리텔만 경로 모델

수학에서 리텔만 경로 모델은 대칭성 Kac-Moody Algebras의 표현 이론에서 과대계상하지 않고 다수를 계산하기 위해 피터 리텔만 때문에 결합하는 장치다.그것의 가장 중요한 적용은 이 기사에서 설명한 사례인 복잡한 반실행 Lie Algebras 또는 동등하게 콤팩트한 반실행 Lie 그룹이다.되돌릴 수 없는 표현, 텐서 제품 및 분기 규칙의 곱은 Lie 대수학의 단순한 뿌리에 의해 주어진 라벨로 컬러 지시 그래프를 사용하여 계산할 수 있다.

양자 그룹에 대한 가시와라·루시틱의 연구로부터 발생하는 결정기반의 이론과 C. Seshadri·Lakshmibai의 표준 단항 이론 사이에 가교로 개발되어, 리텔만의 경로모델은 각각 발원지부터 무게까지의 경로에 의해 주어지는 근거와 함께 합리적 벡터 공간을 나타낸다.각 단순 루트의 경로에 작용하는 루트 연산자 쌍.이것은 이전에 가시와라와 루스틱이 양자 그룹을 이용하여 발견한 대수적 구조와 결합적 구조를 직접적으로 회복하는 방법을 제공한다.

배경과 동기

Hermann Weyl로 거슬러 올라가는 복잡한 semism Lie 알헤브라스 또는 콤팩트 semism Lie 그룹의 표현 이론에서 기본적인 질문들 중 일부는 다음과 같다.^[1]^[2]

주어진 지배적인 중량 λ의 경우, 가장 높은 중량 λ을 가진 수정 불가능한 표현 L(λ)에서 중량 승수를 구한다.
두 개의 가장 높은 가중치 μ, μ의 경우, 텐서 제품 L(μ) $\otimes$ $\otimes$ (μ)를 수정 불가능한 표현으로 분해하는 것을 발견한다.
${\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{1}$ ${\$ $displaystyle$ ${\mathfrak{g}_{1$ }이 semisimplement Lie ${\mathfrak {g}}$ g ${\mathfrak {g}}$ {\ $displaystyle {\$ $mathfrak$ ${g$ $}$ 의 포물선 하위골격의 Levi 성분이라고 ${\mathfrak {g}}_{1}$ 가정합시다 ${\mathfrak {g}}$ 주어진 가장 높은 중량 λ에 대해 L(iiiii)의 ${\mathfrak {g}}_{1}$ 을 분해하기 위한 분기 규칙을 결정한다 $.$ $}_{1}}$ .^[3]

(체중 승수의 첫 번째 문제는 포물선 아발선이 보렐 아발선인 세 번째 특별한 경우라는 점에 유의하십시오.더욱이, Levi 분기 문제는 특정 제한 사례로서 텐서 제품 문제에 포함될 수 있다.)

이러한 질문에 대한 답은 먼저 허만 바일, 리처드 브라워에 의해 명시적 성격 공식의 결과로 제공되었고,^[4] 그 뒤에 한스 프로이드텐탈, 로버트 스타인버그, 버트람 코스탄트의 결합 공식들이 뒤따랐다; 험프리스(1994년 참조).이러한 공식의 불만족스러운 특징은 음이 아닌 것으로 알려진 수량에 대한 교대 합을 포함했다는 것이다.리텔만의 방법은 이러한 곱을 과대계수 없이 음이 아닌 정수의 합으로 표현한다.그의 작품은 일반 선형 리 대수 g ${\mathfrak {gl}}$ ${\$ 또는 ${\mathfrak {gl}}$ _n 특수 선형 리 대수 l ${\mathfrak {sl}}$ ${\$ _n^[5]^[6]^[7]^[8]에 대한 영 tableaux를 바탕으로 고전적인 결과를 일반화한다.

잇사이 슈르의 1901년 논문에서 체중 승수는 칼럼 강도의 영 표(즉, 열을 따라 오른쪽으로 약하게 증가하여 아래 열을 엄격히 증가시키는 것)의 관점에서 셀 수 있다는 결과가 나왔다.
는 g나는{\displaystyle{\mathfrak{gl}에서}둘 다 텐서 제품 decompositions과 분기를 설명하는 유명한 Littlewood–Richardson 규칙}m+n 나는{\displaystyle{\mathfrak{gl}입수해} 엇물린 예술 작품의 격자 형태의 측면에서}m⊕{\oplus\displaystyle}g나는{\displaystyle{\mathfrak{gl}}}n.x

다른 고전적인 리알헤브라를 위해 과대계상하지 않고 유사한 알고리즘을 찾으려는 시도는 부분적으로만 성공적이었다.^[9]

