슈퍼로그리듬

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수학에서 초일관(super logarithm)은 테트레이션의 두 역함수 중 하나이다.지수가 뿌리와 로그라는 두 개의 역함수를 가지고 있듯이, 테트레이션은 두 개의 역함수인 초뿌리와 초역함수를 가지고 있다.슈퍼로그를 해석하는 방법에는 다음과 같은 몇 가지가 있다.

• 지수함수의 아벨함수로서,
• 높이에 대한 테트레이션의 역함수로서,
• 로버트 무나포의 대수 계급 제도의 일반화로서,

양의 정수 값의 경우, base-e가 있는 초 로그는 1(복제된 로그)에 도달하기 위해 로그가 반복되어야 하는 횟수와 동일하다.그러나 음수 값에 대해서는 사실이 아니므로 완전한 정의라고 볼 수 없다.슈퍼로그의 정확한 정의는 비통합적(즉, 정수가 아닌 y의 ${\displaystyle {}^{}}$ y ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 정확한 정의에 따라 달라진다.비통합적 중재의 정의에 대한 명확한 합의가 없기 때문에 마찬가지로 비정수자 입력에 대한 초일관성(초일관성)에 대한 명확한 합의도 없다.

정의들

super-logarithm, ${\displaystyle \mathrm{writty}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \operatorname {lslog} _{b}(z),}$은(는) 에 의해 암묵적으로 정의된다$$.

${\displaystyle {\mathrm{슬로건}}_{}}$ ${\displaystyle b_{}b}$ ${\displaystyle {}^{}}$b${\displaystyle }$z ) = ${\displaystyle {슬로건}_{}}$ b ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle \mathrm{z}}$ )${\displaystyle }$+ 1 ${\displaystyle \operatorname {lslone} _{b}(b^{z})=\losgame {b}(z)+1$}$$및

${\displaystyle \operatorname {lslog} _{b}(1)=0.}$

이 정의는 초로그 출력만 가질 수 있으며, ${\displaystyle {}^{}}$ 출력물은 $b{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle {b{}^{}}^{}}$, ${\displaystyle {b^{}}^{}}$ ${\displaystyle b,b^{b},b$$^{b},$ 등 형식의 입력에 대해서만 정의됨을 의미한다.초로그의 영역을 이 희박한 집합에서 실제 숫자로 확장하기 위해, 여러 가지 접근법이 추진되었다.이러한 요구사항에는 일반적으로 위에 열거된 요구사항 외에 세 번째 요구사항이 포함되며, 작성자에 따라 다르다.이러한 접근방식은 다음과 같다.

• 루브스토프와 로메리오의 선형 근사 접근법,
• 앤드류 로빈스의 2차 근사치 접근법은
• 조지 세케레스의 규칙적인 아벨 함수 접근은
• Peter Walker의 반복적 기능적 접근법
• 피터 워커의 자연적 매트릭스 접근법, 그리고 나중에 앤드류 로빈스에 의해 일반화되었다.

근사치

일반적으로 특수 함수는 인수의 실제 값뿐만 아니라 복잡한 평면, 미분 및/또는 적분 표현뿐만 아니라 수렴 및 점근 연속체의 확장에 대해 정의된다.그러나, 그러한 표현은 슬로프 기능에 이용 가능한 것이 없다.그럼에도 불구하고 아래의 간단한 근사치가 제안된다.

선형근사

초로그에 대한 선형 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1&{\text{if }}z\leq 0\\-1+z&{\text{if }}0<z\leq 1\\\operatorname {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&{\text{if }}1<z\\\end{cases}}}$

선형의 "중요한 조각"을 가진 조각으로 정의되는 기능이다.이 함수는 ${\displaystyle {}^{}}$ real z(${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 0 ${\$ C$^{0}$ 연속$$)에 대해 연속되는 속성을 가지고 있다.이 근사치를 최초로 인정한 저자는 Rubstov와 Romerio인데, 논문에는 없지만, 소프트웨어 프로토타입에 사용되는 알고리즘에서 찾을 수 있다.반면에 테트레이팅에 대한 선형 근사치는 예를 들면 이오아니스 갈리다키스에 의해 전에 알려져 있었다.이것은 테트레이팅에 대한 선형 근사치의 자연 역행이다.

