분리할 수 없는 상품에 대한 효용 기능

경제학과 게임 이론의 일부 부문은 오직 전체로서만 거래될 수 있는 분리할 수 없는 상품, 즉 분리할 수 없는 아이템을 다룬다.예를 들어 조합 경매에서는 한정된 세트의 품목이 있으며, 모든 대리인은 품목의 서브셋을 살 수 있지만, 한 품목을 둘 이상의 대리점으로 나눌 수 없다.

일반적으로 모든 대리인은 항목의 모든 부분 집합에 주관적 효용을 부여한다고 가정한다.이는 다음 두 가지 방법 중 하나로 나타낼 수 있다.

An ordinal utility preference relation, usually marked by $\succ$ . The fact that an agent prefers a set $A$ to a set $B$ is written $A\succ B$ . If the agent only weakly prefers $A$ (i.e. either prefers ${\displaystyle$ $A}$ 또는 $A$ $A$ $A$ 과 $A$ B ${\displaystyle B$ 사이에 무관심하다. 그러면 $A\succeq B$ $A\succeq B$ $A\succeq B$ $A\succeq B$ 라고 쓰여진다 $A\succeq B$
일반적으로 $u$ $u$ 이(가) 나타내는 기본 유틸리티 함수 $u$ 에이전트가 집합 $A$ 에서 얻는 유틸리티는 $u(A)$ $u(A)$ 이라고 쓰여 있다 $A$ $u(A)$ 기본 유틸리티 기능은 종종 $u(\emptyset )=0$ = $u(\emptyset )=0$ {\ $displaystyle u(\emptyet$ )= $0}$ 과 같이 정규화된다 $u(\emptyset )=0$ 여기서 $\emptyset$ $\empteset$ 은 빈 집합이다 $\emptyset$ .

A cardinal utility function implies a preference relation: $u(A)>u(B)$ implies $A\succ B$ and $u(A)\geq u(B)$ implies $A\succeq B$ . Utility functions can have several properties.^[1]

단조도

단조로움이란 대리인이 항상(약하게) 여분의 품목을 선호한다는 것을 의미한다.공식:

선호 관계의 경우: $A\supseteq B$ $A\supseteq B$ $A\supseteq B$ 은(는) $A\succeq B$ $A\succeq B$ $A\succeq B$ $A\succeq B$ 을(를) 의미한다 $A\supseteq B$ $A\succeq B$
유틸리티 함수의 경우: $A\supseteq B$ $A\supseteq B$ $A\supseteq B$ 은(는 $u(A)\geq u(B)$ $u(A)\geq u(B)$ ( ) $u(A)\geq u(B)$ $u(A)\geq u(B)$ ( $u(A)\geq u(B)$ ${\displaystyle u(A)\geq u(B)}($ 즉, u는 모노톤 함수)를 의미한다 $A\supseteq B$ .

단조로움은 자유 처분 가정과 동등하다. 대리인이 항상 원하지 않는 물건을 버릴 수 있다면, 추가 품목은 효용성을 결코 감소시킬 수 없다.

부가성

첨가 효용
$(\displaystyle A}$	$(\displaystaystyle u(A)}$
$\displaystyle \emptyset }$	0
사과	5
모자를 씌우다	7
사과와 같은	12

부가성(선형성 또는 모듈성이라고도 함)은 "전체가 그 부분의 합과 같다"는 것을 의미한다.즉, 항목 집합의 효용성은 각 항목별 효용의 합이다.이 속성은 기본적인 효용 기능에만 관련된다. $모든$ A 세트 $(\displaystyle$ A $})$ 의 $A$ 항목에 대해

u(A)=\sum _{x\in A}u({x})

$u(\emptyset )=0$ ) $u(\emptyset )=0$ = $u(\emptyset )=0$ $u(\emptyet )=0$ 을 $u(\emptyset )=0$ 를) 가정하면 $u$ $u$ 은(는) 첨가함수인 셈이다 $u$ .동등한 정의는 다음과 같다: 모든 $항목$ A $A$ $B$ B ${\displaystyle B$

u(A)+u(B)=u(A\cup B)+u(A\cap B)+u(A\cap B).}

적층 효용 함수는 독립 재화의 특징이다.예를 들어, 사과와 모자는 독립된 것으로 간주된다: 어떤 사람이 사과를 가질 때 얻는 효용성은 그가 모자를 가지고 있든 없든 같은 것이고, 그 반대의 경우도 마찬가지다.이 경우에 대한 일반적인 효용 함수는 오른쪽에 주어진다.

