표준단원론

대수 기하학에서 표준 단원론은 표준 단원론이라 불리는 원소의 명시적 근거를 제시함으로써 일반화된 국기 품종 또는 환원 대수 집단의 슈베르트 품종 위에 선다발 단면을 기술한다.많은 결과들이 Kac-Moody Algebras와 그 그룹들로 확대되었다.null

라크슈미바이 & 라그하반(2008)과 세샤드리(2007)의 표준 단원론과 브이 락슈미바이, C의 조사 기사에 관한 모노그래프가 있다.무실리, 그리고 C. S. Seshadri(1979)와 V.락스미바이와 C. S. 세샤드리(1991)

중요한 개방적인 문제들 중 하나는 이론의 완전히 기하학적 구조를 주는 것이다.^[1]null

역사

Alfred Young(1928)은 표준 Young tableau와 관련된 단조직을 소개했다.호지(1943) (또한 (Hodge & Pedoe 1994, p.378)는 복잡한 그라스만인의 균일한 좌표 고리에 대한 기초를 제공하기 위해 표준 동력 제품이라고 불렀던 영의 단원형을 사용했다.세샤드리(1978)는 이러한 품종들에 대한 선다발 섹션에 대해 표준 단원형을 사용한 명시적 기초를 제공함으로써 어떤 특성에서든 환원 대수집단의 포물선 부분군에 대해 Hodge의 작업을 다양한 G/P로 확장하기 위해 표준 단원론이라고 불리는 프로그램을 개시했다.호지에 의해 연구된 그라스만인의 경우는 특성 0에서 G가 특수 선형 그룹이고 P가 최대 포물선 부분군인 경우에 해당한다.세샤드리는 곧 V. 락스미바이와 치티킬라 무실리에 의해 이러한 노력에 동참하게 되었다.그들은 먼저 G의 미세한 표현을 위해 표준 단항 이론을 고안한 다음 고전 유형의 G 그룹을 위해 표준 단항 이론을 고안했고, 더 일반적인 경우를 위해 그것을 설명하는 몇 가지 추측을 공식화했다.Littelmann(1998)은 특히 모든 환원 그룹에 대한 표준 모노미알에 대해 균일한 설명을 제공하는 Littelmann 경로 모델을 사용하여 그들의 추측을 입증했다.null

라크슈미바이(2003)와 무실리(2003)와 세샤드리(2012)는 표준 단원론의 초기 발전에 대해 자세히 설명한다.null

적용들

• 일반화된 국기 품종 위에 있는 선다발 부분들은 해당 대수집단을 되돌릴 수 없는 표현을 형성하는 경향이 있기 때문에, 표준 단수체의 명시적인 근거를 갖는 것은 이러한 표현에 대한 문자 공식을 제공할 수 있게 한다.마찬가지로 Demazure 모듈의 문자 수식을 얻는다.표준 단항 이론에 의해 주어진 명시적 근거는 결정 베이스와 리텔만 경로 모델과 밀접한 관련이 있다.
• 표준 단항 이론은 슈베르트 품종의 특이점을 설명할 수 있게 하며, 특히 슈베르트 품종이 정상 또는 코헨-매컬레이라는 것을 증명하기도 한다.
• 표준 단항 이론은 드마주어의 추측을 입증하는 데 사용될 수 있다.
• 표준 단항 이론은 슈베르트 품종보다 효과적인 선다발의 상위 공동체를 위한 켐프 소멸 정리 및 기타 소멸 이론들을 증명한다.
• 표준 단항 이론은 불변 이론에서 일부 불변성의 고리에 대한 명확한 근거를 제시한다.
• 표준 단항 이론은 리틀우드-리처드슨 법칙의 일반화를 모든 환원 대수 집단에 대한 텐서 생성물의 분해에 관한 것이다.
• 표준 단항 이론은 양성 특성에서 환원 대수 집단의 일부 표현에 대한 좋은 오차의 존재를 입증하는 데 사용될 수 있다.

메모들

참조

• Hodge, W. V. D. (1943), "Some enumerative results in the theory of forms", Proc. Cambridge Philos. Soc., 39 (1): 22–30, Bibcode:1943PCPS...39...22H, doi:10.1017/S0305004100017631, MR 0007739
• Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994) [1952], Methods of Algebraic Geometry: Volume 2 Book III: General theory of algebraic varieties in projective space. Book IV: Quadrics and Grassmann varieties., Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46901-2, MR 0048065
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• Lakshmibai, Venkatramani; Raghavan, Komaranapuram N. (2008), Standard monomial theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 137, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-76757-2, ISBN 978-3-540-76756-5, MR 2388163
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• Littelmann, Peter (1998), "Contracting modules and standard monomial theory for symmetrizable Kac-Moody algebras", Journal of the American Mathematical Society, 11 (3): 551–567, doi:10.1090/S0894-0347-98-00268-9, ISSN 0894-0347, MR 1603862
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• Seshadri, C. S. (2007), Introduction to the theory of standard monomials, Texts and Readings in Mathematics, vol. 46, New Delhi: Hindustan Book Agency, ISBN 9788185931784, MR 2347272
• Seshadri, C. S. (2012), "Standard monomial theory — a historical account", Collected papers of C. S. Seshadri. Volume 2. Schubert geometry and representation theory., New Delhi: Hindustan Book Agency, pp. 3–50, ISBN 9789380250175, MR 2905898
• Young, Alfred (1928), "On Quantitative Substitutional Analysis", Proc. London Math. Soc., 28 (1): 255–292, doi:10.1112/plms/s2-28.1.255