홈즈와 같은 작가들은 슈퍼로그가 컴퓨터 부동소수 산술의 다음 진화에 큰 도움이 될 것이라는 것을 인식하고 있지만, 이러한 목적을 위해 그 기능이 무한히 다를 필요는 없다.따라서, 큰 숫자를 나타낼 목적으로 선형 근사 접근방식은 모든 실수가 초 대수 척도로 표현될 수 있도록 충분한 연속성(${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$ 0 ${\$$})$을 제공한다.

2차 근사치

초로그에 대한 2차 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1&{\text{if }}z\leq 0\\-1+{\frac {2\log(b)}{1+\log(b)}}z+{\frac {1-\log(b)}{1+\log(b)}}z^{2}&{\text{if }}0<z\leq 1\\\operatorname {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&{\text{if }}1<z\end{cases}}}$

2차적 "중요한 조각"을 가진 조각으로 정의되는 기능이다.이 함수는 모든 real z(C ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 연속$$)에 대해 연속적이고 차별성이 있다는 특성을 가지고 있다.이 근사치를 처음으로 출판한 작가는 이 논문에서 앤드류 로빈스였다.

이 버전의 슈퍼로그는 많은 양의 사전 풀이 없이도 초로그에서 기본적인 미적분 연산을 할 수 있다.이 방법을 사용하면 소량의 연산 오버헤드로 초로그와 테트레이션의 성질에 대한 기초 조사를 실시할 수 있다.

아벨 함수에 대한 접근법

아벨 함수는 아벨의 함수 방정식을 만족시키는 모든 함수다.

${\displaystyle A_{f}(f(x))=A_{f}(x)+1}$

아벨 함수 ${\displaystyle \mathrm{Af}}$ (${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle A_{f}(x)}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{주어진}}$ 경우 상수 ${\displaystyle A_{}^{}}$ f ′${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= A ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ c ${\displaystyle A'_{f}(x)=$를 추가하여 다른 솔루션을$$ 얻을 수 있다.$A_{f}(x)+c}$.${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ 초 로그는 ${\displaystyle {\mathrm{슬로프}}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \operatorname {slorging} _{b}(1)=0}$에 의해 정의되고 접근법마다 다른 세 번째 특수 속성으로 볼 때 지수함수의 아벨 함수는 고유하게 결정될 수 있다.

특성.

슈퍼로그가 만족하는 기타 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \slogname {b}(z)=\slogname {b}(\log _{b}(z)+1}$

모든 real 에 대해 (z )>- {\$displaystyle \operatorname {slogname} _{b}(z)$ >-$2}$

아마도 해법이 초로그의 관점에서 표현되는 수학 문제의 첫 번째 예는 다음과 같다.

노드가 있는 방향 그래프를 고려하십시오. 그리고 i> ${\displaystyle i >j$인 경우에만 노드 i에서 노드 j까지의 방향 경로가 존재한다$.$$}$ 이러한 모든 경로의 길이가 최대 k 에지인 경우 가능한 최소 총 에지 수는 다음과 같다.

${\displaystyle }$$k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k=1}$에 대한$displaystyle \Teta$(N$^{2})】$

${\displaystyle }$${\displaystyle =(\mathrm{N}}$ ${\displaystyle \log \mathrm{display}}$ N ) {\$displaystyle \Teta(N\log N)}$의 k$$=$$2 ${\displaystyle k=2$}

${\displaystyle \mathrm{\theta }}$${\displaystyle (}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle \Teta(N\log \log N)}$의 k = 3 ${\displaystyle k=3}$

${\displaystyle \mathrm{\theta }(N}$ ${\displaystyle \mathrm{strong}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle \Teta(N\operatorname {슬로깅} N)}$에 $대한{\displaystyle }$k = ${\displaystyle 4}${\$displaysty k=4$} $및{\displaystyle }$k = ${\displaystyle 5}${\$displaystyk=5}$

(M. I. Grinchuk, 1986;^[1] k> ${\displaystyle k>5}$은(는) 슈퍼 슈퍼 로가리듬, 슈퍼 슈퍼 로가리듬 등이 필요하다.)