수종과 초변형성

서브모듈라 효용
$(\displaystyle A}$	$(\displaystaystyle u(A)}$
$\displaystyle \emptyset }$	0
사과	5
빵을	7
사과와 빵	9

서브모듈라(submodularity)는 "전체적인 부분이 그 부분의 합보다 크지 않으며(그리고 적을 수도 있다)"는 것을 의미한다.모든 세트 $A$ $A$ 및 $A$ $B$ $B$ 에 대해 정식으로 $B$

u(A)+u(B)\geq u(A\cup B)+u(A\cap B)

즉 $u$ $u$ 은(는) 서브모듈러 집합함수다 $u$ .

등가 속성이 한계 효용을 감소시키고 있는데, 이는 $A\subseteq B$ $A\subseteq B$ $A\subseteq B$ ${\displaystyle$ $A}$ 및 $B$ ${\displaystyle$ A ${\subseteq B}$ 및 모든 x with $B$ B ${\displaystyle$ x $\notin B}$ 의 모든 집합에 대해 다음과 같은 $A$ 을 의미한다 $x\notin B$ ^[2]

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

(

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

{ x

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

) -

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

A

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

)

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

)

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

≥

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

u (

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

) { u (

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

)

{\displaystyle u (A\cup \{x\}-u(A)\geq u(B\cup \{x\}-u(B

대체재의 특징은 하위 효용함수다.예를 들어, 사과와 빵 덩어리는 대체품으로 간주될 수 있다: 사람이 사과를 먹음으로써 얻는 효용성은 이미 빵을 먹었더라면 더 작을 것이다(그리고 그 반대의 경우도 마찬가지인데, 그는 그 경우에 배가 덜 고프기 때문이다).이 경우에 대한 일반적인 효용 함수는 오른쪽에 주어진다.

초모듈러 효용
$(\displaystyle A}$	$(\displaystaystyle u(A)}$
$\displaystyle \emptyset }$	0
사과	5
칼질하다	7
사과와 칼	15

초변형성은 하위절차와 정반대되는 것으로, "전체가 그 부분의 합(그리고 더 많을 수도 있다)"을 의미한다.모든 세트 $A$ $A$ 및 $A$ $B$ $B$ 에 대해 정식으로 $B$

u(A)+u(B)\leq u(A\cup B)+u(A\cap B)

즉, $u$ $u$ 은 $u$ (는) 초모듈식 세트 기능이다.

등가 속성은 주변 유틸리티를 증가시키고 있으며, 이는 $A\subseteq B$ 가 $A\subseteq B$ $A\subseteq B$ 인 모든 $B$ 세트 $A$ ${\$ $displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystyle A\$ $subseteq B}$ 및 $x\notin B$ x $x\notin B$ $x\notin B$ $x\notin B$ 에 대해 다음과 같은 값을 갖는다는 것을 의미한다 $x\notin B$

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

{ x

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

) -

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

)

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

(

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

{

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

) -

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

)

{\displaystyle u(B\cup \{x\}-u(B)\geq u(A\cup \{x\}-u(A

슈퍼모듈러 효용 함수는 보완재의 특징이다.예를 들어, 사과와 칼은 보완적인 것으로 간주될 수 있는데, 사람이 사과로부터 받는 효용성은 이미 칼을 가지고 있다면(또한 그 반대의 경우) 칼로 사과를 자른 후에 먹는 것이 더 쉽기 때문이다.이 경우에 가능한 효용 함수는 오른쪽에 주어진다.

효용 함수는 그것이 하위 모델과 초모듈라인 경우에만 첨가된다.

하위적응성과 초적응성

하위 가독성(subaditive)이지만 하위 모형은 아님
$(\displaystyle A}$	$(\displaystaystyle u(A)}$
$\displaystyle \emptyset }$	0
X, Y 또는 Z	2
X,Y 또는 Y,Z 또는 Z,X	3
X,Y,Z	5

하위additivity는 모든 쌍의 분리 집합에 $대해$ A $,$ B $A,B$ 을(를) 의미한다.

u(A\cup B)\leq u(A)+u(B)

즉, $u$ $u$ 은 $u$ (는) 하위 추가 집합 함수다.

