일반형면

대수 기하학에서 일반형 표면은 고다이라 치수 2를 갖는 대수형 표면이다.차우의 정리 때문에 치수 2와 고다이라 치수 2의 콤팩트한 복합 다지관은 실제로 대수 표면이 될 것이며, 어떤 의미에서는 대부분의 표면이 이 등급에 있다.

분류

기세커는 일반 유형의 표면에 거친 모듈리 방식이 있다는 것을 보여주었다. 이는 체르누스 수 $c{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ c ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle c_{1}^{2}, c_{2},}$의 고정 값에 대해 일반 유형의 표면을 체르누스 수치로 분류하는 준투영 방식이 있음을$$ 의미한다.이러한 계획을 명시적으로 기술하는 것은 여전히 매우 어려운 문제로 남아 있으며, 이 계획이 이루어진 체르노 숫자의 쌍은 거의 없다(계획이 비어 있는 경우를 제외한다).일반적으로 이러한 계획은 너무 복잡하여 명시적으로 기록할 수 없다는 징후가 있다: 구성 요소의 수에 대한 알려진 상한은 매우 크고, 일부 구성 요소는 어디에서나 축소될 수 없으며, 구성 요소의 차원이 다를 수 있으며, 명시적으로 연구된 몇 가지 구성 요소는 다소 복잡해 보이는 경향이 있다..

일반 유형의 표면에 대해 체르노 번호 쌍이 발생할 수 있는 연구는 "라고 알려져 있다.체르누스 번호의 지리" 그리고 이 질문에 대한 거의 완전한 답이 있다.일반 유형의 최소 복합 표면의 체른 숫자가 충족해야 하는 몇 가지 조건이 있다.

• ${\$$}}\equiv$ 0${\pmod{12}}$ $$(12χ과 동일하므로)
• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}\geqslant 0}$
• ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 3 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$(보고몰로프-미야오카-야우 불평등)
• ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle 36}$ ${\displaystyle ⩾}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle ⩾}$ $(\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 12q\geqslant 0}).$ 여기서$$ q는 표면의 불규칙성(노에더 불평등)이다.

이러한 조건을 만족하는 많은 (그리고 아마도 모든) 정수의 쌍은 일반 유형의 복잡한 표면에 대한 체르누스 수이다.이와는 대조적으로, 거의 복잡한 표면의 경우, 유일한 제약조건은 다음과 같다.

${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}}\equiv 0{\pmod{12},}$

그리고 이것은 항상 실현될 수 있다.^[1]

예

이는 발견된 일반 유형의 표면의 다소 많은 수의 예시 중 일부에 불과하다.조사된 일반 유형의 표면 중 많은 부분이 체르노 수 지역의 가장자리(또는 그 부근)에 놓여 있다.In particular Horikawa surfaces lie on or near the "Noether line", many of the surfaces listed below lie on the line ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}=12\chi =12,}$ the minimum possible value for general type, and surfaces on the line ${\displaystyle 3c_{2}=c_{1}^{2}}$ are all qC에서² 단위 공의 uotients(그리고 특히 찾기 어렵다).

χ=1이 있는 표면

도표에서 "왼쪽 하단" 경계 내에 위치한 이러한 표면은 상세하게 연구되었다.두 번째 체르누스 클래스가 있는 이러한 표면의 경우 3부터 11까지의 정수가 될 수 있다.이러한 모든 값을 가진 표면은 알려져 있다. 연구된 많은 예들 중 몇 가지는 다음과 같다.

• c₂ = 3: 가짜 투영 평면(Mumford surface).첫 번째 예는 뭄포드에 의해 p-adic 기하학을 사용하여 발견되었으며, 모두 50개의 예가 있다.그들은 투영면과 동일한 베티 번호를 가지고 있지만, 그들의 기본 집단이 무한하기 때문에 그것과 동질적이지 않다.
• c₂ = 4: Beauville 표면은 Arnaud Beauville의 이름을 따서 명명되었으며 무한한 기본 그룹을 가지고 있다.
• c₂ ≥ 4: 화상 표면
• c₂ = 10: 카스텔리 표면.호지 번호가 같은 표면을 숫자형 Campelli 표면이라고 한다.
• c₂ = 10: 카탄 표면은 간단히 연결된다.
• c₂ = 11: 고데오 표면.The cyclic group of order 5 acts freely on the Fermat surface of points ${\displaystyle (w:x:y:z)}$ in P³ satisfying ${\displaystyle w^{5}+x^{5}+y^{5}+z^{5}=0}$ by mapping ${\displaystyle (w:x:y:z)}$ to ${\display$$스타일(w:\rho x:\rho ^{2}y:\rho ^{3}z)}$ 여기서$$ ρ은 1의 5번째 루트다.이 작용에 의한 몫은 원래의 고데오 표면이다.동일한 호지 숫자로 유사한 방식으로 구성된 다른 표면은 고데오 표면이라고도 불린다.호지 번호가 같은 표면(예: Barlow 표면)을 숫자 고데오 표면이라고 한다.(원래 고데오 표면의) 기본 그룹은 순서 5의 순환이다.
• c₂ = 11: 바로우 표면은 간단하게 연결된다.Craighero-Gattazzo 표면과 함께, 이것들은_g p = 0으로 일반 유형의 단순하게 연결된 표면의 유일한 알려진 예들이다.
• 토도로프 표면은 토렐리 정리의 결론에 대해 반증한다.

