아벨 방정식

닐스 헨릭 아벨의 이름을 딴 아벨 방정식은 그 형태로 쓸 수 있는 기능 방정식의 일종이다.

${\displaystyle f(x)=h(x+1)}$

또는 동등하게

${\displaystyle \property(f(x)=\properties(x)+1}$

f의 반복을 제어한다.

등가성

이 방정식들은 등가물이다.α가 변위불능함수라고 가정하면 두 번째 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \cHB ^{-1}(\f(x))=\cHB ^{-1}(\cHB(x)+1)\,}$

x = α⁻¹(y)를 취하면 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle f(\displaystyle ^{-1}(y))=\cHB ^{-1}(y+1)\,}$

알려진 것으로 가정된 함수 f(x)의 경우, 과제는 함수 α⁻¹ ≡ h에 대한 함수 방정식을 푸는 것으로, α⁻¹(0) = 1과 같은 추가 요건을 충족할 수 있다.

변수 s^α(x) = ψ(x)의 변경은 실제 매개변수 s에 대해 아벨의 방정식을 유명한 슈뢰더의 방정식인 ((f(x) = s ((x)로 가져온다.

추가 변경 F(x) = exp를 Bötcher 방정식, F(x) = F(x^α(x))로 한다.^s

아벨 방정식은 번역 방정식의 특별한 경우다.^[1]

$\displaystyle \omega(x,u),v)=\omega(x,u+v)~,}$

예: $\Omega {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \omega (x,1)=f(x$

${\displaystyle \Omega }$( ${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{\alpha }}^{}}$- 1 (${\displaystyle {}^{}\alpha }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}}$. (Observe Ω(x,0) = x.)

아벨함수 α(x)는 또한 Lie advective flow에 대한 표준 좌표(하나의 파라미터 Lie 그룹)를 제공한다.

역사

처음에는 보다 일반적인 형태의 방정식이 보고되었다^[3].단일 변수의 경우에도 방정식은 비교가 되지 않으며, 특별한 분석을 허용한다.^[4][5][6]

선형전달함수의 경우 용액은 압축적으로 표현 가능하다.^[7]

특례

테트레이션 방정식은 f = exp와 함께 아벨 방정식의 특별한 경우다.

정수 인수의 경우 방정식은 예를 들어 반복적인 절차를 암호화한다.

${\displaystyle \cHB(f(x))=\display(x)+2~,}$

등등,

${\displaystyle \properties(f_{n}(x)))=\cHB(x)+n~.}$

해결 방법

• 공식 솔루션: 고유(상수에 해당)^[8] ({\$displaystyle u}$이(가$)$ 솔루션인$$ 경우 $v{\displaystyle (}$ x ) = ${\displaystyle u(}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }(u)(}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle v(x)=u(x)+$$\Oomega(u(x$ 여기서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}(x}$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\Omega }(x}$) ${\displaystyle \Oomega(x+1)=\$$오메가(x$도 해결책이다.)^[9]
• 분석 솔루션(Fatou 좌표) = 포물선 고정점^[10] 주위의 섹터에서 전력 시리즈에 의해 정의된 함수의 점증하지 않는 확장에 의한 근사치

• Existence: Abel equation has at least one solution on ${\displaystyle E}$ if and only if ${\displaystyle \forall x\in E,\forall n\in \mathbb {N} ,f^{(n)}(x)\neq x}$, where ${\displaystyle f^{(n)}=f\circ f\circ ...$$\cHB$ f$},$ n번$.$^[11]

파투 좌표는 포물선 고정점 근처에 있는 이산 동적 시스템의 국부적 역학을 설명한다.

참고 항목

• 함수 방정식
  • 슈뢰더 방정식
  • 뵈트체르 방정식
• 분석 기능의 무한 구성
• 반복함수
• 시프트 연산자
• 초기능

참조