평균으로부터의 편차 제곱

Squared deviations from the mean

평균(SDM)과의 편차 제곱은 다양한 계산에 포함된다.확률 이론통계에서 분산 정의는 SDM의 기대값(이론적 분포를 고려할 때) 또는 평균값(실제 실험 데이터의 경우)이다.분산 분석을 위한 계산에는 SDM 합계의 분할이 포함된다.

소개

관련된 계산에 대한 이해는 통계적 가치에 대한 연구에 의해 크게 향상된다.

( ) 여기서 (는) 예상값 연산자다.

평균 and 2 }}: 랜덤 변수 의 경우

[1]

그러므로

위로부터 다음 사항을 도출할 수 있다.

표본 분산

표본 분산을 계산하는 데 필요한 편차 제곱합(n 또는 n - 1)은 다음과 같이 가장 쉽게 계산된다.

이 합계의 기대치를 초과하는 두 개의 파생된 기대치로부터는 다음과 같다.

그 말은

이것은 σ2 편향되지 않은 표본 추정치의 계산에 있어서 divisor n - 1의 사용을 효과적으로 증명한다.

분할 - 분산 분석

크기ni k개의 서로 다른 치료 그룹에 데이터를 사용할 수 있는 경우, i가 1에서 k까지 변동하는 경우, 각 그룹의 기대 평균은 다음과 같은 것으로 가정한다.

그리고 각 처리 그룹의 분산은 모집단 분산

치료법에는 아무런 효과가 없다는 귀무 가설 아래 이 각각 0이 된다.

이제 다음과 같은 세 가지 제곱합을 계산할 수 있다.

개인의
치료

치료법이 아무런 차이를 일으키지 않고 모든 가 0이라는 귀무 가설 하에서 기대는 다음과 같이 단순화된다.

조합

편차 제곱합

귀무 가설에서 I, T, C 의 차이는 에 대한 의존성을 전혀 포함하지 않으며, 2{\

( - C)=( n- ) 제곱합 aka
( - C)=( - ) 편차 제곱 aka에 대해 제곱합을 설명했다.
( - T)=( n- ) 2 잔차 편차 aka 잔차 제곱합

상수(n - 1), (k - 1) 및 (n - k)는 일반적으로 자유도라고 한다.

매우 간단한 예에서 5개의 관측치는 두 가지 치료에서 발생한다.첫 번째 치료는 세 가지 값 1, 2, 3을 주고, 두 번째 치료는 두 가지 값 4, 6을 준다.

부여

편차의 총 제곱 = 66 - 51.2 = 14.8이고 자유도는 4이다.
편차 제곱 처리 = 62 - 51.2 = 10.8이고 자유도는 1이다.
편차 잔차 제곱 = 66 - 62 = 4이고 자유도는 3이다.

이원 분산 분석

다음의 가정적인 예는 두 가지 다른 환경변화에 따른 15개 식물과 세 가지 다른 수정체의 수율을 보여준다.

엑스트라 CO2 여분의 습도
수정기 없음 7, 2, 1 7, 6
질산염 11, 6 10, 7, 3
인산염 5, 3, 4 11, 4

5개의 제곱합이 계산된다.

요인 계산 합계
개인의 641 15
비료 × 환경 556.1667 6
비료 525.4 3
환경 519.2679 2
합성. 504.6 1

마지막으로, 분산 분석에 필요한 편차 제곱 합계를 계산할 수 있다.

요인 합계 합계 환경 수정제 비료제 × 환경 잔차
개인의 641 15 1 1
비료제 × 환경 556.1667 6 1 −1
수정제 525.4 3 1 −1
환경 519.2679 2 1 −1
합성. 504.6 1 −1 −1 −1 1
편차 제곱 136.4 14.668 20.8 16.099 84.833
자유도 14 1 2 2 9

참고 항목

참조

  1. ^ 무드 & 그레이빌:통계이론(McGraw Hill) 소개