기타 예제

• 카스텔누오보 표면:Another extremal case, Castelnuovo proved that if the canonical bundle is very ample for a surface of general type then ${\displaystyle c_{1}^{2}\geqslant 3p_{g}-7.}$ Castelnuovo surface are surfaces of general type such that the canonical bundle is very ample and that ${\display$$스타일 c_{1}^{2}=3p_{g}-7.$$}$
• 전체 교차로:A smooth complete intersection of hypersurfaces of degrees ${\displaystyle d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant \cdots \geqslant d_{n-2}\geqslant 2}$ in Pⁿ is a surface of general type unless the degrees are (2), (3), (2, 2) (rational), (4), (3, 2), (2, 2, 2) (Kodaira dimension 0).완전한 교차로들은 모두 간단히 연결되어 있다.특별한 경우로는 과급이 있다. 예를 들어 P에서³ 정도의 비음속 표면은 5 이상 일반 유형이다(도 4의 비음속 초급속은 K3 표면이며, 도 4 미만의 초급속은 합리적이다).
• 입방체 3배 선 파노 표면.
• Hilbert 모듈형 표면은 대부분 일반형이다.
• Horikawa surfaces are surfaces with q = 0 and ${\displaystyle p_{g}={\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+2}$ or ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+{\tfrac {3}{2}}}$ (which implies that they are more or less on the "Noether line" edge of the region of possible values of the체른 숫자.모두 단순하게 연결되어 있으며, 호리카와는 그들에 대한 상세한 설명을 했다.
• 제품: 최소 2개의 속 둘 다의 곡선으로 이루어진 곱은 일반 유형의 표면이다.
• ${\displaystyle \mathrm{2m²}}$³ $[\displaystyle 2m\geqslant$ 8$.}$의 경우 일반적 형식이다(2m=2의 경우 2m=4의 경우 다시 합리적이고 델 페조 더블 평면이라고 하며, 2m=6의 경우 K3 표면).$$그것들은 단순히 연결되어 있고, 체른 숫자 c ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}^{}}$= 2 (${\displaystyle m}$- ${\displaystyle 3{}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= 4 ${\displaystyle {m\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- 6 ${\displaystyle m}$+ 6${\displaystyle c_{1}^{2}=2(m-3)^{2},c_{2$}=4m$^{2}-6m+6.$$}$

표준형 모델

봄비에리(1973)는 일반형의 복잡한 표면에 대한 다원적 지도 φ이_nK n≥5가 될 때마다 이미지의 버라이어티 이형성임을 증명했고, 에케달(1988)은 같은 결과가 여전히 긍정적인 특성을 지니고 있음을 보여주었다.n이 4일 때 혼성 이형성이 아닌 표면이 있다.이러한 결과는 라이더의 정리에서 비롯된다.

참고 항목

• 엔리케스-고다이라 분류
• 대수표면 목록

메모들

참조

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않다. 보다 정확한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2020년 10월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlin, doi:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
• Bombieri, Enrico (1973), "Canonical models of surfaces of general type", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 42 (42): 171–219, doi:10.1007/BF02685880, MR 0318163, S2CID 56081921
• Ekedahl, Torsten (1988), "Canonical models of surfaces of general type in positive characteristic", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 67 (67): 97–144, doi:10.1007/BF02699128, MR 0972344, S2CID 54756971
• P. Griffiths; J. Harris (1994), Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library, Wiley Interscience, ISBN 0-471-05059-8
• Iskovskikh, V.A. (2001) [1994], "General-type algebraic surface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press