차등(소수)

미적분학에서 미분학이라는 용어는 일부 다양한 양의 극소수(무한히 작은) 변화를 나타내기 위해 사용된다. 예를 들어 x가 변수인 경우 x의 값 변화는 Δx(pronled delta x)로 표시되는 경우가 많다. 차등 dx는 변수 x의 무한히 작은 변화를 나타낸다. 무한히 작거나 무한히 느린 변화라는 생각은 직관적으로 극히 유용하며, 그 개념을 수학적으로 정밀하게 만드는 여러 가지 방법이 있다.

미적분학을 사용하면 다양한 변수의 무한히 작은 변화를 수학적으로 서로 연관시킬 수 있다. y가 x의 함수인 경우 y의 차동 dy는 공식에 의해 dx와 관련된다.

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}\,dx,}$

여기서 $d{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ $displaystyle {\frac {dy}{dx}\}$은(는) x에 대한 y의 파생어를 나타낸다$$. 이 공식은 x에 대한 y의 파생상품이 Δx가 최소가 되면서 차이 Δy/Δx의 비율의 한계라는 직관적인 생각을 요약한 것이다.

차이점 개념을 수학적으로 정밀하게 만드는 몇 가지 접근법이 있다.

1. 선형 맵으로서의 차등. 이 접근방식은 차등 기하학에서 파생상품과 외부 파생상품의 정의에 기초한다.^[1]
2. 정류 링의 영점 원소로서의 미분. 이 접근법은 대수 기하학에서 인기가 있다.^[2]
3. 집합 이론의 부드러운 모델에서의 차이점. 이 접근방식은 합성 미분 기하학 또는 부드러운 최소 분석으로 알려져 있으며, 대수 기하학적 접근방식과 밀접하게 관련되어 있는데, 단, 토포스 이론의 아이디어는 영분 인피니티멀스가 도입되는 메커니즘을 감추기 위해 사용된다.^[3]
4. 초현실적 수 시스템에서 인피니티미멀으로서의 차등, 이것은 변치 않는 인피니티미멀과 무한히 큰 숫자를 포함하는 실수의 확장이다. 이것은 에이브러햄 로빈슨이 개척한 비표준 분석의 접근법이다.^[4]

이러한 접근법은 서로 매우 다르지만, 양적인 개념, 즉 단순히 미분차가 무한히 작다는 것만이 아니라 얼마나 작다는 공통점을 가지고 있다.

이력 및 사용법

미적분학의 발전에 극히 적은 양이 중요한 역할을 했다. 아르키메데스는 인피니티즘을 수반하는 주장이 엄격하다고는 믿지 않았음에도 불구하고 그것들을 사용했다.^[5] 아이작 뉴턴은 그들을 플럭스라고 불렀다. 그러나 극소수량에 대한 미분이라는 용어를 만들어 오늘날에도 여전히 사용되고 있는 기호를 도입한 사람은 고트프리트 라이프니즈였다.

라이프니츠의 표기법에서 x가 변수 수량인 경우 dx는 변수 x의 극소수 변화를 나타낸다. 따라서 y가 x의 함수라면, x에 관한 y의 파생상품은 dy/dx로 표기되는 경우가 많으며, 그렇지 않으면 (뉴턴 또는 라그랑주 표기법에서) ẏ 또는 y′로 표기될 것이다. 이러한 형태의 차이점 사용은 예를 들어 버클리 비숍이 쓴 유명한 팜플렛 <분석가>에서 많은 비판을 받았다. 그럼에도 불구하고 이 표기법은 x에서 y의 파생상품이 x의 변화율(그래프의 접선선의 기울기)이라는 생각을 강하게 시사하고 있어, x의 변화가 임의로 작아짐에 따라 x의 변화에 대한 y의 변화율 Δy/Δx의 한도를 취함으로써 얻을 수 있을 것이다. dx와 같은 미분차가 변수 x와 동일한 치수를 갖는 치수 분석에도 미분차가 적합하다.

적분은 최소량의 무한 합으로 간주될 수 있기 때문에 통합에 대한 표기법에도 미분법이 사용된다. 즉, 그래프 아래의 영역은 그래프를 무한히 얇은 스트립으로 세분하고 그 영역을 합하여 얻는다. 다음과 같은 표현으로

${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$

적분 기호(수정된 긴 s)는 무한의 합을, f(x)는 얇은 스트립의 " ""을, 미분 dx는 무한히 얇은 폭을 나타낸다.