테트레이션의 역행으로서의 슈퍼 로가리듬

테트레이션(또는 ${\displaystyle \mathrm{초우량}}$) s $e{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{b}}_{}}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$={^{z}b}}}$은(는) 분석함수로 의심되는데$,$^[2] 적어도 ${\displaystyle b}$ ${\$의 일부 값에 대해서는 $역함수{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ s ${\displaystyle {\mathrm{lo}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ e ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$ {{$b}}={\rm {sexp}_{b}^{-1}-$1}도 분석될 수 있다$$.s ${\displaystyle {\mathrm{l}}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ g${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle z}$) ${\$의 동작으로$,$ ${\displaystyle 사례}$b = ${\displaystyle e}${\$displaystyle ~b=e~}$에 대해 복합 ${\displaystyle z}$ ${\$ 면은$$ 그림 1에 스케치되어 있다$.$ 슬로프 함수의 실제 정수 값과 함께 표시된다.대사를 틀다고정점 $L{\displaystyle \mathrm{}\approx }$ 0${\displaystyle .318}$+ 1${\displaystyle .337}$ $[\$에 대한 점증적 접근 조건에 의해 테트레이션 해석 확장의 존재와 고유성이 제공되는 경우!$~{\rm$${i}}},$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 0${\displaystyle .318~1\mathrm{}.337}$ i ${\$0.$318-1.337{\!$$~{\rm{i}}}$의${\displaystyle }$L = ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$( L$){\displaystyle L=\ln(L)}}$을 복합면의 상·하부에 위치시키면$$^[3] 역함수도 고유해야 한다.그러한 기능은 실제 축에서 실재한다.${\displaystyle z}$= ${\displaystyle L}$ ${\$ ${\displaystyle z}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$에 두 개의 분기점이 있다.$L$ 실제 축의 음극 부분(그림에 분홍색 선이 표시된 절단 사이의 모든 스트립) 부근에 제한$$ 값${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\디스플레이$ 스타일 $-2}$에 접근하여 실제 축의 양방향에 따라 서서히 성장한다.실제 축에서의 파생상품이 양성이기 때문에, 슬로건의 상상의 부분은 실제 축 바로 위에서는 양성으로, 실제 축 바로 아래에서는 음성으로 유지된다.존재, 고유성, 일반화 등이 논의되고 있다.^[4]

참고 항목

• 반복 로그
• 테트레이션

참조

• 수학 요안니스 갈리다키스 온라인 출판(2007년 11월 접속)
• W. 네빌 홈즈, 복합 산술: 새로운 표준, IEEE 컴퓨터 사회 출판 제안서, 제30권, 제3권, 페이지 65–73, 1997.
• MROB의 Large Numbers인 Robert Munafo는 온라인에 게재되었다(2007년 11월 접속).
• C. A. Rubtsov와 G. F. Romerio, Ackermann's Function and New Acathical Operation, 온라인 출판(2007년 11월 액세스)
• 앤드류 로빈스(Andrewhic Phice Extension of Tetration and Super-logarithm)는 온라인에 게재되었다(2007년 11월 액세스).
• George Szekeres, 아벨의 방정식과 규칙적인 성장: 아벨의 주제에 대한 변형, 실험.수학. 제7권, 제2권(1998), 제85-100권.
• 피터 워커, 무한히 다른 일반 로그 및 지수 함수, 계산의 수학, 57권, 196번(1991년 10월), 페이지 723–733.

외부 링크

• 루브스토프 및 로메리오, 하이퍼 오퍼레이션 스레드 1
• 루브스토프와 로메리오, 하이퍼 오퍼레이션 스레드 2