가하여 $2^{j}$ 무한대에 이르는 경향이 있다.j를 충분히 큰 것으로 선택하면 마침내 원점 주위에서 상대폭 4의 갈라지는 환율을 발견하게 된다.

$p_{j}(x)\approx f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ $p_{j}(x)\approx f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ ( $p_{j}(x)\approx f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ ) $p_{j}(x)\approx f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ $p_{j}(x)\approx f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ j ( $p_{j}(x)\approx f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ ) $p_{j}(x)\approx f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ $p_{j}(x)\approx f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ ( x ) { p $p_{j}(x)\approx f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ j ( $p_{j}(x)\approx f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ ) $p_{j}(x)\관련 f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ 의 대략적인 인자화는 이제 원래의 다항식으로 다시 들어올릴 예정이다 $p_{j}(x)\approx f_{j}(x)\,g_{j}(x)$ .이를 위해 뉴턴 스텝과 파데 근사치를 번갈아 사용한다.는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

{\frac {p_{j-1}(x)}{g_{j}(x^{2})}}\관련 {\frac {f_{j-1}(x)}{g_{j-1}(-x)}}}}}}}

holds. 왼쪽의 다항식은 step j에서 알 수 있으며, 오른쪽의 다항식은 왼쪽의 분수에 대한 파워 시리즈 확장에 대한 해당도의 Padé 근사치로 얻을 수 있다.

좋은 원 찾기

그래페 반복과 가장 큰 루트의 절대값에 대해 알려진 추정치를 사용하면 이 절대값의 R 추정치를 어떤 정밀도에서도 찾을 수 있다.Now one computes estimates for the largest and smallest distances $R_{j}>r_{j}>0$ of any root of p(x) to any of the five center points 0, 2R, −2R, 2Ri, −2Ri and selects the one with the largest ratio $R_{j}/r_{j}$ between the two.이 시공을 $R_{j}/r_{j}>e^{0{.}3}\approx 1.35$ $R_{j}/r_{j}>e^{0{.}3}\approx 1.35$ j / $R_{j}/r_{j}>e^{0{.}3}\approx 1.35$ > $R_{j}/r_{j}>e^{0{.}3}\approx 1.35$ 0 $R_{j}/r_{j}>e^{0{.}3}\approx 1.35$ $R_{j}/r_{j}>e^{0{.}3}\approx 1.35$ ≈ $[\displaystyle R_{j}/r_{j}]e^{0$ {0 $}$ 을 보장할 수 있다.적어도 $R_{j}/r_{j}>e^{0{.}3}\approx 1.35$ 하나의 센터에 $대해$ }} $3}\$ 약 $1.35$ }.그러한 중심에는 상대폭 $\textstyle e^{0{.}3/n}\approx 1+{\frac {0{.}3}{n}}$ $\textstyle e^{0{.}3/n}\approx 1+{\frac {0{.}3}{n}}$ $\textstyle e^{0{.}3/n}\approx 1+{\frac {0{.}3}{n}}$ . 3 $\textstyle e^{0{.}3/n}\approx 1+{\frac {0{.}3}{n}}$ / $\textstyle e^{0{.}3/n}\approx 1+{\frac {0{.}3}{n}}$ ≈ $\textstyle e^{0{.}3/n}\approx 1+{\frac {0{.}3}{n}}$ + 0 $\textstyle e^{0{.}3/n}\approx 1+{\frac {0{.}3}{n}}$ 3 $\textstyle e^{0{.}3/n}\approx 1+{\frac {0{.}3}{n}}$ ${\$ {0 $}$ 의 루트가 없어야 한다. $}}}3/n}\ 약 1+{\frac {0{.$ $}}}}{n$ $\textstyle 3+\log _{2}(n)$ + $\textstyle 3+\log _{2}(n)$ $\textstyle 3+\log _{2}(n)$ ⁡ $\textstyle 3+\log _{2}(n)$ ( $\textstyle 3+\log _{2}(n)$ $\textstyle 3+\log _{2}(n)$ ${\$ 그라이프 $\textstyle 3+\log _{2}(n)$ 반복 후, 위에 설명한 초기 분할에 필요한 대로 해당 다항식의 환율은 11 > 4보다 크다(1982) 참조.After $\textstyle 4+\log _{2}(n)+\log _{2}(2+\log _{2}(n))$ Graeffe iterations, the corresponding annulus has a relative width greater than ${\displaystyle \textstyle 2^{13{.$ $}}}\cdot n^{6{{}.$ $}}}}>(64\cdot n^{3}}^{2$ 훨씬 단순화된 초기 분할 허용 (Malajovich/Zubelli(1997) 참조)

뿌리가 없는 최고의 환율을 찾으려면 루체 정리의 결과를 사용한다.k = 1, ..., n - 1 다항식

\,0=\sum _{j\neq k} p_{j} u^{j}- p_{k} u^{k}},

U>0표지는 0혹은 2긍정적인 뿌리 uk<>v k{\displaystyle u_{k}<, v_{k}}의 데카르트의 법칙에 의해. 후자의 경우, 딱가 뿌리들은(폐쇄)디스크 D(0,마 km그리고 4.9초 만){D(0,u_{k})\displaystyle}, A(0, uk, vkm그리고 4.9초 만){A(0,u_{k},v_{k})\displaystyle}은root-free(개방)안에 있었다. annulus.

참조

쇤네게, 아놀드(1982):계산 복잡성 측면에서 대수의 기본 정리.예비 보고서, 수학.인스트. 유니브.튀빙겐(1982년), 49쪽. (ps.gz)
Gourdon, Xavier (1996). Combinatoire, Algorithmique et Geometrie des Polynomes. Paris: Ecole Polytechnique.
V. Y. Pan (1996). "Optimal and nearly optimal algorithms for approximating polynomial zeros". Comput. Math. Appl. 31 (12): 97–138. doi:10.1016/0898-1221(96)00080-6.
V. Y. Pan (1997). "Solving a polynomial equation: Some history and recent progresses". SIAM Review. 39 (2): 187–220. doi:10.1137/S0036144595288554.
Gregorio Malajovich and Jorge P. Zubelli (1997). "A fast and stable algorithm for splitting polynomials". Computers & Mathematics with Applications. 33. No 3 (2): 1–23. doi:10.1016/S0898-1221(96)00233-7.
판, 빅터(1998년).복합 다항식 영점 근사치 알고리즘
판, 빅터(2002년).일변량 다항식: 수치요인화 및 뿌리찾기를 위한 거의 최적의 알고리즘
마그마 문서화.실제 및 복잡한 필드: 요소 연산.

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