$u(\emptyset )$ ( $u(\emptyset )$ ) $u(\emptyet )$ 이 $u(\emptyset )$ (가) 음성이 아니라고 가정하면, 모든 서브모듈라 함수는 하위첨가적이다.단, 부차적 함수가 아닌 부차적 함수가 있다.예를 들어, $X$ , $Y$ {\ $displaystyle$ X $, Y$ Z의 동일한 항목이 3개 있다고 가정하고, 효용은 해당 수량에 따라 달라진다.오른쪽의 표는 하위 가독성이지만 하위 기종이 아닌 효용 함수를 설명한다.

u(\{X,Y\}})+u(\{Y,Z\}\cup \{Y,Z\}\cup \{X,Y\}\cap \{Y,Z\}}})+u(\{X,Y,Z\})

슈퍼모델은 아니지만 슈퍼모델은 아니다.
$(\displaystyle A}$	$(\displaystaystyle u(A)}$
$\displaystyle \emptyset }$	0
X, Y 또는 Z	1
X,Y 또는 Y,Z 또는 Z,X	3
X,Y,Z	4

슈퍼additivity는 모든 분리 쌍에 $대해$ A $,$ $B$ $A,B$ 을(를) 설정하는 것을 의미한다.

u(A\cup B)\geq u(A)+u(B)

즉, $u$ {\ $displaystyle u}$ 은 $u$ (는) 초첨가 집합함수다.

$u(\emptyset )$ ( $u(\emptyset )$ ) $u(\emptyet )$ 이 $u(\emptyset )$ (가) 양성이 아니라고 가정하면, 모든 초모형 함수는 초첨가적이다.그러나 초변형 기능이 아닌 비음극성 초가당함수가 있다.예를 들어, $X$ , $Y$ {\ $displaystyle$ X $, Y$ Z의 동일한 항목이 3개 있다고 가정하고, 효용은 해당 수량에 따라 달라진다.오른쪽의 표는 비음극성 및 초가당성이지만 초가변성이 아닌 효용 함수를 기술하고 있다.

u(\{X,Y\}})+u(\{Y,Z\}\cup \{Y,Z\}\cup \{X,Y\}\cap \{Y,Z\}}})+u(\{X,Y,Z\})

$u(\emptyset )=0$ ) $u(\emptyset )=0$ = 0 $u(\emptyet )=0$ 을(를) 가진 효용 함수는 초가당성과 하위가 모두 있는 경우에만 가법이라고 한다 $u(\emptyset )=0$ .

$u(\emptyset )=0$ ) $u(\emptyset )=0$ = $u(\emptyset )=0$ $u(\emptyet )=0$ 이라는 일반적인 가정으로 $u(\emptyset )=0$ 모든 서브모듈라 함수는 하위addictive이고 모든 초모듈라 함수는 과adabitive이다.빈 집합으로부터 효용성에 대한 어떠한 가정도 없이, 이러한 관계는 유지되지 않는다.

특히 하위 추가 기능이 아닌 경우 $u(\emptyset )$ $u(\emptyset )$ $u(\emptyet )$ 은(는) 음수여야 한다 $u(\emptyset )$ .For example, suppose there are two items, $X,Y$ , with $u(\emptyset )=-1$ , $u(\{X\})=u(\{Y\})=1$ and $u(\{X,Y\})=3$ . This utility function is submodular and supermodular and non-negative except는 빈 집합에 있지만 subadabitive는 아니다.

u(\{X,Y\})]u(\{X\})+u(\{Y\}).

또한 초모듈라 함수가 과용성이 아닌 경우 $u(\emptyset )$ $u(\emptyset )$ $u(\emptyet )$ 은 양수여야 한다 $u(\emptyset )$ .Suppose instead that $u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1$ . This utility function is non-negative, supermodular, and submodular, but is not superadditive, since

u(\{X,Y\})<u(\{X\}})+u(\{Y\}).

