안정성 반지름

주어진 공칭 지점에서 물체(시스템, 함수, 매트릭스, 매개변수)의 안정성 반경은 공칭 지점을 중심으로 가장 큰 공의 반지름이며, 모든 요소가 미리 결정된 안정성 조건을 만족한다.이러한 직관적인 개념의 그림은 다음과 같다.

여기서 $p{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$$}$은(는) 공칭 포인트를 나타내고$$, P ${\displaystyle$ $P}$은 개체 p ${\$ p}의 가능한 모든 값의 공간을 나타내며$$$,$ 음영 영역인 $P{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$s${\displaystyle }$) ${\displaysty$P}은 안정성 조건을 만족하는 점 집합을 나타낸다.빨간색으로 표시된 파란색 원의 반지름은 안정성 반지름이다.

추상적 정의

이 개념의 공식적인 정의는 적용 영역에 따라 다르다.다음의 추상적 정의는 꽤 유용하다^[1][2].

${\displaystyle {\hat{\rho}}}({\hat {p}):=\max \{\rho \geq 0:p\in P),\all p\in B(\rho ,{\hat{p})\}}}$

여기서 $B{\displaystyle }$ (${\displaystyle \rho \stackrel{}{}}$ , p${\displaystyle \stackrel{}{}}$^${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ B$(\rho ,{\hat{p}}})$는 p ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$${\$$displaystyle$ $P$$}$에서 $반경{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle$$\rho$$}$의 닫힌 볼을 의미한다$.$

역사

이 개념은 1960년대 초에 발명된 것으로 보인다.^[3][4]1980년대에 그것은 통제^[5] 이론과 최적화 분야에서 인기를 끌었다.^[6]관심 대상의 주어진 명목값에서 작은 동요에 대한 국부적 강건성의 모델로 널리 사용된다.

월드의 맥시민 모델과의 관계

안정성 반지름 모델이 월드의 맥시민 모델의 한 예인 것으로 나타났다^[2].그것은

${\displaystyle \max \{\rho \\p\in P,\all p\in B(\rho ,{\hat {p})\iquiv \max _{\rho \{p}\in B(\rho ,{p})}f(\rho ,p)}f)}f.$

어디에

${\displaystyle f(\rho,p)=\좌측\{\begin{array}{cc}\rho &,\p\in P(s)\-\infit &,\p\notin P(s)\end{array}}\오른쪽.}$

큰 벌칙( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle -\infit }$)은 ${\displaystyle 최대}$ ${\displaystyle \max }$ 플레이어가$$ 시스템의 안정성 반지름을 넘어 공칭 값을 동요시키지 않도록 하는 장치다.안정성 모델이 글로벌 모델이 아닌 현지 안정성/로봇성의 모델임을 시사하는 것이다.

정보격차결정론

정보격차 의사결정 이론은 최근의 비확률적 의사결정 이론이다.불확실한 상황에서 현재의 모든 결정 이론과는 근본적으로 다르다고 주장한다.그러나^[2] 그것의 강건성 모델 즉,

${\displaystyle {\hat {\data}}(q,{\tilde {u}):=\max \{\alpha \geq 0:r_{c}\leq R(q,u),\all u\in U(\alpha ,{\tilde {u})\}}}$

실제로 r ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R(q}$ ,${\displaystyle u}$ ) ${\displaystyle r_{$c}\$leq$ R$(q,u)}$ 형식의 단순한 안정성 요건으로 특징지어지는 안정성 반지름 모델이며, 여기서$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은 고려 중인 결정을 나타내고 u ${\displaystyle u$$}$은 관심 매개변수를 나타낸다$$. u${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\\daystytytyled}$$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$과${\displaystyle (\alpha ,}$ ${\displaystyle u\stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$)의 실제 값 추정치에 주목하십시오.$$u ~${\$$displaystyle$ {$u}$은(는)$$$\alpha {\displaystyle \stackrel{}{}}$ {\$displaystyle {\tilde$ {$u}$을(는)를 중심으로$$ 한 반지름$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyte$ {u}을$$ $의미한다.$

안정성 반지름 모델은 매개변수의 공칭값에서 작은 동요를 다루도록 설계되었으므로, 정보격차의 건전성 모델은 추정${\displaystyle \stackrel{}{}}u{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~ ${\$근처에서 의사결정의 국소적인 건전성을 측정한다$.$

스니도비치는^[2] 이러한 이유로 이 이론이 빈약한 추정치와 방대한 불확실성 공간으로 특징지어지는 심각한 불확실성의 처리에 적합하지 않다고 주장한다.