Littelmann의 기여는 모든 대칭성 Kac-Moody 알헤브라에 적용되고 체중 승수, 텐서 제품 규칙 및 분기 규칙에 대한 명확한 감산 없는 결합 공식을 제공하는 통일된 결합기 모델을 제공하는 것이었다.그는 카르탄 아발지브라 중량 격자에 의해 생성된 Q에 대한 벡터 공간 V를 도입하여 이를 달성하였고, V의 조각-선형 경로의 벡터 공간에서 ${\mathfrak {g}}$ 을 중량에 연결하는 G ${\$ 의 각 단순 루트에 대한 루트 연산자 쌍을 정의하였다 ${\mathfrak {g}}$ 결합기 데이터는 단순한 루트에 의해 제공된 라벨과 함께 컬러 방향 그래프로 인코딩될 수 있다.

리텔만의 주된 동기는^[10] 표현 이론의 두 가지 다른 측면을 조화시키는 것이었다.

슈베르트 품종의 기하학에서 발생하는 락슈미바이와 세샤드리(Seshadri)의 표준 일원론이다.
가시와라 마사키와 조지 루스틱의 양자 그룹에 대한 접근에서 발생하는 결정 기반.카시와라와 Lusztig는 형식 변형 매개변수 q에 따라 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\$ {\ $mathfrak{g}$ 의 범용 봉합 대수 변형을 나타내기 위한 표준적 기초를 구성했다.q = 0일 때 퇴화된 경우, 이러한 항복 결정들은 단순한 뿌리에 해당하는 연산자 쌍과 함께 기초한다. Ariki(2002)를 참조한다.

다르게 정의되었지만, 결정 기반, 뿌리 연산자 및 결정 그래프는 나중에 리텔만의 경로 모델 및 그래프와 동등한 것으로 나타났다. 홍&강(2002, 페이지 xv)을 참조한다.복잡한 반실행 리 알헤브라의 경우, 루트 시스템의 속성에만 의존하는 리텔만(1997)에 단순화된 자급자족 계정이 있다. 이 접근법은 여기서 따른다.

정의들

Semisimple Lie 대수 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 의 카르탄 하위골격의 이중에서 P를 중량 격자로 한다 ${\mathfrak {g}}$

리텔만 경로는 조각-선형 매핑이다.

\pi : [0,1]\cap \mathbf {Q} \rightarrow P\otimes _{\mathbf {Z}\mathbf {Q}}}}

π(0) = 0 및 π(1)이 중량인 경우.

(H_α) 단순한 뿌리(α)에 의해 ${\mathfrak {h}}$ 된 h ${\mathfrak {h}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathfak {h$ ${\mathfrak {h}}$ *의 기초에 이중으로, "코팅" 벡터로 구성되는 ${\mathfrak {h}}$ h ${\$ $displaystyle$ {\ $mathfak {h}}*$ 이(가) 기본이 되도록 한다.고정 α 및 경로 α의 경우 함수 $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ ) $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ = $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ ( $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ ( $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ ) $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ , $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ ) ${\displaystyle h(t)=(\pi (t),$ $H_{\alpha }}$ 에는 최소값 M이 있다 $h(t)=(\pi (t),H_{\alpha })$ .

[0,1] $\cap$ $\cap$ 의 $\cap$ 감소하지 않는 자가복제 l 및 r 정의

l(t)=\min _{t\leq s\leq s\leq 1}(1,h-M),\,\,\,\,\,r(t)=1-\min _{0\leq s\leq t}(1,h(s)-M)

따라서 l(t) = h(s) = M, r(t) = 처음 h(s) = M 이후 마지막 시간까지 0.

다음_r 기준의 새 경로_l 정의

\pi _{r}(t)=\pi(t)+r(t)\pi,\\\\,\,\,\,\,\,\, {l}(t)=\pi(t)\pi\cH00\

루트 연산자 e와_α f는_α 기준 벡터 [ vector]에 의해 정의된다.

$\displaystyle {e_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{r}]}$ [ $\displaystyle {e_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{r}]}$ $\displaystyle {e_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{r}]}$ = [ $\displaystyle {e_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{r}]}$ r $\displaystyle {e_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{r}]}$ = $[\$ r (0) = 0이고 그렇지 않으면 $\displaystyle {e_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{r}]}$ ,
$\displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}$ [ $\displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}$ $\displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}$ = [ $\displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}$ $\displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}$ $\displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}$ = ${\$ l (1) = 1이고 다른 경우 $\displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}$ .

여기서 중요한 특징은 경로가 단항표현과 같은 루트 운영자의 기초를 형성한다는 것이다: 루트 운영자가 경로의 기본 요소에 적용되면 결과는 0이거나 다른 경로의 기본 요소가 된다.

특성.