선형 맵으로서의 차등

미분들을 선형 지도로 간주하여 정밀하게 이해할 수 있는 간단한 방법이 있다. 예를 들어, $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 실제 값 함수라고 가정합시다$.$ $변수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$}$을( $x{\displaystyle }$) ${\displaystyf(x)$가 숫자가 아닌 함수로$$ 재해석할 수 있으며, 이 값은 $실제{\displaystyle }$ 라인의 ID 맵이다.${\displaystyle p}$ to itself: ${\displaystyle x(p)=p}$. Then ${\displaystyle f(x)}$ is the composite of ${\displaystyle f}$ with ${\displaystyle x}$, whose value at ${\displaystyle p}$ is ${\displaystyle f(x(p))=f(p)}$. 차동 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle }$ f ${\displaystyle \operatorname {d}$ f$}($$물론{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$에 따라 다름$)$는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyp$ p$}($일반적으로 d $p{\displaystyle }$ ${\$}\$displaystydf_$${p$$}}$로 표시됨$)$의 값이 $숫자$가 아니라 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystatest$$.$$yle \mathbb {R} }$. Since a linear map from ${\displaystyle \mathbb {R} }$ to ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is given by a ${\displaystyle 1\times 1}$ matrix, it is essentially the same thing as a number, but the change in the point of view allows us to think of ${\displaystyle df_{p}}$ as an infinitesimimal한 다음 표준 infinitimal $d{\displaystyle }$ x ${\displaystyle p_{}}$ ${\$와 비교하십시오$.$ 이 맵은 $다시{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$에서 R $displaystyle$$\mathb {R$$}$까지 $ID$ 맵입니다($$$입력{\displaystyle \mathrm{}}$ 1$$× 1 ${\displaystyleasestyleasesty}).$ ID 맵에는 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$이(가) 매우$$ 작으면 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle \epsilon }$) ${\displaystyle dx_{p}(\varepsilon )}}$이(가) 매우$$ 작다는 속성이 있어 이를 최소로 간주할 수 있다. 차등 ${\displaystyle {dp}_{}}$ ${\$는 d $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$의 배수일 뿐이며$,$ 이 배수는 정의상$$ 파생 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$($){\displaystyf f'(p)}$이기 때문에 동일한 속성을 가지고$$ 있다. We therefore obtain that ${\displaystyle df_{p}=f'(p)\,dx_{p}}$, and hence ${\displaystyle df=f'\,dx}$. Thus we recover the idea that ${\displaystyle f'}$ is the ratio of the differentials ${\displaystyle df}$ and ${\displaystyle dx}$.

이것은 단지 속임수가 아닐 것이다:

1. $그것$은 p$${\$displaystyle p}$에서 f$${\$displaystyle f}$의 파생상품 아이디어를 p ${\displaystyle$ p$\}$에서 f ${\displaystyle f}$에 대한 최상의$$ 선형 근사치로 포착했다$$.
2. 그것은 많은 일반화를 가지고 있다.

예를 들어 Rn(^{n}}에서 R{\displaystyle \mathbb{R}, 만약 f{\displaystyle f}함수}, 그때 우리가 한다면 선형 사상은{\displaystyle f}p에서 Rn{\displaystylep\in \mathbb{R}^{n}∈}differentiable[6]은 f라고 말한다 dfp{\displaystyle df_{p.}}$$ > ${\displaystyle$ $\mathb${$R$$} ^{n}$에서 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$\varepsilon >0}$에 대해$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 인접 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 있고$,$ x${\displaystyle \mathrm{nN}}${\$displaystystystystystystyleasex\x$\x\xin $N},$

${\displaystyle \왼쪽 f(x)-f(p)-df_{p}(x-p)\오른쪽 <\varepsilon \왼쪽 x-p\오른쪽 .}$

We can now use the same trick as in the one-dimensional case and think of the expression ${\displaystyle f(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n})}$ as the composite of ${\displaystyle f}$ with the standard coordinates ${\displaystyle x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}}$ on ${\displaystyle {\mathbb{R}}^{}}$${\displaystyle {}^n}$ ${\$${\displaystyle R}$$} ^{n}}$ $$($x{\displaystyle {}^{}{j}^{}}$ (${\displaystyle }$p ) ${\displaystyle$ x$^{j}(p)}$이(가) $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$$$$^{n}}}$의 j ${\d번째$ 구성 요소임$$). Then the differentials ${\displaystyle \left(dx^{1}\right)_{p},\left(dx^{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx^{n}\right)_{p}}$ at a point ${\displaystyle p}$ form a basis for the vector space of linear maps from ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 따라서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에서 f ${\$$displaystyle \operatorname {d}f_{p}}$를 다음과 같은 기본 요소의 선형 조합으로 $작성$할 수 있다${\displaystyle .<img\; alt="p"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:1.259ex;\; height:2.009ex;">}$

${\displaystyle df_{p}=\sum _{j=1}^{n_{j}f(p)\,(dx^{j})_{p}}}}$

The coefficients ${\displaystyle D_{j}f(p)}$ are (by definition) the partial derivatives of ${\displaystyle f}$ at ${\displaystyle p}$ with respect to ${\displaystyle x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}}$. Hence, if ${\displaystyle f}$ is differentiable on all of ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$${\displaystyle \mathb{R} ^{n$ 좀 더 간결하게 쓸 수 있다.

