표준 부품 함수

비표준 분석에서 표준 부품 함수는 제한된 (완료된) 초실수에서 실제 숫자에 이르는 함수다. 간단히 말해서 표준 부품 함수는 유한 초현실성을 가장 가까운 실제에 "반올림"한다. 모든 초현실적 $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 과(와) 연관되어 있으며 $x$ 고유한 real $x_{0}$ $x_{0}$ ${\$ 에 무한히 $x_{0}$ 가까운 x $x-x_{0}$ - $x-x_{0}$ 0 ${\$ 는 최소값이다 $x-x_{0}$ . 이와 같이 피에르 드 페르마트가 도입한 역사적 적정성 개념을 수학적으로 구현한 것은 물론,^[1] 라이프니츠의 동질성의 초월법칙이기도 하다.

표준 부품 함수는 ${}^{\circ }x$ $x$ ${\$ $displaystyle {}^{\circle }x}$ 표기법 ${}^{\circ }x$ x {\ $displaystyle$ x}을 $($ 를) 사용한 ${}^{\circ }x$ 에이브러햄 로빈슨에 의해 처음 정의되었다( $x$ 로빈슨 1974 참조). 이 개념은 비표준 분석에서 연속성, 파생성 및 적분과 같은 미적분학의 개념을 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다. 후자 이론은 인피니티멘탈을 이용한 계산의 엄밀한 공식화다. x의 표준 부분을 그림자라고 부르기도 한다.

정의

표준 부품 함수는 가장 가까운 실제 숫자에 대해 유한 초현실적 함수를 "반올림"한다. "최소 현미경"은 표준 실제의 극소수 주변을 보는 데 사용된다.

Nonstandard analysis deals primarily with the pair $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$ , where the hyperreals ${}^{*}\mathbb {R}$ are an ordered field extension of the reals $\mathbb {R}$ , and contain infinitesimals, in addition to the reals. 초현실 라인에서 모든 실제 숫자들은 그것과 무한히 가까운 초현실적인 숫자의 집합(모나드 또는 후광이라고 함)을 가지고 있다. 표준 부품 함수는 유한 초현실 x, 그것과 무한히 가까운 고유한 표준 실수 x와₀ 연관된다. 관계는 글로써 상징적으로 표현된다.

\propertname {st}(x)=x_{0}

모든 극소수의 표준 부분은 0이다. 따라서 N이 무한초자연인 경우 1/N은 최소값이고, st(1/N) = 0이다.

초현실 $u$ $u$ 이(가) 초고층 구조에서 $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ Cauchy 시퀀스 $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ sequence $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ n $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ : $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ N $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ ⟩ $\langle u_{n$ n: $n\in \mathb {N} \regle }$ 로 표시되는 $u$ 경우

\property \st}=\lim _{n\to \infit }u_{n}.

More generally, each finite $u\in {}^{*}\mathbb {R}$ defines a Dedekind cut on the subset $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$ (via the total order on ${}^{\ast }\mathbb {R}$ ) and the corresponding real number is the standard part u의

내부 아님

표준 부품 함수 "st"는 내부 세트로 정의되지 않는다. 이것을 설명하는 방법에는 여러 가지가 있다. 아마도 가장 간단한 것은 제한된 (즉, 유한한) 하이퍼레알의 집합체인 그것의 도메인 L이 내부 집합이 아니라는 것이다. 즉, L은 경계(예를 들어 어떤 무한초자연적인 것에 의해)되기 때문에 L이 내부라면 L은 최소 상한을 가져야 할 것이지만 L은 최소 상한을 가지고 있지 않다. Alternatively, the range of "st" is $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$ , which is not internal; in fact every internal set in ${}^{*}\mathbb {R}$ that is a subset of $\mathbb {R}$ is necessarily finite, see (Goldblatt, 1998).

적용들

미적분의 모든 전통적인 개념은 다음과 같이 표준 부품 함수의 관점에서 표현될 수 있다.

