서포트 함수

수학에서 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는 비어 있지 않은 닫힌 볼록 집합 A의 지지 함수 h는_A 원점에서 A의 지지 하이퍼플레인의 (서명) 거리를 설명한다$$.지지함수는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는 볼록함수로서$,$ 비어 있지 않은 닫힌 볼록 집합 A는 h에_A 의해 고유하게 결정된다.나아가, 지원 기능은, 세트 A의 함수로서 스케일링, 번역, 회전, 민코스키 덧셈과 같은 많은 자연 기하학적 연산과 호환된다.이러한 특성 때문에 서포트 기능은 볼록 기하학에서 가장 중심적인 기본 개념 중 하나이다.

정의

지원함수 ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$:${\displaystyle {}^{}R\mathbb{}}$ n → R {\$displaystyle h_{A}\colon \mathb {R}\{n}\to$ $\$${R}}$에 $있는{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 비어 있지 않은 닫힌 볼록 세트 A의$$\$mathb$ {$R}{n}}}$에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle h_{A}=\supp\{x\cdot a:a\in A\}}$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 참조.^[2][3]그것의 해석은 x가 단위 벡터일 때 가장 직관적이다: 정의에 따르면, A는 닫힌 반 공간에 포함되어 있다.

${\displaystyle \{y\in \mathb {R}^{n}:y\cdot x\leqslant h_{A}(x)\}}}}}$

그리고 경계에는 적어도 A의 점이 하나 있다.

${\displaystyle H(x)=\{y\in \mathb {R}^{n:y:y\cdot x=h_{A}(x)\}}}}}$

이 반쪽 공간의따라서 하이퍼플레인 H(x)는 외부(또는 외부) 단위 정상 벡터 x를 갖는 지지 하이퍼플레인이라고 불린다.x의 방향이 역할을 하기 때문에 집합 H(x)는 일반적으로 H(-x)와 다르다.이제 h는_A 출발지로부터 H(x)의 (서명) 거리다.

예

싱글톤 A={a}의 지원 기능은 h ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= x${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle h_{A}(x)=x\cdot$ a$}$이다$.$

유클리드 유닛볼 ${\displaystyle B}$의₁ 지지함수는 h ${\displaystyle {{B\mathrm{}}_{}}_{}}$ 1${\displaystyle {{}_{}}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ $displaystyle h_{B_}}{1}($x)= x $}$입니다$.$

A가 끝점이 있는 원점을 통과하는 선 세그먼트인 경우 ${\displaystyle \mathrm{-a}}$와 a ${\displaystyle h_{}}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ $displaystyle h_{A}(x)=$ x$\cdot$ a$\}.$

특성.

x의 함수로서

콤팩트한 비빈 볼록세트의 지지기능은 실질가치가 있고 연속적이지만, 세트를 닫아 묶지 않으면 지지기능이 실질가치로 확장된다(값 ∞ ${\displaystyle \inft }).$비어 있지 않은 닫힌 볼록 세트는 지지 반 공간의 교차점이기 때문에 함수 h는_A A를 고유하게 결정한다.이것은 볼록 세트의 특정한 기하학적 특성을 분석적으로 설명하는데 사용될 수 있다.예를 들어, a 집합은 h가_A 짝수 함수인 경우에만 원점에 대칭이다.

일반적으로 지원 기능은 다를 수 없다.그러나 방향파생상품이 존재하며 지원세트의 지원기능을 산출한다.A가 콤팩트하고 볼록하며, h_A'(u;x)가 방향 x에서 h의_A 방향 파생물을 나타낸다면, 우리는 다음과 같다.

${\displaystyle h_{A}'(u;x)=h_{A\cap H(u)}(x)\qquad x\in \mathb {R} ^{n}.}$

여기서 H(u)는 위에서 정의한 외부 정상 벡터 u를 가진 A의 지지 하이퍼플레인이다.A ∩ H(u)가 싱글톤 {y}인 경우, 예를 들어, u에서 서포트 기능이 차별화되며 그 구배는 y와 일치한다고 한다.반대로 h가_A u에서 차별성이 있다면, A ∩ H(u)는 싱글톤이다.따라서 A가 엄격히 볼록한 경우에만(A의 경계가 선 세그먼트를 포함하지 않는 경우) h는_A 모든 점에서 u ≠ 0이 다르다.

