서포트 기능

볼록 분석과 수학적 최적화에서 지지 기능은 집합의 지지 하이퍼 평면의 일반화다.

수학적 정의

Let X be a locally convex topological space, and ${\displaystyle C\subset X}$ be a convex set, then the continuous linear functional ${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {R} }$ is a supporting functional of C at the point ${\displaystyle x_{0}}$ if ${\displaystyle \phi \not =0}$ and ${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \le }$ (${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$) ${\displaystyle \phi (x)\leq \phi (x_{0}})$ 모든$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\in C}$^[1].

서포트 기능과의 관계

$if{\displaystyle {}_{}}$ h ${\displaystyle C_{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$인 경우:$X^{*}\to \mathb {R}}($$여기$서 X ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$는 X ${\displaystyle X}$의 이중 공간$)$가 C 집합의 지원 함수인 경우, $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ x ${\displaystyle {\ast }^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\$C}\{*}$왼쪽(x^}\}\}\$displayp$)$$=x^{*}\left(x_{0}\right)}$, it follows that ${\displaystyle h_{C}}$ defines a supporting functional ${\displaystyle \phi :X\to \mathbb {R} }$ of C at the point ${\displaystyle x_{0}}$ such that ${\displaystyle \phi (x)=x^{*}(x)}$ for any ${\displaystyle x\in X}$$$.

지원 하이퍼플레인과의 관계

만일 $\varphi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\pi }$이(가) x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle \mathrm{지점}}$에서의 볼록 세트 $C$의 지원 기능인$$ 경우$,$ 다음과 $같이$ $하십시오.$

${\displaystyle \phi \left(x_{0}\right)=\sigma =\sup_{x\in C}\phi(x)\inf _{x\inphi(x)}$

그러면 $H{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\sigma }$ )${\displaystyle$ H$=\phi ^{-1}(\sigma )}$은(는) x ${\$에서 C에 대한 지지 하이퍼플레인을 정의한다$.$^[2]

참조