파생상품

표준 부품 함수는 함수 f의 파생상품을 정의하는 데 사용된다. f가 실제 함수이고 h가 최소 함수인 경우, f′(x)가 있는 경우

f'(x)=\st}\lefts\frac {f(x+h)-f(x)}{h}\right).

Alternatively, if $y=f(x)$ , one takes an infinitesimal increment $\Delta x$ , and computes the corresponding $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ . One forms the ratio ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ . 파생상품은 비율의 표준 부분으로 정의된다.

{\frac}{dx}}=\operatorname {st} \좌측({\fract {\Delta y}{\Delta x}}\우측)

적분

Given a function $f$ on $[a,b]$ , one defines the integral ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ as the standard part of an infinite Riemann sum $S(f,a,b,\Delta x)$ when the value of $\Delta x$ is 간격의 하이퍼피니트 파티션을 이용하여 최소로 간주한다[a,b].

한계

시퀀스 $(u_{n})$ $(u_{n})$ ) ${\displaystyle (u_{n$ 에 따라 제한은 ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ n ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ → ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ → ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ = ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ ( ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ ) ${\textstyle \lim _{n\to \inft }u_=\operatorname {st}(u_{})$ 로 정의된다. $H}}$ 여기서 ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ $H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ $H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ $H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ $H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ $H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ ${\$ 은(는) 무한 지수다 $H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$ . 여기서는 선택한 무한지수와 상관없이 표준부분이 같을 경우 한계가 존재한다고 한다.

연속성

$\operatorname {st} \circ f$ 함수 $f$ ${\displaystyle$ $f}$ 은 $\operatorname {st} \circ f$ 는) $\operatorname {st} \circ f$ $\operatorname {st} \circ f$ 이(가) $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 의 후광에 일정한 경우에만 $x$ $\operatorname {st} \circ f$ 실제 지점 $x$ ${\displaystysty$ x}에서 연속성을 $f$ 참조하십시오 $x$

참고 항목

메모들

^ 카린 우사디 카츠와 미하일 G. 카츠(2011) 현대 수학의 명목론적 경향과 그 역사학에 대한 버제스식 비평. 과학의 기초. doi:10.1007/s10699-011-9223-1 [1] arxiv를 참조한다. 저자들은 페르마 로빈슨 표준 부분을 참조한다.

참조

골드블랫, 로버트 과급에 대한 강의. 비표준 분석의 도입. 수학 대학원 교과서 188. 스프링거-베를라크, 1998.
에이브러햄 로빈슨. 비표준 분석. 제2판(1974년)의 재인쇄. 빌헬름무스 A. J. 룩셈부르크의 서문과 함께. 프린스턴 대학 수학의 랜드마크. 프린스턴 대학 출판부, 프린스턴, NJ, 1996. xx+293 페이지 ISBN 0-691-04490-2

[1] 카린 우사디 카츠와 미하일 G. 카츠(2011) 현대 수학의 명목론적 경향과 그 역사학에 대한 버제스식 비평. 과학의 기초. doi:10.1007/s10699-011-9223-1 [1] arxiv를 참조한다. 저자들은 페르마 로빈슨 표준 부분을 참조한다.

[1]

v t 인피니티시말스
역사	적정성 라이프니츠의 표기법 적분 기호 비표준 분석 비판 애널리스트 기계식 이론의 방법 카발리에리의 원리
관련분지점	비표준분석 비표준 미적분학 내부 집합론 합성미분 기하학 원활한 최소 분석 건설비표준분석 최소변형론(물리학)
공식화	미분 초현실수 이중수 초현실수
개별개념	표준 부품 함수 이동원리 하이퍼인테거 증분정리 모나드 내부 세트 레비시비타 필드 하이퍼피니트 세트 연속성의 법칙 오버스필 미세연속성 동질성의 초월법칙
수학자	고트프리트 빌헬름 라이프니즈 에이브러햄 로빈슨 피에르 드 페르마 아우구스틴루이코치 레온하르트 오일러
교과서	인피니언 펫 분석 기초 미적분학 쿠르스 다르날리스

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