${\mathcal {A}}$ ${\$ 을(를) 루트 연산자에 의해 생성된 대수(대수)로 ${\mathcal {A}}$ 한다.π(t)는 단순한 뿌리에 의해 정의되는 양의 Weyl 챔버 내에 완전히 놓여 있는 경로가 되도록 한다.Littelmann은 C. Seshadri와 Lakshmibai의 경로 모델에 대한 결과를 사용하여 다음과 같은 것을 보여주었다.

[π]에서 생성된 ${\mathcal {A}}$ ${\$ { $A}$ -모듈은 ${\mathcal {A}}$ π(1) = λ에만 의존하며 경로[σ]로 구성된 Q-basis를 가지고 있다.
통합 가능한 최고 중량 표현 L(1983)에서 중량 μ의 곱은 μs = μs의 경로 수입니다.

Weyl 그룹의 동작도 경로[경로]에 있다.α가 단순근이고 k = h(1)가 위와 같이 h를 갖는 경우, 해당 반사 s는_α 다음과 같이 작용한다.

s_α [s] = [snf] k = 0인 경우;
s_α k > 0일 경우 [π]= f [π_α^k];
s_α k < 0일 경우 [π]= e [π_α^{– k}]

π이 양의 Weyl 챔버 내부에 완전히 놓여 있는 경로인 경우, Littelmann ${\mathcal {G}}_{\pi }$ G ${\$ 은 연산자_α f를 연속적으로 applying에 적용하여 얻은 0이 아닌 경로를 정점으로 하는 색상, 방향 그래프로 정의된다 ${\mathcal {G}}_{\pi }$ .f를_α 적용하여 소스 경로로부터 목표 경로를 얻는 경우, 단순한 루트 α로 표시된 다른 경로로 가는 방향 화살표가 있다.

두 경로의 Littelmann 그래프는 경로가 동일한 끝점을 갖는 경우에만 색상, 지시된 그래프와 같은 이형이다.

따라서 리텔만 그래프는 λ에만 의존한다. 가시와라와 요셉은 이것이 가시와라가 크리스털 베이스 이론에서 정의한 '결정 그래프'와 일치한다는 것을 증명했다.

적용들

문자식

π(1) = λ인 경우 L(λ)의 중량 μ의 곱셈은 is(1) = μ인 ${\mathcal {G}}_{\pi }$ Littelmann 그래프 ${\mathcal {G}}_{\pi }$ ${\$ 의 정점수 number이다.

일반화된 리틀우드-리처드슨 규칙

π과 σ을 π(1) = λ, μ(1) = μ의 양의 Weyl 챔버의 경로가 되게 한다. 그리고

L(\lambda )\otimes L(\mu )=\bigoplus _{\eta }L(\lambda +\tau(1)),

where τ ranges over paths in ${\mathcal {G}}_{\sigma }$ such that π $\star$ τ lies entirely in the positive Weyl chamber and the concatenation π $\star$ τ (t) is defined as π(2t) for t ≤ 1/2 and π(1) + τ( 2t – 1) for t ≥ 1/2.

분기 규칙

${\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{1}$ ${\$ }이 중량 ${\mathfrak {g}}_{1}$ 격자 P가₁ ${\displaystyle {\$ $mathfrak {g}$ 인 ${\mathfrak {g}}$ $\supset$ 포물선 하위격의 Levi 성분인 경우, $\supset$ 그 다음,

L(\lambda ) _{\mathfrak {g}_{1}}=\bigoplus _{\sigma }L_{\mathfrak{g}}}{\mathfrak{g

${\mathcal {G}}_{\pi }$ 서 합계는 ${\mathcal {G}}_{\pi }$ 1 {\ $displaystyle {\mathcal{G}_{\pi }$ 의 모든 경로에 걸쳐 있으며, 이 값은 ${\mathcal {G}}_{\pi }$ ${\mathfrak {g}}_{1}$ 1 ${\$ }에 대한 양의 Weyl 챔버에 전적으로 놓여 있다 ${\mathfrak {g}}_{1}$

참고 항목

크리스털 베이시스

메모들

^ 웨일 1953년
^ 험프리스 1994
^ 모든 콤플렉스 semisimple Lie 대수 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 는 콤팩트하게 연결된 semisimple Lie 그룹의 Lie 대수법을 복잡하게 만드는 것이다 ${\mathfrak {g}}$ .하위격자 ${\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{1}$ ${\$ }는 최대 ${\mathfrak {g}}_{1}$ 등급 폐쇄 부분군, 즉 최대 토러스(torus)를 포함하는 부분군.
^ Weyl 1953 페이지 230,312.최대 순위 하위 그룹과 텐서 제품에 대한 제한에 대한 "Brauer-Weyl 규칙"은 Brauer (직교 그룹의 표현에 관한 논문에서)와 Weyl (compact semismple Lie 그룹의 표현에 관한 논문에서)에 의해 독립적으로 개발되었다.
^ 리틀우드 1950
^ 맥도널드 1979년
^ 순다람 1990
^ 1990년 왕
^ 물리학자 R. C. 킹과 수학자 S를 포함한 수많은 저자들이 공헌을 했다.순다람, I. M. Gelfand, A. Zelevinskinski, A.베렌슈타인.킹(1990년)과 순다람(1990년)에 대한 조사는 체중 승수, 분기 규칙 및 텐서 제품을 계산하는 데 사용될 수 있는 영 표고의 변형을 제공한다.베렌슈타인 & 젤레빈스키(2001)는 1988년 제안된 볼록 폴리스토페스를 이용한 그들의 방법이 리텔만 경로와 크리스탈 베이스와 어떻게 관련이 있는지 논의한다.
^ 리텔만 1997