${\d}디스플레이 스타일 \frac 이름 {d}f={\frac {\frac}{\back x^{1}}\dx^{1}+{\frac {\back x^{2}}}\\x^{n}}\\x^{n}}},dx^{n}.}$

1차원의 경우 이것은

${\displaystyle df={\frac {df}{dx}dx}$

종전과 같이

이 아이디어는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$부터 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$m}}$까지 기능에 대한 직접적인 일반화를 이루며$,$ 좌표 변경에도 불변한다는 파생상품의 다른 정의에 비해 결정적인 이점을 가진다. 이는 매끄러운 다지관들 사이의 매끄러운 지도의 차이를 정의하는데 동일한 아이디어를 사용할 수 있다는 것을 의미한다.

차등: $x{\displaystyle }${\$displaystyle x}$에서${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle f(x)}$의 모든 부분파생상품의 존재는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 미분류의 존재에 필요한 조건이라는 점에 유의하십시오$.$ 그러나 충분한 조건은 아니다. counterexamps에 대한 내용은 Gateaux 파생 모델을 참조하십시오.

대수 기하학

대수 기하학에서 미분 및 기타 최소 개념은 공간의 좌표 링 또는 구조 피복이 영점 원소를 포함할 수 있다는 것을 수용함으로써 매우 명시적인 방식으로 처리된다. 가장 간단한 예는 이중 번호 R[ε]의 링이며, 여기서² = = 0이다.

이것은 지점 p에서 함수 f의 파생상품에 대한 알헤브로-기하학적 관점에 의해 동기 부여될 수 있다. 이를 위해 f - f(p)는 p에서 사라지는 R의 기능의 이상 I에_p 속한다는 점을 먼저 주목한다. 만약 파생상품 f가 p에서 소멸된다면, f - f(p)는 이 이상적인 정사각형 I에_p² 속한다. 따라서 p에서 f의 파생상품은 지수 공간 I_p/I의_p² 동등성 등급 [f - f(p)]에 의해 포착될 수 있으며, f의 1-제트(가치와 첫 번째 파생상품)는 모든 함수 modulo I의_p² 공간에서 f의 동등성 등급이다. 대수 기하학자들은 이 등가 등급이 좌표 링이 R이 아닌 점 p(R modulo I에_p 대한 함수의 지수 공간) R[ to]의_p² 점 p의 두꺼운 버전에 대한 f의 제한으로 간주한다. 이렇게 굵어진 점은 계략의 간단한 예다.^[2]

합성미분 기하학

인피니티멀에 대한 세 번째 접근방식은 합성 미분 기하학^[7] 또는 부드러운 인피니티멀 분석 방법이다.^[8] 이것은 대수-기하학적 접근방식과 밀접하게 관련되어 있는데, 다만 인피니티미티멀이 더 암묵적이고 직관적이라는 점을 제외한다. 이 접근방식의 주요 아이디어는 세트의 범주를 토포인 다른 범주로 대체하는 것이다. 이 범주에서는 실수와 평활함수 등을 정의할 수 있지만, 실수는 자동으로 영점 인피니티멀을 포함하므로 대수 기하학적 접근법에서와 같이 손으로 도입할 필요가 없다. 그러나 이 새로운 범주의 논리는 집합 범주의 친숙한 논리와 같지 않다. 특히 제외된 중간의 법칙은 이를 지탱하지 못한다. 즉, 설정-이론적 수학적 원칙이 건설적인 경우(예: 모순에 의한 증거를 사용하지 않음) 원활한 최소 분석으로 확장된다는 것을 의미한다. 어떤 사람들은^[who?] 이 단점을 긍정적인 것으로 여긴다. 왜냐하면 그것은 사람들이 어디에 있든지 건설적인 주장을 찾도록 강요하기 때문이다.

비표준분석

인피니티멘탈에 대한 마지막 접근법은 실제 수치를 확장하는 것을 포함하지만 덜 극단적인 방법이다. 비표준 분석 접근법에는 영점 인피니티멘트가 없으며, 무한히 큰 숫자의 왕복으로 볼 수 있는 반전성 인피니티멘트가 없다.^[4] 그러한 실수의 확장은 예를 들어, 순서(1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...)가 극소수를 나타내도록 실수의 순서에 대한 동등성 등급을 사용하여 명시적으로 구성할 수 있다. 이 새로운 초현실수 집합의 1차적 논리는 통상적인 실수에 대한 논리와 동일하지만, 완전성 공리(이차적 논리 포함)는 지탱하지 못한다. 그럼에도 불구하고, 이것은 미적분학을 사용하는 기초적이고 꽤 직관적인 미적분학 접근법을 개발하는 데 충분하다. 전송원리를 참조하라.

참고 항목

• 미분방정식
• 미분형
• 함수의 차등

메모들

참조

• Apostol, Tom M. (1967), Calculus (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1.
• Bell, John L. (1998), Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis (PDF).
• Boyer, Carl B. (1991), "Archimedes of Syracuse", A History of Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Darling, R. W. R. (1994), Differential forms and connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8.
• Eisenbud, David; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1
• Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (2nd ed.).
• Kock, Anders (2006), Synthetic Differential Geometry (PDF) (2nd ed.), Cambridge University Press.
• Lawvere, F.W. (1968), Outline of synthetic differential geometry (PDF) (published 1998).
• Moerdijk, I.; Reyes, G.E. (1991), Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer-Verlag.
• Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3.