대체 정의

안정성 반경을 약간 다르게 정의하면 더 편리한 경우가 있다.예를 들어, 제어 이론의 많은 적용에서 안정성의 반경은 관심 매개변수의 공칭값에서 가장 작은 불안정한 동요의 크기로 정의된다.^[7]사진은 다음과 같다.

좀 더 격식을 차려서.

${\displaystyle {\hat {\rho }}}(q):=\min _{p\notin P}dist(p,{\hat {p}})}$

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t(p,}$ ${\displaystyle p\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$) ${\displaystyle dist(p,{\hat{p}})$는 p${\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle ^}$ ${\$에서 p ${\displaystyle p}$ P ${\displaystystyle p\in P}$의 거리를 나타낸다$$$.$

기능의 안정성 반지름

개방형 안정성 영역 D에 대한 연속 함수 f(기능 공간 F)의 안정성 반지름은 f와 불안정한 함수 집합 사이의 거리(D에 대한)이다.우리는 그 스펙트럼이 D에 있다면 D에 관해서 함수는 안정적이라고 말한다.여기서 스펙트럼의 개념은 아래에서 설명하는 바와 같이 사례별로 정의된다.

정의

공식적으로, S(D)에 의한 안정함수의 집합과 r(f,D)에 의한 안정성 반경을 나타낸다면, 다음과 같다.

${\displaystyle r(f,D)=\inf _{g\in C}\{\\g\ :f+g\notin S(D)\}}$

여기서 C는 F의 하위 집합이다.

f가 이미 불안정한 상태라면(D에 관해서), r(f,D)=0(C가 0을 포함하는 한)에 유의한다.

적용들

안정성 반지름의 개념은 일반적으로 다항식(그 다음 스펙트럼은 뿌리)과 행렬(스펙트럼은 고유값)으로서 특수 기능에 적용된다.C가 F의 적절한 부분 집합인 경우 구조화된 섭동을 고려할 수 있다(예: 매트릭스의 경우 마지막 행에서만 섭동이 필요할 수 있다).그것은 예를 들어 제어 이론에서와 같이 강건성을 측정하는 흥미로운 척도다.

특성.

f를 도 n의 (복잡한) 다항식이 되게 하라, C=${\displaystyle {}^{}}$는 n보다 (또는 같은) n보다 ($여기$서 계수 집합 C n${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$와 동일) 작은 다항식 집합이다.D는 다항식(다항식)과 슈르 안정형 다항식(Schur 안정적 다항식) 사이의 거리를 찾고 있다는 뜻이지요.다음:

${\displaystyle r(f,D)=\inf _{z\in \partial D}{\frac {f(z){}{\q(z)\}}},}$

여기서 q는 각 기준 벡터(${\displaystyle \mathrm{예}}$: ${\displaystyle q}$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( 1,${\displaystyle z}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle z^{}}$) ${\displaystyle q(z)=(1,z,\ldots ,z^{n})$를 포함한다.이 결과는 안정성 반경이 단위 원 위에 f가 도달하는 최소값과 결합됨을 의미한다.

예

• 다항식 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 9}$/ $(\displaystyle f(z)=z^{8}-9/10}($whoes 0은 0.9의 8번째 루트)인 다항식 f는 전력기준이고 규범이 무한규범인 경우 안정 반경이 1/80이다.따라서 (인피니트) 규범 1/90을 가진 다항식 g가 있어야 하며, f+g는 단위 원 위에 (적어도) 루트를 가지고 있어야 한다.예를 들어 $g{\displaystyle (}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 90}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= 0 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle z^{}}$i {\$displaystyle g(z)=-1/90\sum _{i=0}^{8}z^{i$ 실제로 (f+g)(1)=0과 1은 단위 원 위에 있으므로 f+g이 불안정하다는 뜻이다.

참고 항목

• 안정 다항식
• 월즈 맥시민 모델

참조