참조

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Berenstein, Arkady; Zelevinsky, Andrei (2001), "Tensor product multiplicities, canonical bases and totally positive varieties", Invent. Math., 143 (1): 77–128, arXiv:math/9912012, Bibcode:2001InMat.143...77B, doi:10.1007/s002220000102, S2CID 17648764
Hong, Jin; Kang, Seok-Jin (2002), Introduction to Quantum Groups and Crystal Bases, Graduate Studies in Mathematics, vol. 42, American Mathematical Society, ISBN 0821828746
King, Ronald C. (1990), "S-functions and characters of Lie algebras and superalgebras", Institute for Mathematics and Its Applications, IMA Vol. Math. Appl., Springer-Verlag, 19: 226–261, Bibcode:1990IMA....19..226K
Humphreys, James E. (1994), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory (2 ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90053-5
Littelmann, Peter (1994), "A Littlewood-Richardson rule for symmetrizable Kac-Moody algebras", Invent. Math., 116: 329–346, Bibcode:1994InMat.116..329L, doi:10.1007/BF01231564, S2CID 85546837
Littelmann, Peter (1995), "Paths and root operators in representation theory", Ann. of Math., Annals of Mathematics, 142 (3): 499–525, doi:10.2307/2118553, JSTOR 2118553
Littelmann, Peter (1997), "Characters of Representations and Paths in ${\mathfrak {h}}$ _R*", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society, 61: 29–49, doi:10.1090/pspum/061/1476490 [오피셜 코스]
Littlewood, Dudley E. (1977) [1950], The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups, AMS Chelsea Publishing Series, vol. 357 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-7435-6
Macdonald, Ian G. (1998), Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford mathematical monographs (2nd ed.), Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850450-4
Mathieu, Olivier (1995), Le modèle des chemins, Exposé No. 798, Séminaire Bourbaki (astérique), vol. 37
Sundaram, Sheila (1990), "Tableaux in the representation theory of the classical Lie groups", Institute for Mathematics and Its Applications, IMA Vol. Math. Appl., Springer-Verlag, 19: 191–225, Bibcode:1990IMA....19..191S
Weyl, Hermann (2016) [1953], The Classical Groups: Their Invariants and Representations (PMS-1), Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, vol. 45 (2nd ed.), Princeton University Press, ISBN 978-1-4008-8390-5

[1] 웨일 1953년

[2] 험프리스 1994

[3] 모든 콤플렉스 semisimple Lie 대수 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 는 콤팩트하게 연결된 semisimple Lie 그룹의 Lie 대수법을 복잡하게 만드는 것이다 ${\mathfrak {g}}$ .하위격자 ${\mathfrak {g}}_{1}$ ${\mathfrak {g}}_{1}$ ${\$ }는 최대 ${\mathfrak {g}}_{1}$ 등급 폐쇄 부분군, 즉 최대 토러스(torus)를 포함하는 부분군.

[4] Weyl 1953 페이지 230,312.최대 순위 하위 그룹과 텐서 제품에 대한 제한에 대한 "Brauer-Weyl 규칙"은 Brauer (직교 그룹의 표현에 관한 논문에서)와 Weyl (compact semismple Lie 그룹의 표현에 관한 논문에서)에 의해 독립적으로 개발되었다.

[5] 리틀우드 1950

[6] 맥도널드 1979년

[7] 순다람 1990

[8] 1990년 왕

[9] 물리학자 R. C. 킹과 수학자 S를 포함한 수많은 저자들이 공헌을 했다.순다람, I. M. Gelfand, A. Zelevinskinski, A.베렌슈타인.킹(1990년)과 순다람(1990년)에 대한 조사는 체중 승수, 분기 규칙 및 텐서 제품을 계산하는 데 사용될 수 있는 영 표고의 변형을 제공한다.베렌슈타인 & 젤레빈스키(2001)는 1988년 제안된 볼록 폴리스토페스를 이용한 그들의 방법이 리텔만 경로와 크리스탈 베이스와 어떻게 관련이 있는지 논의한다.

[10] 리텔만 1997

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