이는 지원 기능이 양의 동질성이라는 정의에서 직접 따온 것이다.

${\displaystyle h_{A}(\alpha x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathb {R} ^{n}}}$

및 하위 추가 기능:

${\displaystyle h_{A}(x+y)\leq h_{A}+h_{A}(y),\qquad x,y\in \mathb {R}^{n}.}$

h는_A 볼록함수라는 것을 따른다.이러한 특성이 서포트 기능을 특징짓는 것은 볼록 기하학에서 중요하다.${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는 모든 양의 동질, 볼록, 실제 가치 함수는 비어 있지 않은 콤팩트 볼록 세트에서 지원되는 기능이다$$.여러 가지 증거가 알려져 있는데,^[3] 하나는 양의 균질하고 볼록하며 실제 가치 있는 함수의 레전드르 변환이 콤팩트 볼록스 세트의 (콘벡스) 표시기 함수라는 사실을 사용하고 있다.

많은 저자들이 지원기능을 유클리드 단위 영역으로 제한하고 S의^n-1 함수로 간주한다.동질성 속성은 이 제한이 위에서 정의한 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 지원 함수를 결정한다는 것을 보여준다.

A의 함수로서

확장되거나 번역된 세트의 지원 기능은 원래 세트 A와 밀접하게 관련되어 있다.

${\displaystyle h_{\alpha A}(x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathb {R}^{n}}}}$

그리고

${\displaystyle h_{A+b}(x)=h_{A}(x)+x\cdot b,\qquad x,b\in \mathb {R}^{n}.}$

후자는 다음과 같이 일반화한다.

${\displaystyle h_{A+B}(x)=h_{A}(x)+h_{B}(x),\qquad x\in \mathb {R}^{n}}}$

여기서 A + B는 Minkowski 합계를 나타낸다.

$[\displaystyle A+B:=\\{\,a+b\in \mathb {R} ^{n}\mid a\in A,\in B\,\}}$

두 개의 비어 있지 않은 콤팩트 볼록 세트 A와 B의 Hausdorff 거리 d _H(A, B)는 지지 함수의 관점에서 표현될 수 있다.

${\displaystyle d_{\mathrm {H}}}(A,B)=\ h_{A}-h_{B}\{\infully }}}$

오른쪽에는 단위 구체의 균일한 규범이 사용된다.

집합 A의 함수로서의 지지함수의 속성은 $sometimes{\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$:A $\mapsto {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto}$가 비빈 콤팩트 볼록 세트 패밀리를 볼록한 구상의 모든 실제 값진 연속함수의 콘에 매핑한다고 요약하기도 한다.용어를 약간 남용하여 τ ${\displaystyle \tau}$은(는) 선형 공간에 정의되어 있지 않지만, 민코프스키 덧셈을 존중하기 때문에 선형이라고 부르기도 한다.맵핑 $\tau {\displaystyle }${\$displaystyle \tau$}은(는) 하우스도르프 메트릭을 부여한 이 콘과 S의^n-1 연속 함수 계열의 하위 코네(일률적인 표준) 사이의 등계법이다$$.

변형

위와 대조적으로 지지함수는 각 경계점에 정상인 고유 외부 단위가 존재한다는 가정 하에^n-1 S가 아닌 A의 경계에서 정의되기도 한다.그 정의에는 볼록함이 필요하지 않다.방향의 일반 표면의 경우, M은 표면의 모든 곳에 단위 정상 벡터 N으로 정의되며, 그 다음에 서포트 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle x}$↦ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle N}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle {x}\mapsto {x}\cdot$ N$({x}})}$.

즉, ${\displaystyle \mathrm{어떤}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle {x}\in M}$에 대해 이 지원 기능은 x에서 M을 터치하는 고유 하이퍼플레인의 서명 거리를 제공한다$.$

참고 항목

• 배리어콘
• 서포트 기능

참조