단위수요

단위 수요 유틸리티
$(\displaystyle A}$	$(\displaystaystyle u(A)}$
$\displaystyle \emptyset }$	0
사과	5
먹는 배	7
사과와 배	7

단위 수요(UD)는 대리인이 단일 재화만을 원한다는 것을 의미한다.대리인이 두 개 이상의 물건을 받으면 그 중 한 가지를 가장 높은 효용성을 주는 것으로 사용하고 나머지는 무시한다.공식:

선호 관계의 경우: 모든 $세트$ B ${\displaystyle$ $B$ $}$ 에 대해 $|A|=1$ A = 1 ${\displaystyle A$ $A\subseteq B$ = $|A|=1$ {\displaystyle A =1}을 $A\subseteq B$ (를) $A\succeq B$ 하위 집합 $A\subseteq B$ ${\displaystystyle A\succeq B}$ 이 $B$ ( $A\succeq B$ 있다 $A\succeq B$
유틸리티 함수의 경우:모든 $집합$ A $A$ 에 대해 $A$ ^[3]

u(A)=\max _{x\in A}u({x})

단위 수요 함수는 하위 모듈 함수의 극단적인 경우다.순수한 대체품인 것이 상품의 특징이다.예를 들어 사과와 배가 있고, 대리인이 과일 하나를 먹고자 한다면, 그의 효용 기능은 오른쪽 표에 예시된 대로 단위 수요다.

총대체물

유틸리티 기능의 공통 클래스 간의 격납 관계를 보여주는 그림.

총대체물(GS)은 대리인이 해당 품목을 대체재나 독립재로서 간주하되 보완재가 아닌 것으로 간주하는 것을 의미한다.이 재산에는 많은 형식적인 정의가 있는데, 모두 동등하다.

모든 UD평가는 GS이지만 그 반대는 아니다.
모든 GS 평가가 하위모델이지만 그 반대는 아니다.

자세한 내용은 총 대체품(할 수 없는 항목)을 참조하십시오.

따라서 다음과 같은 계층 간의 관계는 다음과 같다.

UD\subsetneq GS\subsetneq Subadular\subsetneq Subadditive

오른쪽의 다이어그램을 참조하십시오.

유틸리티 기능의 집합

효용 함수는 개인의 행복을 묘사한다.종종, 우리는 사회 전체의 행복을 설명하는 기능이 필요하다.이러한 기능을 사회복지함수라고 하며, 보통 2개 이상의 효용함수의 종합함수라고 한다.개별 효용 함수가 가법적인 경우 집계 함수에 대해 다음이 참이다.

골재 기능을 하다	속성	예 {a}, {b} 및 {a,b} 함수 값
골재 기능을 하다	속성	f	g	h	집계(f,g,h)
합계	첨가제	1,3; 4	3,1; 4		4,4; 8
평균	첨가제	1,3; 4	3,1; 4		2,2; 4
최소	초첨가성	1,3; 4	3,1; 4		1,1; 4
최대	하위첨가성	1,3; 4	3,1; 4		3,3; 4
중앙값	어느 쪽도 아니다	1,3; 4	3,1; 4	1,1; 2	1,1; 4
중앙값	어느 쪽도 아니다	1,3; 4	3,1; 4	3,3; 6	3,3; 4

참고 항목

참조

^ Gul, F.; Stacchetti, E. (1999). "Walrasian Equilibrium with Gross Substitutes". Journal of Economic Theory. 87: 95–124. doi:10.1006/jeth.1999.2531.
^ Moulin, Hervé (1991). Axioms of cooperative decision making. Cambridge England New York: Cambridge University Press. ISBN 9780521424585.
^ Koopmans, T. C.; Beckmann, M. (1957). "Assignment Problems and the Location of Economic Activities" (PDF). Econometrica. 25 (1): 53–76. doi:10.2307/1907742. JSTOR 1907742.

[gs99-1] Gul, F.; Stacchetti, E. (1999). "Walrasian Equilibrium with Gross Substitutes". Journal of Economic Theory. 87: 95–124. doi:10.1006/jeth.1999.2531.

[2] Moulin, Hervé (1991). Axioms of cooperative decision making. Cambridge England New York: Cambridge University Press. ISBN 9780521424585.

[kb57-3] Koopmans, T. C.; Beckmann, M. (1957). "Assignment Problems and the Location of Economic Activities" (PDF). Econometrica. 25 (1): 53–76. doi:10.2307/1907742. JSTOR 1907742.

[1]

[2]

[3]

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